最全最实用的指数函数复习资料(精练+答案).pdf

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1、.指数与指数函数指数与指数函数【知识梳理】【知识梳理】一、指数运算一、指数运算1 1、根式、根式（1）概念：若x a（n 1且nN），则称x为a的n次方根，“n（2）a的n次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶次方根n”是方根的记号ann a；nnnna 0,a,n为奇数，a=a；n为偶数，a=|a|=a,a 0.2 2、有理数指数幂、有理数指数幂（1）分数指数幂的意义：0a 1(a 0且aR)（注：0无意义）；mn0aanam(a 0,m,nN*,n 1

2、)；mn1amn1nam(a 0,m,nN*,n 1)（2）指数幂的运算性质a a arsrsrs(a 0,r,sR)；(a 0,r,sR)；a a aars rs ars(a 0,r,sR)；rrab a b二、指数函数二、指数函数r(a,b 0,rR)1 1、指数函数的概念：、指数函数的概念：一般地，函数y a(a 0,且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R R注意：注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12 2、指数函数、指数函数y a(a 0,a 1)的图象与性质的图象与性质.下载可编辑.xx.0a1y(0,1)Oy=1x当x 0时，y 1；当x 0时，

3、0 y 1在在 R R 上单调递增上单调递增(a2)444a 2,a 2,【解析】（1）(2)2；（2）(3)3；（3）(a2)=2a,a 2.【点评】不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用本题易错的是第（3）题，往往忽视a与 2 大小的讨论，造成错解31 2 例题例题 2 2：计算：（1）0.25 6210 233 101；（2）3 33 363【解析】（1）原式 43110 23 208 3；26（2）3333=333 3=331213161 1 11 2 3 6=32=9【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运

4、算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算1变式变式 1 1：化简：（1）(a b)(3a b)(a6b6)；3（2）(32312121315x y2)6x4y1(x 0,y 0)；（3）5 2 6 7 4 3 6 4 2.下载可编辑.132 62 3 6b【解析】（1）原式=(3)()a 9ab0 9a；31(6)314()211()261211221 11 1 5（2）原式 x（3）原式 y6 x y x22 y y；(3 2)2(23)2(22)23 2 23 22 2 2【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公

5、式变式变式 2 2：若10 3，10 4，则10【解析】102xyxy2xy_102x10y10 x10y 324 294xy【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将10、10看作一个整体，再进行代数运算题型二、指数函数概念、定义域和值域题型二、指数函数概念、定义域和值域例题例题 3 3：下列函数中属于指数函数的有（）个（1）y 23；（2）y 3xx1xxx；（3）y (3)；（4）y ()；（5）y 3x；（6）y 4；（7）y (2a1)132xA2 B3 C4 D5x【解析】选 A只有（4）（6）属于指数函数y a(a 0,a 1)的形式x【点评】在判断是否为指

6、数函数时，应严格按照y a(a 0,a 1)的形式来判断，特别要注意函数中是否有表明a的取值范围例题例题 4 4：求下列函数的定义域和值域：求下列函数的定义域和值域：（1）y 21x4；（2）y(2)3|x|；（3）y=a-1 (a0，a1)x【解析】（1）令x-40，则x4，所以函数y=211x4的定义域是xRx4，11又因为0，所以 2x41，即函数y=2x4的值域是y|y0 且y1 x 4（2）因为-|x|0，所以只有x=0.因此函数y=(而y=(2)3|x|的定义域是xx=0 2)3|x|=(202)=1，即函数y=()33x|x|的值域是yy=1 x（3）定义域为 R，因为y a的值

7、域为(0,)，所以y a 1的值域为(1,)【点评】由于指数函数y=a,(a0 且a1)的定义域是 R，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性例题例题 5 5：如图，设a,b,c,d0，且不等于 1，y=a，y=b，y=c，y=d.下载可编辑.xxxxxy=bxy=axyy=cxy=dx.在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序【】A、abcd B、abdcC、badc D、bacd【解析】a=a直线x=1 与各函数图象交点的纵坐标为底数值，故bad1 时，指数函数底数越大，图象越靠近y轴；当 0底数 0,a 1)恒过定点_【解

8、析】因为y=a过点（0，1），所以当x=0 时，y=1+5=6，所以原函数过定点（0,6）【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点变式变式 4 4：已知指数函数的图象过点（3,），（1）求f(0)，f(1)，f(-3)的值；（2）利用图像比较三个函数值的大小【解析】（1）设指数函数f(x)=a（a0 且a1）因为图象过点（3,），所以f(3)=a=，即a=，f(x)=()再把 0,1,3 分别代入,得：f(0)=1，f(1)=，f(-3)=（2）由图易知f(1)f(0)f(-3)【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用变式变式 5 5：当a 0时，函数y ax b和y b的

9、图象只可能是（）yyyyax01-11xxx31313x11OxO1x1OxO1xA B C D【解析】选项 A 中一次函数a 0,b 1，指数函数应是减函数，故A 对选项 B 中一次函数a 0,b 1，指数函数应是增函数，故B 错选项 C 中一次函数a 0,b 1，指数函数应是减函数，故C 错选项 D 中一次函数a 0,b 1，指数函数应是增函数，故D 错故答案选 A【点评】利用一次函数和指数函数a,b的关系来确定图象，是本题的关键.下载可编辑.题型三、解指数式方程、不等式题型三、解指数式方程、不等式例题例题 6 6：解下列方程：（1）2 3【解析】（1）2 3（2）2xx1xx112；（2

10、）2x2x121112 2x3x12 6x 36 x 2；31 x2 x12 0 x 4或x 3x2x12【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解例题例题 7 7：解下列不等式：（1）6【解析】（1）64x14x111；（2）24x1214x1 4x1 0 x 11（2）24x1 2x 24x1 x 4x 1 x 52【点评】解此类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解变式变式 6 6：解下列方程：（1）9xx231x 27；（2）32x5 53x22-x-x-x【解析】（1）原方程化为(3)63 27=0，(3 3)(3 9)=03 30，由 3 9=0 得 3=3

11、，故x=2 是原方程的解2-x-x-xx2（2）原方程化为3(3(3x2x22)53x22 0，(3x31)(3x2 2)0，2)0，3x31 0得3x31，x 3x【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1），把3根等于3x看成未知数x，解得的一元二次方程的，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验题型四、指数函数性质的应用题型四、指数函数性质的应用例题例题 8 8：比较下列两个数的大小：（1）3,30.60.80.7；（2）0.751.6-0.1,0.750.1；31（3）1.8,0.8；（4）()3,2532【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较：对（1）因为

12、函数y=3 在 R 上是增函数，0.80.7，所以 3 3；对（2）因为函数y=0.75 在 R 上是减函数，0.1-0.1，所以 0.750.6001.60.6x0.80.7x-0.10.75；1.60.1对（3）由指数函数的性质知1.8 1.8=1=0.8 0.8，所以 1.8 0.8；131013505对（4）由指数函数的性质知()()=1=2 2，所以()23332323.下载可编辑.【点评】首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较 若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量“1”，两个数都与这个中间量进行比较，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中

13、间量法”例题例题 9 9：求函数y 2 13x23x2的单调区间和值域u333211【解析】令u x 3x2 (x)在(,上递减，在,)上递增，又y 2 为减函数，222432所以y 21313x23x2在(,上递增，在,)上递减，当x x23x2323231时，y 22314 243为最大值，所以y 2的值域为(0,243【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间变式变式 7 7：已知f(x)2 m是奇函数，求常数m的值x3 1【解析】由f(x)是奇函数，得f(x)f(x)0，223x2(3x1)22 2m 0，2m 0，得m 1即x m x m

14、 0，xxx3 113133 131【点评】此题中函数的定义域为x 0，所以不能利用f(0)0来求解，应利用奇函数的定义f(x)f(x)求出m值2x1变式变式 8 8：判断函数f(x)x的单调性、奇偶性2 1【解析】任取x1、x2 R，使x1 x2，2x112x212(2x12x2)f(x1)f(x2)x1，212x21(2x11)(2x21)x因为2 0，所以(211)(221)0，y 2为增函数，所以212xxxxx2 0，所以f(x1)f(x2)0，所以f(x)在R上单调递增；2x12x(2x1)12xf(x)x f(x)，所以f(x)为奇函数212x(2x1)12x【点评】在判断一个函

15、数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断 在判断此题函数的奇偶性时，通过分子分母同乘2化简，从而比较f(x)与f(x)的关系x.下载可编辑.【方法与技巧总结】【方法与技巧总结】1、在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为：根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，由里往外依次进行；有分式的转化为负数指数幂；底数尽量化为一致；四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征

16、，要用到数形结合思想、分类讨论思想 题库题目仅供选择使用【巩固练习】【巩固练习】1下列各式中正确的是（）52A、4a4=a B、6(2)=32 C、a=1 D、10(2 1)=(2 1).02将32 2化为分数指数幂的形式为（）A、2 B、2 C、2x3函数f(x)1 2的定义域是（）121312 D、256A、,0 B、0,)C、(,0)D、(,)4下列函数中，值域为0,的函数是（）1A、y 3B、y 2 1 C、y 2 1 D、y 2xx2x2x5已知指数函数图像经过点p(1,3)，则f(3)6若a-2a 1=a-1，则a的取值范围为271037207(2)2 0.1(2)33=_9274

17、88若函数f(x)a 121是奇函数，则a=_x4 1.下载可编辑.9已知函数y 13x22x5，求其单调区间及值域10已知函数f(x)2x 2x.（1）用函数单调性定义及指数函数性质证明：f(x)是区间(0,)上的增函数；（2）若f(x)52【课后作业】【课后作业】1下列各式中成立的一项（）x3，求x的值n774A、()n m7 B、12(3)33 C、4x3 y3(x y)4 D、m31339 332化简3ab2a3b21612(a,b为正数)的结果是（）b(a b)4D、a b2A、ba B、ab C、ab0.90.483设y1 4,y281,y321.5，则（）A、y3 y1 y2 B

18、、y2 y1 y3 C、y1 y3 y2 D、y1 y2 y34函数f(x)axb的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）.下载可编辑.A、a 1,b 0 B、a 1,b 0C、0 a 1,b 0 D、0 a 1,b 05函数y ex1的定义域是（）A、(0,)B、0,)C、(1,)D、1,)6函数f(x)2x22(a1)x1在区间5,)上是增函数，则实数a的取值范围是（）A、6,+)B、(6,)C、(,6 D、(,6)7设 5x=4，5y=2，则52xy=86133340.0625 (5)0 2148=9函数y ax33(a 0且a 1)的图象恒过定点_10若函数f(x)a 14

19、x1是奇函数，则a=_11已知x3,2，求f(x)114x2x1的最小值与最大值12已知f(x)10 x10 x10 x10 x（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：f(x)是定义域内的增函数；（3）求f(x)的值域【拓展训练】【拓展训练】1化简1213212116121812141212，结果是（.下载可编辑.）.11A、12322x11111B、1232 C、1232 D、1232212若函数y a(b1)(a 0,a 1)的图像经过第一、三、四象限，则一定有（）A、a 1且b 0B、0 a 1且b 0D、a 1且b 12C、0 a 1且b 0 x3设集合S y|y 3,xR,T y|y x

20、 1,xR，则S I T是（）A、B、T C、S D、有限集4F(x)12 f(x)(x 0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（）x2 1A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数5函数y a(a 1)的图象是（）|x|6函数y 164x的值域是（）A、0,)B、0,4C、0,4)D、(0,4)4x17（2010 重庆）函数fx的图象（）2xA、关于原点对称 B、关于直线y=x对称 C、关于x轴对称 D、关于y轴对称8方程24x1174x8 0的解x x9函数f(x)a(a 0且a 1)在区间1,2上的最大值比最小值大1212a，则a=_

21、210若x x 3，求x x3的值22x x2323211如果函数y a.下载可编辑.2x 2ax1(a 0且a 1)在1,1上的最大值为 14，求实数a的值.12已知f(x)axx(a a)(a 0,a 1)2a 1（1）判断f(x)的奇偶性；（2）讨论f(x)的单调性；（3）当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围 2xb13（2006 重庆文）已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数2 a（1）求a,b的值；（2）若对任意的tR，不等式f(t 2t)f(2t k)0恒成立，求k的取值范围【参考答案】【参考答案】一、巩固练习答案一、巩固练习答案1、选D2、选A原式 2x2211(1)

22、23 212x3、选A由12 0得2 1，从而x 04、选D注意先确定定义域.下载可编辑.1111x5、设y a，把(1,3)代入得a，f(3)2733276、a 1a22a1(a1)2 a1，得a1 0，所以a 135937100310031648118、由f(0)0得a 227、100原式9、解：令u x 2x5 (x1)4，由于y 为减函数，所以y 2213u13x22x5在(,1单调递增，在1,)单调递减，当x 1时，y取到最大值11，所以值域为(0,8181xxxx10、（1）证明：任取x1、x2 R，使x1 x2，f(x1)f(x2)2122(2122)(12x1x2)(22)x1

23、x21因为x1 x2 0，所以12x1x21，112x1x2 0，又2x12x2 0，所以f(x1)f(x2)0，所以f(x)在(0,)上是增函数（2）解：由2 2xx 52x3得(2x)21 532x，即(2x)232x 4 0，得2x 4或2x 1，得x 2二、课后作业答案二、课后作业答案1、选D2、选C原式(a b a b)b a732313233212 a5233b4733ab3、选Cy1 24、选D5、选B20.9 21.8，y2 230.48 21.44，y3 2(1)(1.5)21.5，由指数函数单调性得y1 y3 y26、选Cf(u)2是增函数，所以u x 2(a1)x1在5,

24、)上单调递增，所以2xyu22(a1)5，解得a 627、85(5x)242y85225327411531111 5481622222x8、5原式9、(3,4)根据指数函数y a恒过点(0,1)可得出4x111112a 0a ax 0，10、由f(x)f(x)0得ax，得14x22414 1.下载可编辑.11，则u,8，x24131 11y u2u 1(u)2在,上单调递减，在,8上单调递增，4 222413当u，即x 1时，f(x)min；当u 8，即x 3时，f(x)max 572411、解：令u 10 x10 x f(x)，f(x)是奇函数12、（1）解：f(x)的定义域为 R，且f(x

25、)x1010 x10 x10 x102x121（2）证明：方法一：f(x)xx2x2x10 10101101令x2x1，则f(x2)f(x1)(12x22x12102x2)(12x1110+10,102x22102x2102x1)22x22x11(101)(101)当x2x1时，10-100.又102x1+10，故当x2x1时，f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)是增函数方法二：考虑复合函数的增减性10 x10 x21.由f(x)xx2x10 10101y1=10 为增函数，y2=10+1 为增函数，y3=2xx2102x1为减函数，y4=21012x为增函数，f(x)

26、121012x为增函数10 x10 xf(x)x在定义域内是增函数x10 101 y102x1,解得 102x=（3）解：方法一：令y f(x)，由y 2x1 y10110 0，1 y 1，即f(x)的值域为（-1，1）方法二：f(x)=1-0 0,10+1 1.2x2x2102x11 时，a10，yax为增函数，yax为减函数，从而y axax为增函数，所以f(x)为增函数当 0a1 时，a10，且a1 时，f(x)在定义域内单调递增（3）由(2)知f(x)在 R R 上是增函数，在区间1,1上为增函数，f(1)f(x)f(1)，aa1a21(aa)2 1f(x)minf(1)2a 1a 1

27、a要使f(x)b在1,1上恒成立，则只需b1，故b的取值范围是(，113、解：（1）因为f(x)是 R 上的奇函数，所以f(0)0,即1b 0,解得b 12 a11 2 121.又由f(1)f(1)知从而有f(x)x1，解得a 2 22 a4 a1 ax.下载可编辑.2x111 x,（2）解法一：由（1）知f(x)x122 12 2由上式易知f(x)在 R 上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2 2t)f(2t2 k)0等价于f(t2 2t)f(2t2 k)f(2t2 k).因f(x)是 R 上的减函数，由上式推得t 2t 2t k.即对一切t R有3t 2t k 0,从而 412k 0,解得k 222132x1,解法二：由（1）知f(x)x12 2又由题设条件得即(22t2222t22t1 2t 2t12222t2k1 22t k122 0，2k12)(2t 2t1)(2t 2t12)(22t k1)0，整理得23t22tk1，因底数 21，故3t2 2t k 0，上式对一切t R均成立，从而判别式 412k 0,解得k .13.下载可编辑.