中考数学解题策略分类盘点.pdf

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1、-.-中考数学解题策略分类盘点中考数学解题策略分类盘点XX：_指导：_日期：_-.考试资料-.-1定变分析题中哪些是常量哪些是变量？常量如何求？变量满足什么关系式？哪些是定点哪些是动点？定点如何确定？动点能确定运动轨迹吗？图形的形状确定吗？图形的大小确定吗？数量或图形之间的依存关系是什么？定变分析帮助我们判断哪些量是可求的，哪些量是不可确定的，从而明确解题的下一步思路例 3.以点 O 为直角顶点作两个直角三角形，分别为 AOB、COD，其中B30，BO=23，E 是 OD 上一点且 OE=1，P 是线段 AB 上一个动点，当 AOB 绕点 O 旋转时，PN 的最大值为，最小值为.结合问题观察推

2、理，COD 的形状大小与本题要求的问题有关系吗？显然并没有半毛钱关系，可以直接忽略不看，因为 PE 的长度只和其中的 OE 有关。再看 AOB已知两角一边，它的形状大小都确定，又P 点是 AB 上动点，所以 P 点轨迹首先-.考试资料-.-是线段 AB。AOB 绕点 O 旋转时，AB 绕点 O 旋转，AB 是动线段，它的运动轨迹也是可以确定的，显然它旋转一周形成的轨迹是圆环，如下图：注意内圆半径是 O 到 AB 的距离，即 AB 边上的高，因AOB 大小确定，高OH 亦可确定。现在我们把那个捉摸不定的动点 P 确定下来，P 点可以看成是圆环内（包含边界）的任意一点，问题转化为 E 到圆环的最大

3、最小距离，变成一个非常简单的求点到圆最值的基本问题：-.考试资料-.-显然 OP 最大为：大圆半径+OE=23+1，最小为：小圆半径OE=31。本题还有更简洁的思考策略，AOB 相对于 OE 旋转了一周，若 AOB 不动，把线段 OE 旋转一周，它们之间的关系是相同的。这里E 点轨迹是以 O 为圆心 1 为半径的圆，转化为线段到圆的路径最值问题：从更宏观的角度看，这里 E 点的位置和 P 点的位置都是不确定的，但它们的轨迹是确定的，又可以看成圆到圆的路径最值问题：-.考试资料-.-以上解法的本质是通过寻找轨迹把不确定的点限定在一定 X 围，并以确定的图形把它呈现出来，从而转化为已知的常用模型来

4、解决，这体现了定与变的相对转化：变量可以由确定的关系式来限定，动点可以由确定的图形来限定，定值和定点都可以由特定的模型而求解。2方程解析笛卡尔说过，一切问题都可以转化为数学问题,一切数学问题都可以转化为代数问题,而一切代数问题都可以转化为解方程！建立方程式求未知量的值是解决数学问题的通用策略，在坐标系中求未知点坐标也常常利用函数简析式建立方程求解 确定 n 个未知数的值需建立 n 个方程式；确定两个图像的公共点需求出两个图像的函数解析式例 4如图，ABC 的内切圆与各边相切于点 D、E、F，A=60，BD=m，CD=n，用 m、n 表示 ABC 的面积.-.考试资料-.-首先根据切线长定理可知

5、图中线段的相等关系：这样各边中仅有 AE（AF）是未知量，但我们再由条件A=60可以建立方程求得未知量与 m、n 的关系，最后便可以用 m、n 表示面积。用什么模型建立关系呢？这里有特殊角度，而且需要求面积，我们自然可以想到构造相关直角三角形：-.考试资料-.-我们还可以用内切圆半径与三角形面积关系建立方程：-.考试资料-.-3.设参列式题中存在较为复杂的数量关系时，我们可以设出合适的参数，再用此含参数的代数式表示相关数量，以方便寻找新的关系和结论。例 5.正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上一点，CE=3，DF=2，FEC=2BAE，求正方形边长.-.考试资料-.-题中条件

6、“FEC=2BAE”直接看不出下一步结论，我们先设FEC=2BAE=2，则BEA=90，再得AEF=180(90)2=90，可得结论AEF=BEA，这个结论一旦出现，下面的思路就容易了，构造翻折型全等，容易在CEF 中根据勾股定理求得正方形边长。例 6.如图，正方形 ABCD 边长为 2，E 是正方形内一点，CE=BC，EHBC 于 H，点 P 是 RtCEH 内心，则 DP 的最小值为.-.考试资料-.-本题中 P 是动点，我们通常先考虑 P 点的运动轨迹，用“动中寻定，以静动”的方法，动点的运动轨迹是由定值（定点、定长、定线、定角等）确定的，设PEC=，PCE=，则PHE+HCE=2+2=

7、90，+=45，所以有定角CPE=135，但 CPE是运动的，这时条件“CE=BC”就派上用场了，可得CPE 与 CPB 全等，CPB=CPE=135，产生了“定边对定角”模型，可知 P 点运动轨迹是 BC 为弦的弧，顺利转化为基本问题：点到圆的最短路径。本题中利用参数、的关系求得定角CPB=CPE=135是关键的一步，可见设-.考试资料-.-参列式是寻找数量关系的一般策略。4.完形构造模型化是数学中重要的思想方法，数学问题都是通过构造数学模型解决的，这里可分为三个层次：（1）组形：当题中已经具备完整的模型，识别相关元素并组合构造成特定数学模型。例 7.已知 RtABC 中，ACB=90，A=

8、30，BC=6，BDAB，M 是射线 BD 上一点，CM 交 AB 于点 N，求 MN 的最大值。根据条件识别图中具备 A 与 BCM 相似，从而构成“一转成双”模型，寻得另一对相似 M 与 BCA。-.考试资料-.-由于线段 MN 两个端点都是动点不易确定其最小值，可转化为求 CM 的最小值，即为定点到定线模型，当 CMBD 时最小，此时 CM=3，MN=6。（2）补形：当题中的模型残缺不完整时，添加补充合适的元素构造完整的数学模型。例 8.正方形 ABCD 边长为 4，E、F 分别是 AD、BC 上的点，且 AE=CF，作 APEF于 P，求 DP 的最小值。-.考试资料-.-看完本题，我

9、们应会感觉到已知图形太单薄，一定是需要补充点什么，由AE=CF且 AECF 我们想到“X 形”全等模型，如下图可得 AO 是定线。再由APO=90形成“定线对定角”模型，知 P 点轨迹是圆弧，问题即为“定点到定圆”的最短路径问题，如下图自然易求 DP 的最小值。-.考试资料-.-（3）变形：当题中的条件孤立隐蔽无联系时，把题中关键元素进行运动变换从而构造出新的数学模型。例 9.如图，F 是 ABC 的中点，以AB、AC 为斜边作 RtABD 和 ACE，ADB=AEC=90，BAD=CAE，求证：DF=EF.题中 DF、EF 所在的图形没有现成的模型，无法产生联系，因而需要用变换的方式进行构造

10、。题中有丰富的相等关系，可以猜测判断应该构造的模型是全等三角形。我们从中点条件看，常用的变换方式有：以线段端点为中心 1：2 缩放或以中点为中心旋转 180 度，分别可构造“A”形相似或“X”形全等。分别以点 B、C 为中心把 BDF 和 CEF 以 1：2 放大，构造“A 形”相似（即-.考试资料-.-倍长 BD、CE）：同时出现“手拉手”模型：分别以点 B、C 为中心把 ABC 以 2：1 缩小，构造“A 形”相似（即取 AB、AC 中点）：-.考试资料-.-同时出现“斜边中线”和“SAS 全等”：以点 F 为中心把 BDF 旋转 180 度，构造“X 形”全等（即倍长 DF）：-.考试资

11、料-.-同时出现“一转成双”型相似和“斜边中线”：根据此图还可推得EDF=BAD=CAE，DFE=2ABD=2ACE。下图是以点 F 为中心把 CEF 旋转 180 度，构造“X 形”全等（即倍长 EF）：-.考试资料-.-以点 F 为中心分别把 ADF、AEF 以 1：2 放大，构造“A 形”相似（即倍长DF），同时出现“X 形”全等和“SAS”全等：完形构造是解决数学题的通用策略，思考问题时要把题目条件与数学知识与模型相联系，根据需要补充辅助元素构造完整的数学模型，问题便可得以解决。/三、解题的常用方法/题海无边，题型却有限，题目万变，方法却不变，掌握一类问题的常用方法便可以大大提高解题效

12、率。1.归纳应用-.考试资料-.-归纳应用：从简单情形入手，归纳一般规律以解决复杂情况，多用于解决数、式、图的排列与计算问题。例 10.古希腊数学家把 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，第 100 个三角形数为，2016 是第个三角形数。相邻数据的差是等差数列，符合二阶等差数列特征：（1）1=1；（2）3=1+2；（3）6=1+2+3；（4）10=1+2+3+4；（n）1+2+3+n=n(n+1)/2，利用此关系式得第 100 个数为 5050；2016 是第 63 个数。例 11.求下列式子的结果：原式数据太多，而且数的排列具有规律性，我们先从简单情形进行计算归纳规律：从而得出它的

13、结果是三角形数，第 n 个式子的结果为 n(n+1)/2，n=100 时得结果为 5050.2.轨迹定位轨迹定位：问题中出现未知点或动点时，先确定该点的所在轨迹，再转化为与轨迹图形相关的问题加以解决。例 12.四边形 ABCD 中，BC=6，AB=AD，BAD=60，BDC=45，求AC 的最大值。-.考试资料-.-图中有“BC=6，BDC=45”，符合“定线对定角”模型，可判断 D 点在以 BC为弦所含圆周角为 45的圆弧上：D 点是主动点，A 点是从动点，A 点由点 D 绕点 B 逆时针旋转 60 度所得，由“主从联动”模型，可得点 A 的轨迹为弧 BDC 绕点 B 逆时针旋转 60 度所

14、得的等弧，圆心同样为点 O 绕点 B 逆时针旋转 60 度而得的点 E：-.考试资料-.-这样 CA 的最大值转化为“定点到定圆”的最大路径问题，即为 CE+AE 的值。换一种角度，把 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60 度至 DBP，得 DP=AC，同样可转化为定点 P 到定圆 O 的最大路径问题。或直接在DOP 中三边满足 DPDO+OP，即可求得 DP 的最大值。例 13.已知抛物线 y=-0.5x2+3x+8 与 x 轴分别交于点 A、B，D（3，0），E（0，5），-.考试资料-.-抛物线上有一点 P（异于 B 点）满足 PDE 的面积与 BDE 相等，求 P 点坐标。由 PDE 的

15、面积与 BDE 相等可知 P 点到 DE 的距离与 B 点到 DE 的距离相等，可确定 P 点所在直线是两条到 DE 的距离为定长的平行线，利用直线与抛物线相交可求得 P 点坐标。-.考试资料-.-如图，由 OM：OD=OB：OE 可得 OM=10/3，DN=DM=25/3，可求两条直线解析式分别为 y=-5/3x-10/3、y=-5/3x+40/3，再由解析式即可得 P 点坐标3.化折为直化折为直：定点间的几条折线段在一条直线上时，其和最小。另有：点到直线的所有连线中垂线段最小。这里的“直”理解为“直线”或“垂直”。注意：化折为直的前提是“几条连续折线在两个定点之间，或在定点与定线之间”，若

16、不满足需先进行变换转化。例 14.（1）如图，RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，点 P 是边上任意一点，则 PC 的最小值为-.考试资料-.-（2）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 M、点 N 分别在 BD、BC 上，求CM+MN 的最小值.（3）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE=2，点F 是 BC 边上的任意一点，把 BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 P 点，连接 AP、CP，四边形 APCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时 BF 的长度；若不存在，请说明理由-.考试资料-.-问题（1）

17、直接求点 C 到 AB 的距离。问题（2）中折线 CM、MN 居于轨迹线 BD同侧，无法化直，所以要先把 CM 或 MN 翻折变换到另一侧，以便化直，这样转化为点到线的最短路径问题。如下图，CM+MN=CM+MN，CN即为其最小值，在CCN中利用三角函数可求得为24/54/5=96/25。同样可以把 MN 沿 BD 翻折至 MN，N的轨迹即是把 BC 翻折后的 BC，转化为求C 点到直线 BC的最短路径，即 CH 的长。-.考试资料-.-问题（3）中可先确定 P 点轨迹为以 E 为圆心以 BE 为半径的圆弧，把四边形 APCD面积最小转化为 APC 面积最小，再转化为高 PH 最小，即求圆 E

18、 到直线 AC 的最短路径，过 E 作 AC 的垂线，所得 PH 即为最小值，求得四边形 APCD 的面积最小值为 15/2。4.改斜归正改斜归正：由于坐标的本质是水平竖直方向的距离，所以坐标系中往往把斜向线段的关系转化为正向（水平竖直方向）线段的关系解决。例 15.抛物线 y=0.5x2+1.5x-2 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 P 为抛物线在第三象限的一个动点，作 PHBC 于 H.-.考试资料-.-（1）求 PH 的最大值；（2）若HPC=2ABC，求点 P 的横坐标.问题（1）中 PH 的长不易表示，可以作 PNx 轴交 BC 于 M，设 P（x，0.5x2-1

19、.5x-2），M（x，-0.5x-2），则 PM=-0.5x2+x，PH=25/5PM，转化为求 PM 的最大值。问题（2）可先确定HPC=2ABC 的大小，再作 K 形相似把斜向关系转化为正向关 系 解 决。如 下 图，作 ODC=2ABC，易 得tanODC=4/3：-.考试资料-.-再以改斜归正法构造相似形，如下图，相似比为 HC:HP=4/3，即可把斜线段的关系转化为直角边的关系（这就是改斜归正的最大优越性），易得 P（-11a，-2-2a），代 入 函 数 表 达 式 即 可 求 得P点 横 坐 标 为-29/11。5.移花接木移花接木：问题中的表面形式变化而主体条件不变时，其方法思

20、路完全相同，可以相互迁移；或后续问题包含前题模型，可以直接套用前题模型得出结论。例 16.已知：ABC 是等腰直角三角形,动点 P 在斜边 AB 所在的直线上，以 PC 为-.考试资料-.-直角边作等腰直角三角形 PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题：(1)如图，若点 P 在线段 AB 上，且 AC=1+3，PA=2，则：线段 PB=，PC=；猜想：PA、PB、PQ 三者之间的数量关系为；(2)如图，若点 P 在 AB 的延长线上，在(1)中所猜想的结论成立吗，请说明理由；(3)若动点 P 满足 PA/PB=1/3,求 PC/AC 的值.问题（1）（2）所含模型及思路方法完全相同：手拉

21、手全等得RtBPQ，易知PA2+PB2=PQ2。-.考试资料-.-问题（3）直接用前面结论求 PQ，注意分类讨论：设 PA=a，PB=3a，PQ=10a，PC/AC=PQ/AB=10/4 或10/2。-.考试资料-.-6.运动变换运动变换：问题中条件孤立无联系，所含模型隐蔽，通过把关键图形运动变换以产生新关系新模型以解决问题。常见运动变换的识别线索有：（1）共点等线用旋转；（2）共线等角用翻折；（3）平行线间用平移；（4）倍分关系用缩放；（5）和差关系用截补。例 17.如图，四边形 ABCD 中，AB=AC，E 是 BC 的中点，BAE=ADC，AB:AD=2:3，BC=2，CD=5，求 BD

22、 的长.题中条件分散联系较少，由 BAE=ADC 导角得ABC+ADC=90，以此想到作ADF=ABC可构造直角（和差关系用截补），由AB:AD=2:3想到构造ADF与ABC相似（倍分关系用缩放），由 AB=AC 想到旋转 ABD 或 ACD（共点等线用旋转），上述几个线索都指向下面的构造方法：-.考试资料-.-上述构造都出现了一对全等三角形，一对相似三角形（等腰），一个直角三角形（CDF 或 BDF），从而获得完整的模型建立关系，易求 BD 的长为34。例 18.如图，四边形 ABCD 中，BD 平分ABC，BDCD，AC=4，BC-AB=3，当 ACD-.考试资料-.-的面积最大时，AD=

23、.题中有角平分线 BD，由“共线等角用翻折”把 BCD 沿 BD 翻折到 BED；也可根据条件 BC-AB=3，由“和差关系用截补”把 BA 延长截 AE=3 则得 BE=BC，它们指向同一种图形构造，如下图，ACD 的面积为 ACE 面积的一半，转化为求 ACE的面积最大值，AE、AC 为定值，显然当AEAC 时其面积最大，易得此时AD=1/2CE=2.5。7.分类讨论分类讨论：当问题存在多种可能情况时，按不同情况分类分别解决。注意分类应不重不漏，严谨全面，并指明数量的取值 X 围或图形的位置 X 围。例 19.已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A

24、、C 的-.考试资料-.-坐标分别为 A（10，0）、C（0，4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当 ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标为.分类：（1）OP=OD=5，（2）PD=OD=5，（3）OP=PD=5（不存在）。用轨迹定位法作圆 可 知OP=OD时 有 一 个 点；PD=OD时 存 在 两 个 点：-.考试资料-.-构造直角三角形分别求得 P 点坐标为（3，4）、（2，4）、（8，4）。例 20.将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转（0360），得到矩形 AEFG，当 为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由由旋转知 G 点轨迹是以 A 为圆心以 AG 为半径的圆，由 GC=GB 知 G 点轨迹是 BC的垂直平分线，两轨相交可知存在两种情况，旋转角分别为 60和 300。-.考试资料-.-注：分类讨论问题中用轨迹定位法可使所求未知点一览无余没有遗漏！-.考试资料