高三数学一轮复习 数学归纳法随堂检测 理 北师大版.pdf

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1、20112011金版新学案高三数学一轮复习金版新学案高三数学一轮复习 数学归纳法随堂检测数学归纳法随堂检测 理理 北北师大版师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)11 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验 n 等于()2A1 B2C3 D0【解析解析】因为 n3，所以，第一步应检验n3【答案答案】Cnn2用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x y 能被 xy 整除”的第二步是()A假使 n2k1 时正确，再推 n2k3 正确(kN N)B假使 n2k1 时正确，再推 n2k1 正确(kN N)C假使 n

2、k 时正确，再推 nk1 正确(kN N)D假使 nk(k1)时正确，再推nk2 时正确(kN N)【解析解析】因为 n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第 k 个正奇数也成立，本题即假设 n2k1 正确，再推第 k1 个正奇数，即 n2k1 正确【答案答案】B1113设 f(n)，nN N，那么 f(n1)f(n)()n1n2nn11A.B.2n12n21111C.D.2n12n22n12n21111【解析解析】f(n1)f(n)(n1)1(n1)2(n1)n(n1)(n1)11111111.n1n2nn2n12n2n12n12n2【答案答案】D4数列an中，已知 a11，

3、当 n2 时，anan12n1，依次计算 a2，a3，a4后，猜想 an的表达式是()2A3n2 Bnn1C3 D4n3【解析解析】计算出 a11，a24，a39，a416.2可猜 ann.故应选 B.【答案答案】B5下列代数式(其中 kN N)能被 9 整除的是()kk1A667 B27k1kC2(27)D3(27)k【解析解析】(1)当 k1 时，显然只有 3(27)能被 9 整除nn1(2)假设当 kn(nN N)时，命题成立，即 3(27)能被 9 整除，那么 3(27)21(2n7)36.这就是说，kn1 时命题也成立由(1)(2)可知，命题对任何 kN N都成立【答案答案】D23n

4、1n6已知 12333 43 n33(nab)c 对一切 nN N都成立，则a、b、c 的值为()111Aa，bc Babc2441Ca0，bc D不存在这样的 a、b、c4【解析解析】等式对一切 nN N均成立，n1,2,3 时等式成立，即13(ab)c21233(2ab)c12333233(3ab)c3a3bc1整理得18a9bc7，81a27bc3411解得 a，bc.24【答案答案】A二、填空题(每小题 6 分，共 18 分)7 猜想 11,14(12),149123，第 n 个式子为_n12n1【答案答案】149(1)n(1)(123n)8下面三个判断中，正确的是()2nf(n)1k

5、k k(nN N)，当 n1 时，f(n)1；111f(n)1 (nN N)，232n111当 n1 时，f(n)1 ；23111f(n)(nN N)，则 f(k1)n1n23n1111f(k).3k23k33k4【解析解析】中 n1 时，f(n)f(1)1k 不一定等于 1，故不正确；11中 n1 时，f(1)1 ，故正确；231111中 f(k1)f(k)，3k23k33k4k1故不正确【答案答案】9设平面内有 n 条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数，则 f(4)_；当 n4 时，f(n)_(用 n 表示)【解析解

6、析】f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得2(n1)f(n)f(2)234(n1)(n2)21f(n)(n1)(n2)21【答案答案】5(n1)(n2)2三、解答题(共 46 分)10(15 分)对于 nN N，用数学归纳法证明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n11 n(n1)(n2)6【证明】设 f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)当 n1 时，左边1，右边1，等式成立；(2)设当 nk(k1 且 kN N)时等式成立，即

7、 1k2(k1)3(k2)(k11)2k1 k(k1)(k2)，6则当 nk1 时，f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)12(k1)1f(k)123k(k1)11 k(k1)(k2)(k1)(k11)621(k1)(k2)(k3)6由(1)(2)可知当 nN N时等式都成立bn11(15 分)已知点 Pn(an，bn)满足 an1anbn1，bn12(nN N)且点 P1的坐标14an为(1，1)(1)求过点 P1，P2的直线 l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN N，点 Pn都在(1)中的直线 l 上【解析解析】(1)由 P1的坐标为(1，1)知a11，b11.b1

8、1b22.14a131a2a1b2.311点 P2的坐标为，33直线 l 的方程为 2xy1.(2)证明：当 n1 时，2a1b121(1)1 成立假设 nk(kN N，k1)时，2akbk1 成立，bk则 2ak1bk12akbk1bk12(2ak1)14akbk12ak1，12ak12ak当 nk1 时，命题也成立由知，对 nN N，都有 2anbn1，即点 Pn在直线 l 上12(16 分)已知an是由非负整数组成的数列，满足 a10，a23，an1an(an12)(an2)，n3,4,5，.(1)求 a3；(2)证明 anan22，n3,4,5，；【解析】由题设得 a3a410，且 a3、a4均为非负整数，所以 a3的可能的值为 1,2,5,10.335若 a31，则 a410，a5，与题设矛盾若 a35，则 a42，a5，与题设矛盾若 a322310，则 a41，a560，a6，与题设矛盾所以 a32.5(2)用数学归纳法证明：当 n3，a3a12，等式成立假设当 nk(k3)时等式成立，即akak22，由题设 ak1ak(ak12)(ak22)，akak220，ak1ak12，也就是说，当 nk1 时，等式 ak1ak12 成立根据和，对于所有 n3，有 an1an12.2