数学专升本考试试题.pdf

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1、-高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1下列函数中，当x 1时，与无穷小量(1 x)相比是高阶无穷小的是（）Aln(3 x)Bx3 2x2 xCcos(x 1)Dx212曲线y 3 x 31在(1,)内是（）xA处处单调减小B处处单调增加C具有最大值D具有最小值3设f(x)是可导函数，且limf(x0 2h)f(x0)1，则f(x0)为（）hx0A1B0C2D1211x4若f()，则f(x)dx为（）0 xx 11AB1ln22C1Dln25设u xy

2、z,u等于（）xAzxyzBxyz1Cyz1Dyz二、填空题：本大题共 10 个小题，10 个空，每空 4 分，共 40 分，把答案填在题中横线上。6设z exy yx2，则zy(1,2)=7设f(x)ex ln x，则f(3)8f(x)x1，则f()1 xx-zj.-9设二重积分的积分区域 D 是1 x2 y2 4，则dxdy D10lim(11x2x)x=11函数f(x)12(exex)的极小值点为x212若lim ax 4x1x 1 3，则a 13曲线y arctanx在横坐标为 1 点处的切线方程为14函数y x2sintdt0在x 2处的导数值为151xsin2x11 cos2xdx

3、 三、解答题：本大题共 13 小题，共 90 分，解答应写出推理、演算步骤。16（本题满分 6 分）求函数f(x)arctan 1x 0的间断点x0 x 017（本题满分 6 分）计算limx x 1x2x2118（本题满分 6 分）计算limx0ln1arcsin x (1 x)x-zj.-19（本题满分 6 分）设函数f(x)1xexx0，求f(x)ln(1x)1x020（本题满分 6 分）求函数ysin(xy)的二阶导数21（本题满分 6 分）求曲线f(x)x42x3的极值点22（本题满分 6 分）计算x3x21dx23（本题满分 6 分）若f(x)的一个原函数为xlnx，求x f(x)

4、dx24（本题满分 6 分）-zj.-已知k1，求常数k的值dx 1 x22025（本题满分 6 分）求函数f(x,y)y3 x2 6x 12y 5的极值26（本题满分 10 分）求(x2 y)dxdy，其中 D 是由曲线y x2与x y2所围成的平面区域D27（本题满分 10 分）设f(x)x f(x)dx，且常数a 1，求证：02aa0a3f(x)dx 3(a 1)28（本题满分 10 分）求函数y ln x的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形参考答案-zj.-一、选择题1B2B3D4D5D二、填空题162e217e331893x 110e1211x 0

5、12513y 14sin三、解答题41(x 1)22415016解这是一个分段函数，f(x)在点x 0的左极限和右极限都存在1lim f(x)lim arctan x0 x0 x21lim f(x)lim arctanx0 x0 x2x0lim f(x)lim f(x)x0故当x 0时，f(x)的极限不存在，点x 0是f(x)的第一类间断点17解 原式=limx x 12x 121 limxx11212xx21222x18解设f(x)arcsin x (1 x)由于x 0是初等函数ln f(x)的可去间断点，1故limln f(x)ln lim f(x)lnlimarcsin x (1 x)x

6、x0 x0 x01x lnlimarcsin x lim(1 x)x0 x01x ln(0 e)lne 1-zj.-19解 首先在x 0时，分别求出函数各表达式的导数，即11当x 0时，f(x)(xe1x)ex xe1x11x2 ex(1x)当1 x 0时，f(x)ln(x 1)1x 1然后分别求出在x 0处函数的左导数和右导数，即f 1(0)limxx 110f lim e1(0)x(11)0 x0 x从而f(0)f(0)，函数在x 0处不可导1ex(11)x 0所以f(x)x1x 1x 020解y sin(x y)y cos(x y)(1 y)cos(x y)ycos(x y)y sin(

7、x y)(1 y)ycos(x y)ysin(x y)(1 y)1cos(x y)y sin(x y)(1 y)2 sin(x y)(1 y)2y1cos(x y)又由解得y cos(x y)1cos(x y)cos(x y)21cos(x y)代入得y 1cos(x y)1cos(x y)sin(x y)1cos(x y)321解先出求f(x)的一阶导数：f(x)4x36x2 4x2(x 32)-zj.-33令f(x)0即4x2(x)0解得驻点为x1 0,x222再求出f(x)的二阶导数f(x)12x212x 12x(x 1)33327时，f()9 0，故f()是极小值222163当x1 0

8、时，f(0)0，在(,0)内，f(x)0，在(0,)内f(x)0当x22故x1 0不是极值点总之曲线f(x)x4 2x2只有极小值点x 3222解x3x3 x xx(x21)x21x21 xx21 x xx21x3x21dx(x xxx21)dx xdx x21dx12x21d(x21)1212x 12x 2ln(x21)C23解由题设知f(x)(xln x)ln x x(ln x)ln x 1故x f(x)dx x(lnx 1)dxxln xdxxdxln x1dx2122x212ln x x2x2d(lnx)12x212ln x x212x21xdx 12x212x2ln x 12xdx

9、12x21x2ln x 1x224C24解0k1 x2dx k01011 x2dx k alima1 x2dx k lim arctan x0aa k alim(arctana)k 2又0k1 x2dx 12-zj.-故k 25解211解得k 2ff 2x 6,3y212xy 2x 6 0解方程组2得驻点A0(3,2),B0(3,2)3y 12 0 xx 2,B f xy 0,C f yy 6y又A f对于驻点A0:A 2,B 0,C 6yx3 12，故B2 AC 24 0y2驻点A0不是极值点对于驻点B0:A 2,B 0,C 6yx3 12y2故B2 AC 24 0，又A 2 0函数f(x,

10、y)在B0(3,2)点取得极大值f(3,2)(2)39 18 24 5 3026解由y x2与x y2得两曲线的交点为O(0,0)与A(1,1)x y2(y 0)的反函数为y 21x2x1(x y)dxdy dx2(x y)dy(x2y D0 x012y)2x2xdx511442(xx)(x x)dx022121333(x2x2x5)107410140aaa27证f(x)dx x2f(x)dxdx0007x dx 0a2a0af(x)dxdx0a13 aax0f(x)dxdx003aa3 af(x)dx03-zj.-f(x)dx a0aa0a3f(x)dx 3于是a0a3f(x)dx 3(a

11、1)28解（1）先求函数的定义域为(0,)（2）求y和驻点：y 1ln x，令y 0得驻点x e2x（3）由y的符号确定函数的单调增减区间及极值当0 x e时，y 1ln x 0，所以y单调增加；x2当x e时，y 0，所以y单调减少1由极值的第一充分条件可知yxe为极大值e（4）求y并确定y的符号：2ln x 3，令y 0得x e2y 3x3当0 x e时，y 0，曲线y为凸的；当x e时，y 0，曲线y为凹的32根据拐点的充分条件可知点(e,e)为拐点23233232这里的y和y的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：x(0,e)e(e,e)32e32(e,)32y00y就表上所给的y和y符号，可得到：函数y ln x的单调增加区间为(0,e)；x-zj.-函数y ln xx的单调减少区间为(e,)；函数y ln xx的极大值为y(e)1e；3函数y ln xx的凸区间为(0,e2)；ln x3函数y x的凹区间为(e2,)；33函数y ln x232x的拐点为(e,2e)（5）因为limln xxx 0，limlnx x0 x所以曲线y ln xx有水平渐近线y 0铅垂渐近线x 0（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图-zj.