初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析.pdf

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1、初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析含解析)一选择题（共一选择题（共 1212 小题）小题）11 纳米相当于 1 根头发丝直径的六万分之一则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）A6 万纳米B6104纳米 C3106米D3105米2足球循环赛中，红队胜黄队 4：1，黄队胜蓝队 2：1，蓝队胜红队 1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）A红队 2，黄队2，蓝队 0C红队 3，黄队3，蓝队 13要使A奇数B红队 2，黄队1，蓝队 1D红队 3，黄队2，蓝队 0为整数，a 只需为（）B偶数C5 的倍数D个位是 5 的数4体

2、育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为 18 秒，下面是第一小组 8 名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于 18 秒，“”表示成绩小于 18 秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）1+0.801.20.10+0.50.6A25%B37.5%C50%D75%5有一列数 a1，a2，a3，a4，an，从第二个数开始，每一个数都等于 1 与它前面那个数的倒数的差，若 a1=2，则 a2008值为（）A2B1 CD2008+=（）6有理数 a，b，c 都不为零，且 a+b+c=0，则A1B1 C1 D07计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 09 和字母 AF 共

3、 16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16 进制010 进制0112233445566778899ABCDEF101112131415例如，用十六进制表示 5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么 A+C=（）A16B1CC1AD228若 ab0，且 a+b0，那么（）Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b09 如图，在日历中任意圈出一个 33 的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（）Aa1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）Ba1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）Ca1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9

4、=9a5D（a3+a6+a9）（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）10为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文?密文（加密），接收方由密文?明文（解密），已知有一种密码，将英文26 个小写字母 a，b，c，z 依次对应 0，1，2，25 这 26 个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为 时，将+10 除以26 后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文 s 对应密文 c字母abcdefghi8vjklm序号01234567字母nopqrstu9101112wxyz序号13141516171819202122232425按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）Aw

5、kdrcBwkhtcCeqdjcDeqhjc11设 y=|x1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）Ay 没有最小值B只有一个 x 使 y 取最小值D有无穷多个 x 使 y 取最小值C有限个 x（不止一个）y 取最小值12若“！”是一种数学运算符号，并且 1！=1，2！=21=2，3！=321=6，4！=4321，且公式AC135BC136CC1311DC127二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）132.40 万精确到位，有效数字有个14如图 M，N，P，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P

6、与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是（填入 M、N、P、R 中的一个或几个），则 C125+C126=（）15 为了求1+3+32+33+3100的值，可令M=1+3+32+33+3100，则 3M=3+32+33+34+3101，因此，3MM=31011，所以 M=，即 1+3+32+33+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+52015的值是16我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码 0 和 1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是17请你规定一种适合任

7、意非零实数 a，b 的新运算“ab”，使得下列算式成立：12=21=3，（3）（4）=（4）（3）=，（3）5=5（3）=你规定的新运算 ab=（用 a，b 的一个代数式表示）18我们定义满足 1=adbc，例如=2534=1012=2若 x、y 均为整数，且，3，则 x+y 的值19符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，利用以上规律计算：G（2010）G（）2010=20a、b 两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列 4 个式子：ab0；a+b0；ab0；a

8、b+a+b+10 中一定成立的是（只填序号，答案格式如：“”）21若|x|=2，|y|=3，且0，则 x+y=22 王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为 1 的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当 n 为整数时，+三解答题（共三解答题（共 1818 小题）小题）23计算：+=24请你仔细阅读下列材料：计算：（）（+）解法 1：按常规方法计算原式=（）+（+）=（）（）=（）3=解法 2：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：（5+12=10故（）（+）=）（+）（）=（+）（30）=20+

9、3再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（+）25已知 x、y 为有理数，现规定一种新运算，满足 xy=xy+1（1）求 24 的值；（2）求（14）（2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和；（4）探索 a（b+c）与 ab+ac 的关系，并用等式把它们表达出来26若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，|m|=2，求27有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“”或“”填空：bc0，a+b0，ca0（2）化简：|bc|+|a+b|ca|28（1）阅读下面材料：点 A，B 在数轴上分别表示实数

10、a，b，A，B 两点之间的距离表示为|AB|当 A，B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|ab|；当 A，B 两点都不在原点时，如图（2），点 A，B 都在原点的右边，|AB|=|OB|OA|=|b|a|=ba=|ab|；+m23cd 的值如图（3），点A，B 都在原点的左边，|AB|=|OB|OA|=|b|a|=b（a）=|ab|；如图（4），点 A，B 在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（b）=|ab|；综上，数轴上 A，B 两点之间的距离|AB|=|ab|（2）回答下列问题：数轴上表示 2 和 5 的两点之

11、间的距离是，数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是，数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是；数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是，如果|AB|=2，那么 x 为；当代数式|x+1|+|x2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是当 x=时，|x+1|+|x2|=529请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999（15）（2）999118+999（）99918 30同学们都知道：|5（2）|表示 5 与2 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示 5 与2 两点之间的距离是，（2）数轴上表

12、示 x 与 2 的两点之间的距离可以表示为（3）如果|x2|=5，则 x=（4）同理|x+3|+|x1|表示数轴上有理数 x 所对应的点到3 和 1 所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数 x，使得|x+3|+|x1|=4，这样的整数是（5）由以上探索猜想对于任何有理数 x，|x3|+|x6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由31阅读材料：求值 1+2+22+23+24+22014解：设 S=1+2+22+23+24+22014，将等式两边同时乘以 2 得2S=2+22+23+24+22014+22015将得：S=220151，即 S=1+2+22+23+24+

13、22014=220151请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+210（2）1+3+32+33+34+3n（其中 n 为正整数）32小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子|x+1|+|x2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是，最小值是”小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了”小明说：“利用数轴可以解决这个问题”他们把数轴分为三段：x1，1x2 和 x2，经研究发现，当1x2 时，值最小为 3请你根据他们的解题解决下面的问题：（1）当式子|x2|+|x4|+|x6|+|x8|取最小值时，相应的 x 的取值范围是，最小值是（2）已知 y=|2x+8|4|x+2|，

14、求相应的 x 的取值范围及 y 的最大值写出解答过程33（1）阅读下面材料：点 A，B 在数轴上分别表示实数 a，b，A，B 两点之间的距离表示为|AB|当 A，B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|ab|；当 A，B 两点都不在原点时，如图（2），点 A，B 都在原点的右边，|AB|=|OB|OA|=|b|a|=ba=|ab|；如图（3），点A，B 都在原点的左边，|AB|=|OB|OA|=|b|a|=b（a）=|ab|；如图（4），点 A，B 在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（b）=|ab|；综上，数轴上

15、A，B 两点之间的距离|AB|=|ab|（2）回答下列问题：数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是，数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是，数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是；数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是，如果|AB|=2，那么 x 为；当代数式|x+1|+|x2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是解方程|x+1|+|x2|=534 计算：（）（）（）（）（）35小明早晨跑步，他从自家向东跑了2 千米到达小彬家，继续向东跑了1.5 千米到达小红家，然后向西跑了 4.5 千米到达中心广场，最后回到家（1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用1 个单位长度

16、表示 1 千米，你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？（2）小彬家距中心广场多远？（3）小明一共跑了多少千米？36已知：b 是最小的正整数，且 a、b 满足（c5）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出 a、b、c 的值a=，b=，c=（2）a、b、c 所对应的点分别为 A、B、C，点 P 为易动点，其对应的数为 x，点 P 在 0到 2 之间运动时（即 0 x2 时），请化简式子：|x+1|x1|+2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点 A、B、C 开始在数轴上运动，若点 A 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动，同时，点 B 和点 C 分别以每

17、秒 2 个单位长度和 5 个单位长度的速度向右运动，假设 t 秒钟过后，若点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC，点 A 与点 B 之间的距离表示为 AB请问：BCAB 的值是否随着时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值37阅读材料：求 1+2+22+23+24+22013的值解：设 S=1+2+22+23+24+22012+22013，将等式两边同时乘以 2 得：2S=2+22+23+24+25+22013+22014，将下式减去上式得：2SS=220141，即 S=220141，即 1+2+22+23+24+22013=1请你仿照此法计算 1+3+32+33+34+

18、32014的值38计算：（1）（2）24+3165；（3）（4）（5）；（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（47.65）2；+（37.15）（2）+10.5（7），其中391+2+3+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+n=n 是正整数现在我们来研究一个类似的问题：12+23+34+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式12=（123012）23=（234123）34=（345234）将这三个等式的两边相加，可以得到 12+23+34=读完这段材料，请你思考后回答：（1）直接写出下列各式的计算结果：12+23+34+1011=12+23+34+n（n+1）=（

19、2）探究并计算：123+234+345+n（n+1）（n+2）=（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：123+234+345+101112=345=2040如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3 个单位长度，再向左移动 5个单位长度，可以看到终点表示的数是2，已知点 A、B 是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题（1）如果点 A 表示数3，将点 A 向右移动 7 个单位长度，那么终点 B 表示的数是，A、B 两点间的距离是；（2）如果点 A 表示数 3，将 A 点向左移动 7 个单位长度，再向右移动 5 个单位长度，那么终点 B 表示的数是，A、B 两点间的距离为

20、；（3）如果点 A 表示数4，将 A 点向右移动 16 个单位长度，再向左移动 25 个单位长度，那么终点 B 表示的数是，A、B 两点间的距离是；（4）一般地，如果 A 点表示的数为 m，将 A 点向右移动 n 个单位长度，再向左移动 p个单位长度，那么请你猜想终点 B 表示什么数？A、B 两点间的距离为多少？初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解含解析析)一选择题（共一选择题（共 1212 小题）小题）1（2016 春?碑林区校级期末）1 纳米相当于 1 根头发丝直径的六万分之一则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）A6 万纳

21、米B6104纳米 C3106米D3105米参考答案与试题解析参考答案与试题解析【分析】首先根据题意求出头发丝的半径是（60 0002）纳米，然后根据 1 纳米=109米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径【解答】解：头发丝的半径是 60 0002109=3105米故选 D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值2（2014 秋?赛罕区校级期末）足球循环赛中，红队胜黄队 4：1，黄队胜蓝队 2：1，蓝队胜红队 1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）A红队 2，黄队2，蓝

22、队 0C红队 3，黄队3，蓝队 1B红队 2，黄队1，蓝队 1D红队 3，黄队2，蓝队 0【分析】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数依此列出算式进行计算【解答】解：由题意知，红队共进 4 球，失 2 球，净胜球数为：4+（2）=2，黄队共进 3 球，失 5 球，净胜球数为 3+（5）=2，蓝队共进 2 球，失 2 球，净胜球数为 2+（2）=0故选 A【点评】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数3（2010 春?佛山期末）要使A奇数B偶数C5 的倍数为整数，a 只需为（）D个位是 5 的数【分析】如果【解答】解：为整数，则（

23、a5）2为 4 的倍数，可确定 a 的取值为整数，（a5）2为 4 的倍数，a5 是偶数，则 a 可取任意奇数故选 A【点评】本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识注意：奇数奇数=偶数，任何一个偶数必定能够被 2 整除，偶数的平方能够被 4 整除4（2013 秋?郑州期末）体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为 18 秒，下面是第一小组 8 名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于 18 秒，“”表示成绩小于 18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）1+0.801.20.10+0.50.6A25%B37.5%C50%D75%【分析】根据正数是大于标准的数，非负数是达标成绩，可得达标

24、人数，达标人数除以总人数，可的达标率【解答】解：10，0=0，1.20，0.10，0=0，0.60，达标人数为 6 人，达标率为 68=75%，故选：D【点评】本题考查拉正数和负数，注意非负数是达标人数，达标人数除以总人数的达标率5（2014?新华区模拟）有一列数 a1，a2，a3，a4，an，从第二个数开始，每一个数都等于 1 与它前面那个数的倒数的差，若 a1=2，则 a2008值为（）A2B1 CD2008【分析】从所给出的资料中，可得到若 a1=2，a2=，a3=1，a4=2则这列数的周期为3，据此解题即可【解答】解：根据题意可知：若 a1=2，则 a2=1=，a3=12=1，a4=1

25、（1）=2，这列数的周期为 3，2008=3669+1a2008=2故选：A【点评】考查有理数的运算方法和数学的综合能力 解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律，并直接利用规律求出得数，代入后面的算式求解6（2016 春?沭阳县期末）有理数 a，b，c 都不为零，且 a+b+c=0，则=（）A1B1 C1 D0+【分析】根据 a、b、c 是非零有理数，且 a+b+c=0，可知 a，b，c 为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论，求得代数式的可能的取值即可【解答】解解：a、b、c 是非零有理数，且 a+b+c=0，a，b，c 为两正一负或两负一正，且 b+c=a，a+c=b，a+b

26、=c，当 ab0c 时：当 a0bc 时：综上，故选（B）+=+=1+11=1；=111=1；的所有可能的值为1【点评】本题主要考查了代数式求值，关键是掌握绝对值的性质等知识点，注意分情况讨论字母的符号，不要漏解7（2013?天桥区一模）计算机中常用的十六进制是逢16 进 1 的计数制，采用数字09 和字母 AF 共 16 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16 进制010 进制0112233445566778899ABCDEF101112131415例如，用十六进制表示 5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么 A+C=（）A16B1CC1AD22【分析】首先把 A+C

27、利用十进制表示，然后化成 16 进制即可【解答】解：A+C=10+12=22=16+6，则用 16 进制表示是 16故选 A【点评】本题考查了有理数的运算，理解十六进制的含义是关键8（2012 秋?祁阳县校级期中）若 ab0，且 a+b0，那么（）Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0【分析】两数之积大于 0，说明两数同号，两数之和小于 0，说明两数都是负数【解答】解：ab0，a，b 同号；又a+b0，a，b 同为负数故本题选 C【点评】本题考查的知识点为：两数相乘，同号得正；同号两数相加为负数，则这两个数都为负数9（2011 秋?南海区期末）如图，在日历中任意圈出一个 33

28、的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（）Aa1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）Ba1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）Ca1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D（a3+a6+a9）（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）【分析】从表格中可看出 a5在中间，上下相邻的数为依次大 7，左右相邻的数为依次大1，所以可得到代数式【解答】解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=（a4+a5+a6）21+（a4+a5+a6）+21=2（a4+a5+a6），正确，不符合题意；B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6

29、+a7+a9=2（a2+a5+a8），正确，不符合题意；C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5，正确，不符合题意D、（a3+a6+a9）（a1+a4+a7）=6，错误，符合题意故选 D【点评】本题考查有理数的加减混合运算，关键是从表格中看出各个数与 a5的关系，从而得出结果10（2010?广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文?密文（加密），接收方由密文?明文（解密），已知有一种密码，将英文 26 个小写字母 a，b，c，z 依次对应 0，1，2，25 这 26 个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为 时，将+10 除以 26 后所得的余数作为密文

30、中的字母对应的序号，例如明文 s 对应密文 c字母abcdefghi8vjklm序号01234567字母nopqrstu9101112wxyz序号13141516171819202122232425按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）AwkdrcBwkhtcCeqdjcDeqhjc【分析】m 对应的数字是 12，12+10=22，除以 26 的余数仍然是 22，因此对应的字母是 w；a 对应的数字是 0，0+10=10，除以26 的余数仍然是 10，因此对应的字母是 k；t对应的数字是 19，19+10=29，除以26 的余数仍然是 3，因此对应的字母是d；，所以本题译成密文后是

31、wkdrc【解答】解：m、a、t、h、s 分别对应的数字为 12、0、19、7、18，它们分别加 10 除以 26 所得的余数为 22、10、3、17、2，所对应的密文为 wkdrc故选：A【点评】本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度11（2009 秋?和平区校级期中）设 y=|x1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）Ay 没有最小值B只有一个 x 使 y 取最小值D有无穷多个 x 使 y 取最小值C有限个 x（不止一个）y 取最小值【分析】根据非负数的性质，分别讨论 x 的取值范围，

32、再判断 y 的最值问题【解答】解：方法一：由题意得：当 x1 时，y=x+11x=2x；当1x1 时，y=x+1+1+x=2；当 x1 时，y=x1+1+x=2x；故由上得当1x1 时，y 有最小值为 2；故选 D方法二：由题意，y 表示数轴上一点 x，到1，1 的距离和，这个距离和的最小值为 2，此时 x 的范围为1x1，故选 D【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论12若“！”是一种数学运算符号，并且 1！=1，2！=21=2，3！=321=6，4！=4321，且公式AC135BC136CC1311DC127【分析】根据题目信息，表示出 C12

33、5与 C126，然后通分整理计算即可【解答】解：根据题意，有 C125=C125+C126=C136故选 B【点评】本题是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）13（2009 秋?绥中县期末）2.40 万精确到百位，有效数字有3个，+，C126=，则 C125+C126=（）【分析】根据 24 000 确定精确度，从左边第一个不是 0 的数开始数起，到精确到的数位为止共有 3 个有效数字【解答】解：2.40 万=24 000，精确到百位，有效数字有 3 个，分别是 2，4，0【点评】从左边第一个不是 0 的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字

34、都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字14（2016 秋?余杭区期末）如图 M，N，P，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且 MN=NP=PR=1，数 a 对应的点在 M 与 N 之间，数 b 对应的点在P 与 R 之间，若|a|+|b|=2，则原点是N 或 P（填入 M、N、P、R 中的一个或几个）【分析】根据数轴判断出 a、b 之间的距离小于 3，且大于1，然后根据绝对值的性质解答即可【解答】解：MN=NP=PR=1，|MN|=|NP|=|PR|=1，|MR|=3；当原点在 N 或 P 点时，1|a|+|b|3，又因为|a|+|b|=2，所以原点可能在

35、N 或 P点；当原点在 M 或 R 点时，|a|+|b|2，所以原点不可能在 M 或 R 点；综上所述，原点应是在 N 或 P 点故答案为：N 或 P【点评】此题考查了数轴的定义和绝对值的意义解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解15（2015?茂名）为了求 1+3+32+33+3100的值，可令 M=1+3+32+33+3100，则3M=3+32+33+34+3101，因此，3MM=31011，所以 M=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+52015的值是，即 1+3+32+33+3100=【分析】

36、根据题目信息，设 M=1+5+52+53+52015，求出 5M，然后相减计算即可得解【解答】解：设 M=1+5+52+53+52015，则 5M=5+52+53+54+52016，两式相减得：4M=520161，则 M=故答案为【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键16（2013?天河区一模）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码 0 和 1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是13【分析】根据题目信息，利用有理数的乘方列式进行计算即

37、可得解【解答】解：（1101）2=123+122+021+120=8+4+0+1=13故答案为：13【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键17（2012?台州）请你规定一种适合任意非零实数 a，b 的新运算“ab”，使得下列算式成立：12=21=3，（3）（4）=（4）（3）=，（3）5=5（3）=你规定的新运算 ab=（用 a，b 的一个代数式表示），【分析】由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，总结出一般性的规律，即可用a与 b 表示出新运算 ab【解答】解：根据题意可得：12=21=3=+，（3）（4）=（4）（3）=（3）5=5（3

38、）=则 ab=+=故答案为：=+，+，【点评】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型，其中弄清题意，找出一般性的规律是解本题得关键18（2011?越秀区校级模拟）我们定义2若 x、y 均为整数，且满足 1=adbc，例如=2534=1012=3，则 x+y 的值15 或9【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据 x，y 是整数即可确定 x，y 的值，从而求解【解答】解：根据题意得：1xy123，则 13xy15，因为 x、y 是整数，则 x=1 时，y=14；当 x=2 时，y=7，当 x=3 时，y 的值不存在；当 x=4，5，6，8，9，10，11，12，13 时，

39、y 的值不存在；当 x=14 时，y=1；当 x=7 时，y=2则 x+y=1+14=15，或 x+y=114=15，或 x+y=2+7=9，或 x+y=27=9故 x+y=15 或9故答案是：15 或9【点评】本题考查了不等式的整数解，正确确定 x，y 的值是关键19（2011 春?宿迁校级期末）符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，利用以上规律计算：G（2010）G（）2010=2009【分析】此题是一道找规律的题目，通过观察可发现（1）中等号后面的数为前面括号中

40、的数的 2 倍减 1，（2）中等号后面的数为分母减去 1 再乘 2，计算即可【解答】解：G（2010）G（2009【点评】找到正确的规律是解答本题的关键）2010=201021（20101）22010=20（2006?连云港）a、b 两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列 4 个式子：ab0；a+b0；ab0；ab+a+b+10 中一定成立的是（只填序号，答案格式如：“”）【分析】首先能够根据数轴得到 a，b 之间的关系的正确信息，然后结合数的运算法则进行分析【解答】解：根据数轴得 a1b，|a|b|中，ab0，故正确；中，a+b0，故正确；中，由于 b 的符号无法确定，所以 ab0

41、不一定成立，故错误；中，ab+a+b+1=（b+1）（a+1）0，故正确所以一定成立的有故答案为：【点评】此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容特别注意中，能够运用因式分解的知识分解成积的形式，再分别判断两个因式的符号21（2006?贺州）若|x|=2，|y|=3，且0，则 x+y=1【分析】根据绝对值的意义，知绝对值等于正数的数有 2 个，且互为相反数根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正，异号得负【解答】解：|x|=2，|y|=3，x=2，y=3又0，x，y 异号，故 x=2，y=3；或 x=2，y=3x+y=2+（3）=1 或2+3=1故答案为：1【点评】理解绝

42、对值的意义，注意互为相反数的两个数的绝对值相同同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系22（2004?乌鲁木齐）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为 1 的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n 为整数时，+=1【分析】结合图形，知+=1，+=1，推而广之即可【解答】解：结合图形，得+=1【点评】此题注意运用数形结合的思想进行分析三解答题（共三解答题（共 1818 小题）小题）23计算：【分析】把+【解答】解：+变形为+，再根据加法交换律和结合律计算即可求解+）+=+=+（

43、+）+（+）+（+）+（=22014+=4028+=4028【点评】此题考查了有理数的混合运算，关键是把变形为+计算+24（2016 秋?湖北月考）请你仔细阅读下列材料：计算：（）（+）解法 1：按常规方法计算原式=（）+（+）=（）（）=（）3=解法 2：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：（5+12=10故（）（+）（）=（+）（30）=20+3+）=）（再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（+）【分析】观察解法 1，用常规方法计算即可求解；观察解法 2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可【解答】解：解法 1，（=）（+（；+）+）解法 2

44、，原式的倒数为：（=（+）（）+）（56）5656+56=56+=21+1228+16=21，故（）（+）=【点评】此题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，理解第二种解法的思路：两个数相除，可先求这两个数相除的倒数25（2016 秋?东莞市期末）已知 x、y 为有理数，现规定一种新运算，满足 xy=xy+1（1）求 24 的值；（2）求（14）（2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和；（4）探索 a（b+c）与 ab+ac 的关系，并用等式把它们表达出来【分析】读懂题意，掌握规律，按规律计算每个式子【解答】解：（1）24

45、=24+1=9；（2）（14）（2）=（14+1）（2）+1=9；（3）（1）5=15+1=4，5（1）=5（1）+1=4；（4）a（b+c）=a（b+c）+1=ab+ac+1，ab+ac=ab+1+ac+1=ab+ac+2a（b+c）+1=ab+ac【点评】解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点，找出其中的规律26（2014 秋?朝阳区期末）若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，|m|=2，求3cd 的值【分析】根据互为相反数的两数之和为 0，互为倒数的两数之积为 1 可得 a+b=0，cd=1，代入可得出答案【解答】解：由题意得：a+b=0，cd=1，m2=4，原式=m23=

46、43=1【点评】本题考查了倒数和相反数的知识，难度不大，注意细心运算27（2016 秋?东台市期中）有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“”或“”填空：bc0，a+b0，ca0（2）化简：|bc|+|a+b|ca|【分析】（1）根据数轴判断出 a、b、c 的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可【解答】解：（1）由图可知，a0，b0，c0 且|b|a|c|，所以，bc0，a+b0，ca0；故答案为：，；（2）|bc|+|a+b|ca|=（cb）+（ab）（ca）+m2=cbabc+a=2b【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图

47、观察出a、b、c 的正负情况是解题的关键28（2016 秋?镜湖区校级期中）（1）阅读下面材料：点 A，B 在数轴上分别表示实数 a，b，A，B 两点之间的距离表示为|AB|当 A，B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|ab|；当 A，B 两点都不在原点时，如图（2），点 A，B 都在原点的右边，|AB|=|OB|OA|=|b|a|=ba=|ab|；如图（3），点A，B 都在原点的左边，|AB|=|OB|OA|=|b|a|=b（a）=|ab|；如图（4），点 A，B 在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（b）=|a

48、b|；综上，数轴上 A，B 两点之间的距离|AB|=|ab|（2）回答下列问题：数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是3，数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是3，数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是4；数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，那么 x 为1 或3；当代数式|x+1|+|x2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是1x2当 x=3 或2时，|x+1|+|x2|=5【分析】根据数轴上 A，B 两点之间的距离|AB|=|ab|回答即可；根据数轴上 A，B 两点之间的距离|AB|=|ab|回答即可；|x+1|+|x3|的最小值，意思是

49、 x 到1 的距离与到 3 的距离之和最小，那么 x 应在1 和 3 之间的线段上分三种情况讨论即可求得【解答】解：|25|=3，|2（5）|=3，|1（3）|=4；|x（1）|=|x+1|，如果 AB=2，则 x+1=2，解得 x=1 或3；若|x+1|+|x2|取最小值，那么表示 x 的点在1 和 2 之间的线段上，所以1x2若 x+10，x20，则（x+1）+（x2）=5，解得 x=3，若 x+10，x20，则（x+1）（x2）=5，解得 x=2，若 x+1 和 x2 异号，则等式不成立，所以当 x=3 或2 时，|x+1|+|x2|=5故答案为：3，3，4；|x+1|，1 或3；1x2

50、；3 或2【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值29（2016?河北）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999（15）（2）999118+999（）99918【分析】（1）将式子变形为（10001）（15），再根据乘法分配律计算即可求解；（2）根据乘法分配律计算即可求解【解答】解：（1）999（15）=（10001）（15）=1000（15）+15=15000+15=14985；（2）999118+999（）99918=999（11818）=999100=99900【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最