有关三角形与概念经典习题集.pdf

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1、1111、三角形及有关概念、三角形及有关概念【知识精读】【知识精读】1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3.三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。4.补充

2、性质：在ABC中，D 是 BC 边上任意一点，E 是 AD 上任意一点，则SABESCDE SBDESCAE。AEBDC三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。5.三角形边角关系、性质的应用【分类解析】【分类解析】例 1.锐角三角形 ABC 中，C2B，则B 的范围是（）A.10 B 20C.30 B 45分析：分

3、析：因为ABC为锐角三角形，所以0 B 90又C2B，0 2B 900 B 45又A 为锐角，A 180 B C为锐角B C 903B 90，即B 3030 B 45，故选择 C。例 2.选择题：已知三角形的一个外角等于160，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定B.20 B 30D.45 B 60分析：分析：由于三角形的外角和等于 360，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。解：解：三角形的一个外角等于160另两个外角的和等于 200设这两个外角的

4、度数为2x，3x2x 3x 200解得：x 402x 80，3x 120与 80相邻的内角为 100这个三角形为钝角三角形应选 C例 3.如图，已知：在ABC中，AB 11AC，求证：C B。22EAF分析：分析：欲证C BC1可作ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，只要证C EBCB，21即可。为与题设ABAC联系，又作 AF/BE 交 CB 的延长线于 F。2显然EBCF，只要证C F即可。由AF 2AB AC可得证。证明：作ABC 的角平分线 BE 交 AC 于 E，过点 A 作 AF/BE 交 CB 的延长线于 F AF/BE，F EBC，FAB ABE又BE 平分ABC，EBC

5、ABEFFAB，ABBF又ABFBAF，即 2ABAF1AC，AC AF21F C，又F ABC21C B2又AB 例 4.已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的11与之间。64分析：分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。AcBabC证明：证明：如图，设ABC的三边为 a、b、c，其中a2c，bac，a2cbc因此，c 是最小边，b3c因此，abc2c3cc，即c1(abc)61(abc)411故最小边在周长的与之间。64(abc)c中考点拨：中考点拨：例 1.选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（）A.50

6、B.100C.180A16D.200BGFECD分析：分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。解：解：C E AGF，B D AFGA B C E D A AGF AFG 180所以选择 C例 2.选择题：已知三角形的两边分别为5 和 7，则第三边 x 的范围是（）A.大于 2B.小于 12C.大于 2 小于 12D.不能确定分析：分析：根据三角形三边关系应有7 5 x 7 5，即12 x 2所以应选 C例 3.已知：P 为边长为 1 的等边ABC内任一点。求证：32 PA PB PC 2AEFPBC证明：证明：过 P 点作 EF/BC，分别交 A

7、B 于 E，交 AC 于 F，则AEPABC60 EAP EAF 60APE 60在AEP中，APE AEP，AE AP AFE ACB 60，AEF 60AEF是等边三角形AF EFAE APBE EP BPPF FC PCAE EBEP PE FC AP BP PCAB EF FC AP BP PCABAF AC AP BP PCPB PA PC AB AC 2PA PB ABPB PC BCPC PA AC2PA PB PC AB BC AC 32 PA PB PC 题型展示：题型展示：32例 1.已知：如图，在ABC中，D 是 BC 上任意一点，E 是 AD 上任意一点。求证：（1）B

8、ECBAC；（2）ABACBEEC。AFEBDC分析：分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。证明：证明：（1）BED 是ABE的一个外角，BED BAE同理，DEC CAEBED DEC BAE CAE即BEC BAC（2）延长 BE 交 AC 于 F 点 AB AF BE EF又EF FC EC AB AF EF FC BE EF EC即AB AC BE EC例 2.求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45。已知：如图，在ABC中，C 90，EAB、ABD是ABC的外角，AF、BF分

9、别平分EAB 及ABD。求证：AFB45CAEFBD分析：分析：欲证AFB 45，须证FAB FBA 135AF、BF 分别平分EAB 及ABD要转证EABABD270又C90，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和问题得证证明：证明：EABABCCABDCABCABCCCAB180，C90EAB ABD ABC C CAB C 18090 270AF、BF 分别平分EAB 及ABDFAB FBA 11EAB ABD27013522在ABF中，AFB180 FAB FBA 45【实战模拟】【实战模拟】1.已知：三角形的三边长为3，8，1 2x，求 x 的取值范围。2.已知：ABC中，AB

10、BC，D 点在 BC 的延长线上，使AD BC，BCA，CAD，求和间的关系为？BACD3.如图，ABC中，ABC、ACB的平分线交于 P 点，BPC 134，则BAC（）A.68B.80C.88D.46APBC4.已知：如图，AD 是ABC的 BC 边上高，AE 平分BAC。求证：EAD 1C B2AB5.求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。EDC【试题答案】【试题答案】1.分析：分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。解：解：三边长分别为 3，8，1 2x，由三边关系定理得：5 1 2x 114 2x 102 x 52.解：解：AB B

11、C，BCA BAC 又 AD BC，AD ABD B，又BCA D BD，B 根据三角形内角和，得：218031803.解：解：BPC 134PBC PCB 46又BP、CP 为B、C 的平分线11ABC，PCB ACB221PBC PCB ABC ACB2ABC ACB 2 46 92PBC BAC 180ABC ACB 884.证明：证明：EAD EAC CADAE 平分BAC，EAC 1BAC2又ADBC，ADC 90CAD 90C又 BAC 180B CEAD 1BAC CAD21180B C90C211C B22EAD 5.1C B2证明：证明：如图，设ABC的BAC 和ABC 的外角平分线交于点 DDAEBCG FAB ABC ACBEBA BAC ACBDAB DBA1FAB EBA21ABC BAC ACB2则ADB180 DAB DBAABC ACB BAC1ABC BAC ACB21ABC BAC211又ACG ABC BAC221ADB ACG。2