对一道中考数学压轴题的探究及推广.pdf

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1、对一道中考数学压轴题的探究和推广对一道中考数学压轴题的探究和推广【摘要】：广州市广州市 20162016 中考数学压轴题以等腰直角三角形及其外接圆上一动点为载体，中考数学压轴题以等腰直角三角形及其外接圆上一动点为载体，以探究其中三条线段平方之间的等量关系为核心，着重考查了与圆相关的几何知识、构造三以探究其中三条线段平方之间的等量关系为核心，着重考查了与圆相关的几何知识、构造三角形全等、角形全等、旋转和勾股定理等初中数学的重点与难点内容旋转和勾股定理等初中数学的重点与难点内容,体现了中考数学压轴题的选拔功能体现了中考数学压轴题的选拔功能.笔者对笔者对 20162016 年广州市中考数学压轴题进行

2、多解分析与加强推广年广州市中考数学压轴题进行多解分析与加强推广,以期解剖和领悟中考压轴题以期解剖和领悟中考压轴题的评价功能和考查重点的评价功能和考查重点,促进在新课改背景下的探究性学习和研究性学习的开展。促进在新课改背景下的探究性学习和研究性学习的开展。【关键词】:中考数学中考数学压轴题压轴题探究推广探究推广广州市 2016 中考数学压轴题以等腰直角三角形及其外接圆上一动点为载体,以探究其中三条线段平方之间的等量关系为核心，着重考查了与圆相关的几何知识、构造三角形全等、旋转和勾股定理等初中数学的重点与难点内容。要求考生具备良好的空间想像能力和较强的逻辑推理能力才能圆满解答，较好地体现了中考数学

3、压轴题的选拔功能。故此,笔者以下特分享对 2016 年广州市中考数学压轴题的多解分析与加强推广，以期更好地解剖和领悟中考压轴题的评价功能和考查重点,促进在新课改背景下的探究性学习和研究性学习的开展。一、相关试题的描述试题:如图1，点C为ABD外接圆上的一动点(点C不在BAD上，且不与点B,D重合）,ACBABD45。(1)求证：BD是该外接圆的直径;(2)连接CD,求证：2AC BC CD；(3)若ABC关于直线AB的对称图形为ABM，连接DM，试探究DM2,AM2，BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论。图 1CBDA二、相关试题的剖析(一）。第一问的证明方法证 明:因 为AB AB，

4、所 以ACBADB,又ACBABD 45，所 以ADBABD45，则在ABD中,BAD90，所以BD是ABD外接圆的直径.【评析】【评析】:第一问考查了圆的相关知识，特别是学生比较熟悉的第一问考查了圆的相关知识，特别是学生比较熟悉的“90的圆周角所对弦是的圆周角所对弦是1直径直径”的性质定理，让大部分考生能心平气和地顺利解决的性质定理，让大部分考生能心平气和地顺利解决,为下面更好地展开第二问和第三问为下面更好地展开第二问和第三问做了良好的铺垫，体现了试题由浅入深做了良好的铺垫，体现了试题由浅入深,逐步递进的命题特色逐步递进的命题特色,符合学生认知发展的规律。符合学生认知发展的规律。(二）第二问

5、的几种证法证法 1：（将（将ADC绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90)如 图2，因 为ADBABD45，所 以将ADC绕点A顺时针旋转90AB AD,BAD90，得到CBCDAABC，所以AC AC，CAC 90,CB CD,ABCADC,又 四 边 形ABCD的顶点在同一圆上，所以ADCABC180,则ABCABC180,即C，B，C在同一直线上，则RtCAC中,AC2 AC2 CC2,即2AC2 CC2,所 以图 22AC CC,又CC BCCB BCCD,所以2AC BC CD.证法 2：(延长延长CB并构造与并构造与ADC全等的三角形全等的三角形)如图 2，延长线段CB到点C,并截取C

6、B CD，连接AC，因为ADBABD45,所以AB AD,又 四 边 形ABCD的 顶 点 在 同 一 圆 上，所 以ADCABC 180，又ABCABC180，所以ABCADC，则ABCADCSAS，所以AC AC，又ACB45，则ACB ACB 45，即CAC 90，则 在RtCAC中，AC2 AC2 CC2，即2AC2 CC2,所 以2AC CC，又CC BCCB BCCD,所以2AC BC CD。证法 3：(分别过分别过B，D作作AC的垂线段，构造等腰直角三的垂线段，构造等腰直角三角形角形)如图 3,作BE AC,垂足为点E，因为ACB45，所以AEBDFC图 3ACBEBC 45，则

7、EB EC，因 为 在RtBEC中，EB2 EC2 BC2，即2EC2 BC2，所 以2EC BC;作DF AC，垂足为点F，因为AD AD,所以ACDABD 45,则ACD DFC 45,2所以CF DF，因为在RtCFD中，CF2 DF2 CD2，即2DF2 CD2，所以2DF CD;又BAD90，即BAEFAD90,又ADFFAD90，所以BAEADF,又AB AD，所 以ABEDAFAAS，则AE DF，所 以2AE CD，则2EC 2AE BCCD，即2EC AE BCCD，所以2AC BC CD。【评析】【评析】:第二问的证法第二问的证法 1 1 与证法与证法 2 2 分别通过三角

8、形旋转和构造全等三角形，分别通过三角形旋转和构造全等三角形，将线段将线段BC与与CD拼接在同一直线上拼接在同一直线上,再利用等腰直角三角形直角边与斜边的关系得到所求证的结论；而证再利用等腰直角三角形直角边与斜边的关系得到所求证的结论；而证法法 3 3 则是过则是过B，D作线段作线段AC的垂线段，将线段的垂线段，将线段AC拆分成拆分成EC和和AE两部分两部分,再利用等腰直角再利用等腰直角三角形直角边与斜边的关系和全等三角形的转换得到所求证的结论。显然相对于第一问，第三角形直角边与斜边的关系和全等三角形的转换得到所求证的结论。显然相对于第一问，第二问在思维层次上做了一个适当的提升二问在思维层次上做

9、了一个适当的提升,对部分中等偏下的考生设置了障碍对部分中等偏下的考生设置了障碍.事实上事实上,无论是用无论是用“拼接拼接”还是还是“拆分拆分”的方法，都要求考生具备一定的几何构造能力和比较扎实的数学基础才能的方法，都要求考生具备一定的几何构造能力和比较扎实的数学基础才能圆满解答，逐步体现中考数学压轴题的选拔性特点圆满解答，逐步体现中考数学压轴题的选拔性特点.（三)。第三问的探究结论是DM2 2AM2 BM2,以下分享四种相关证法证法 1：(延长延长MB交交ABD外接圆于点外接圆于点N，构造，构造RtMND)如图 4，延长MB交ABD外接圆于点N，连接DN，MAN，因为AB AB，所以ANBAC

10、B 45，又ABC与ABM关 于 直 线AB对 称，所 以ACB AMB 45，则ANB AMB 45,所以AM AN,AMAN 90，则在RtMANBDC中,MN2 AM2 AN2，即MN2 2AM2;又AM AC,所以AN AC，则AN AC，又AB AD，则AB AD,所 以NB CD，又BD BD，所 以DN BC，则N图 4DN BC,又BC BM，所以DN BM,因为BD是ABD外接圆的直径，所以BND90，则在RtMND中，DM2 MN2 DN2 2AM2 BM2，所以DM2 2AM2 BM2。证法 2:(:(过点过点A作作AC的垂线交的垂线交CD延长线于点延长线于点G，构造，构

11、造RtBCG）3MA如图 5,过点A作AC的垂线交CD延长线于点G,连接BG，DG,因为AD AD，所以ACDABD45，MBGACD又CAG90，则DACGAGC 45,所以AG AC,则在RtCAG中，CG2 AG2 AC2，B图 7DC即CG 2AC;又ABC与ABM关于直线AB对称，所以AC AM，BC BM，则AM AG，又22图 5MABCAB，BAD90，所以MABBADCABCAG,即MADGAB，又AD AB，所以MADGABSAS，则DM BG,因为BD是ABD外接圆的直径，所以BCD90，则 在RtBCG中,BG2 CG2 BC2，即DM2 2AC2 BC2，所 以DM2

12、 2AM2 BM2。证法 3：（将（将ADM绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90,构造构造MRtBMM)如图 6,因为AB AD，BAD90，所以将MAADM绕点A顺时针旋转90得到ABM,连接BM，MM，则DM BM，AM AM，MAM90,所以AMMAMM 45，则 在RtMAM中，MM2 AM2 AM2,即MM2 2AM2;又ABC与BCDABM关于直线AB对称,所以ACBAMB45，则AMMAMB90,即BMM90，则 在RtBMM中,BM2 MM2 BM2，所以图 6DM2 2AM2 BM2。证法 4：（作（作DM垂直且相等于垂直且相等于DM，构造，构造RtDBM）如图 7，作DM D

13、M且DM DM，连接DD,DB，则DMD是等腰直角三角形,所以4DDBD又由（1）知BAD也是等腰直角三角形,所以2，MDD MDD 45，2，MDADDDBD2,MDDADB，所以MDDMDBADBMDB，ADB 45，则MDADBD即BDDADM,所以BDDADM,则BDDAMD，2,即BD 2AM；AM又ABC与ABM关 于 直 线AB对 称,所 以ACBAMB45，则MDDBDDAMBAMD,即MDBDMB,又DMBDMB90，所 以MDBDMB90,则DBM 90，所以在RtDBM中，DM2 BD2BM2，即DM【评析】【评析】：第三问的四种证法分别通过延长线段引出垂直、第三问的四种

14、证法分别通过延长线段引出垂直、三角形旋转和作线段垂直且相三角形旋转和作线段垂直且相等的方法来构造直角三角形，等的方法来构造直角三角形，再将再将DM2，AM2,BM2构造在同一直角三角形中构造在同一直角三角形中,最后根据勾股最后根据勾股定理解决问题。定理解决问题。事实上事实上,无论用哪种方法和思路无论用哪种方法和思路,都要求考生具备较强的空间想像能力，都要求考生具备较强的空间想像能力，跨知识跨知识点的运用、点的运用、分析和逻辑推理能力和稳定的心理素质才能圆满解答分析和逻辑推理能力和稳定的心理素质才能圆满解答,充分体现了考基础、充分体现了考基础、考能力、考能力、考素质、考素质、考潜能和以学生发展为

15、本的考试目标考潜能和以学生发展为本的考试目标,为部分优等生提供了一个充分展现其数学思维为部分优等生提供了一个充分展现其数学思维和能力的平台，让真正优秀的学生脱颖而出，达到通过压轴题增加试卷区分度的目的和能力的平台，让真正优秀的学生脱颖而出，达到通过压轴题增加试卷区分度的目的.22AM2 BM2 2AM2BM2,所以DM2 2AM2 BM2.三、关于试题的拓展延伸三、关于试题的拓展延伸笔者在试题解答的过程中,发现还有两个重要问题值得进一步拓展延伸。一是作ACD关于直线AD的轴对称图形AHD,其中BH2，AH2，DH2之间是否也有类似的结论？二是点C在ABD外接圆上运动的过程中,线段DM的长度也随

16、之发生变化，则线段DM长度的最大值和最小值分别是多少?以下笔者将对这两个问题作出解答，以期更好地剖析试题的内涵，挖掘它的亮点。拓展延伸拓展延伸1:作ACD关于直线AD的对称图形AHD,连接BH,试探究BH2，AH2，DH2三者之间满足的等量关系，并证明探究的结论.解：BH2，AH2，DH2满 足 的 等 量 关 系 为：AHBH2 2AH2 DH2.理由如下:如图 8,因为AB AD，HB5DC图 8BAD90,所以将ABH绕点A逆时针旋转90得到ADH，连接DH，HH，则BH DH，AH AH,HAH90,所 以AHHAHH 45，则 在RtHAH中,HH2 AH2 AH2，即HH2 2AH

17、2；因为ACD与AHD关于直线AD对称，所以ACDAHD，又AD AD,则ACDABD 45，所 以AHD 45，则AHHAHD90,即HHD90,则 在RtHHD中，DH2 HH2DH2,所 以BH2 2AH2 DH2。拓展延伸拓展延伸2:在(3)的条件下，设BD2,试求点C在ABD外接圆上运动的过程中,线段DM长度的最大值和最小值?解：如图 9,由（1）知BD是ABD外接圆的直径,则作BD中点O，即O是ABD外接圆圆心,连接MOA,OC，因为AB AD,所以AOB90，又BD2，所以OAOBOC 1,则ABO 45,作AOB关于直线AB的对称图形AOB，连接OM,则OAOB 1，又ABC与

18、ABM关ABO 45，于直线AB对称，所以BC BM,ABC ABM，则OABOC图 9DABCABOABMABO，即OBCOBM，又OBOB 1,所以OBCOBMSAS，则OC OM1，即OAOB OM 1，所以点M在以O为圆心,OA为半径的圆上运动,连接OD，因为ABOABO90，即OBD90，所以ODBD2OB222125，因为在MOD中,ODOM DMODOM,所以当M,O，D共线时，DM取得最大值（ODOM）为51;当O，M,D共线时，DM取得最小值（ODOM)为51。四、相关试题的推广四、相关试题的推广“从特殊到一般，再从一般到特殊”是数学探究的常用方法。随着对这道中考压轴题研究的

19、逐步深入,以下笔者把试题的问题和结论推广到一般情况。6题 设:如 图 10，在ABD中，AB AD，MABD2,ABD(090)，O是ABD的外接圆，点C在O上运动，连接CA，CB，CD，作ABC关于直线AB的对称图形ABM,连接DM。推论 1：当点C不在BAD上，且不与点B，D重合时，图 10BODC2ACcos BCCD;推论 2:当点C不在劣弧AB上,且不与点A,B重合时,DM2 4AM2cos2BM24AMBMcoscos2；推论 3:点C在O上运动的过程中，14sin22114sin221,DM的最小值为.DM的最大值为sin2sin2以上对试题推广结论的证明,有兴趣的读者可以参照本文自行完成，这里不再赘述。通过对广州市 2016 中考数学压轴题的多解分析与加强推广，笔者发现此题可作为研究性教学的素材,对本题进行研究性教学时,学生可重点研究试题的立意以感悟考查的目的与学习重点，研究试题的解法以优化解题策略和方法，研究试题的加强与推广以培养探究意识和创新精神。总之，初中数学的主要任务不仅是学知识,也要增强数学素质，优化思维结构，注意思想方法和能力的提升。【参考文献】：1梁文威.对 2013 年广东高考数列题的探究及推广J.广东教育，2013,（9):3637。23唐潇妮 教育的真谛J。广东教育,2016，(11）：72。78