概率论和数理统计第二章习题与答案.docx.pdf

《概率论和数理统计第二章习题与答案.docx.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论和数理统计第二章习题与答案.docx.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、概率论与数理统计习题第二章随机变量及其分布P：,习题 2-1一袋中装有5 只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取 3 只，以X表示取出的 3只球中的最大号码，写出X随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为P(X3)号两球为号1一球为1 C22C5310一球为号再在中任取两球1C323P(X4)P(4,1,2,3)C5310一球为 号再在中任取两球1C426P(X5)P(5,1,2,3,4)C5310也可列为下表X：31，4，536,习 题 2-2进 行 重 复 独 立 试验，设 每 次 试 验 成 功 的 概 率 为p，失 败 的 概 率 为1p(0p1).（1）将试验进行

2、到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律.（此时称 X服从以 p为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律.（此时称Y服从以 r,p为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%.以 X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.解：（1）P(X=k)=qk1pk=1,2,（2）Y=r+n=最后一次实验前r+n1 次有 n次失败，且最后一次成功 P(Y r n)Crnn 1 qn pr1pCrnn 1qn pr,n 0,1,2,其中 q=1 p，或记 r+n=k，则 PY=k=Ckr11

3、 pr(1p)k r,kr,r 1,（3）P(X=k)=kk=1,2 P(X 取偶数)=P(X 2k)2k111(0.55)0.45k1k131习题 2-3一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各窗子是随机的。（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求解：（1）X 的可能取值为 1，2，3，n，P X=n=P 前 n1

4、次飞向了另 2扇窗子，第 n次飞了出去 Y的分布律。n 1 2=()1，33n=1，2，（2）Y 的可能取值为 1，2，31P Y=1=P 第 1次飞了出去 =3P Y=2=P 第 1次飞向另 2 扇窗子中的一扇，第2 次飞了出去 2=3121313P Y=3=P 第 1，2次飞向了另 2 扇窗子，第3 次飞了出去=2!3!习题 2-4 设事件 A在每一次试验中发生的概率为复独立试验，求指示灯发出信号的概率.0.3，当 A发生不少于 3 次时，指示灯发出信号 .（1）进行了5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了 7次重习题 2-5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7

5、.今各投 3 次.求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率记 X 表甲三次投篮中投中的次数Y 表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=33+C310.6 (0.4)2 C310.7 (0.3)2 C32(0.6)20.4 C32(0.7)2.3 (0.6)3(0.7)30.321（2）甲比乙投中次数多的概率。P(XY)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(

6、X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=C310.6(0.4)2(0.3)3C32(0.6)20.4 (0.3)8 C2(0.6)20.4 C10.7(0.3)2 (0.6)333(0.3)3(0.6)3 C310.7(0.3)2(0.6)3 C32(0.7)20.3 0.243习题 2-6有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4 杯.如果从中挑4 杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次

7、.（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验 10次，成功 3次.试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）.解：（1）P(一次成功)=11C8470（2）P(连续试验 10 次，成功3 次)=C3(1)3(69)73。此概率太小，按实际10707010000推断原理，就认为他确有区分能力。习题 2-7一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4 的泊松分布，求：（1）某一分钟恰有8 次呼唤的概率；（2）某一分钟的呼唤次数大于 3 的次数。（1）每分钟恰有 8次呼唤的概率法一：P(X 8)48e40.029770（直

8、接计算）8!法二：P(X=8)=P(X 8)P(X 9)（查 =4泊松分布表）。=（2）每分钟的呼唤次数大于 10 的概率。P(X10)=P(X 11)=（查表计算）习题 2-8以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达等待的时间（以分1e 0.4 x,x0,求下述概率：（1）P 至多3 分钟；计），X的分布函数是 FX(x)（2）0,x0.P 至少 4分钟；（3）P 3 分钟至 4 分钟之间；（4）P 至多 3 分钟或至少4 分钟；（5）P 恰好 2.5分钟。1.2解：（1）P至多 3分钟=P X 3=FX(3)1 e（2）P 至少 4分钟 P(X 4)=1 FX(4)e1.6（3）P

9、3分钟至 4分钟之间=P 3X 4=FX(4)FX(3)e1.2（4）P 至多 3分钟或至少 4分钟=P 至多 3分钟+P 至少 4分钟 e 1.6=1 e1.2（5）P 恰好分钟=P(X=0e 1.6习题 2-9某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度f(x)10002,x0,x 1000,其它现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）大于 1500 小时的概率是多少，任取 5只，问其中至少有150010002 只寿命解：一个电子管寿命大于1500 小时的概率为15001000P(X 1500)1 P(X 1500)11000dx 1x21000(1)x1(12)323令

10、 Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则 Y B(5,)，23P(Y2)11P(Y2)115 2P(Y0)P(Y1)1111232(1)5C51(2)(1)4333351x243243,x习题 2-10设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为0,fX(x)50,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10 分钟，他就离开，他一个月要到银行5 次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P Y1.10解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为10P(X10)fX(x)dx 1510e5 dxxe5xe2因此2即P(Yk)1

11、 P(YY B(5,e).P(Yk2)5,(52 k(11,2,3,4,5keek1)1P(Y1)1 0.867750)1 (1 e2)51(11)51(10.1353363)57.38910.4833 0.5167.习题 2-11 设X N(3,22)，求（1）P 2X 5，P4 X 10，P|X|2，P X 3；（2）确定c，使得P X c少P Xc；（3）设d满足 P Xd0.9，问d至多为多解：若 XN（，2），则 P(X )=P(2X5)=532 2 3=(1)(2=P(42)=1 P(|X|2)=1P(2 P3)=1 P(X 3)=13 32=1=（2）决定 C使得 P(X C)=

12、P(X C)得P(X C)=1 P(X C)=P(X C)P(X C)=12=又P(X C)=C 320.5,查表可得C3 0 C=32习题 2-12某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以mmHg计）服从(110,122)在该N.地区任选一18 岁的女青年，测量她的血压X.（1）求P X 105,P 100X120；（2）确定最小的x，使P Xx0.05.1）P(X 105)，P(100 x).解:(1)P(X 105)(105110)12121(0.4167)1(0.4167)1 0.66160.3384P(100 X120)(120110)(100110)12()5(5)2 ()156

13、62(0.8333)2 0.7976(10.59526(2)P(X x)1P(Xx)1x110)0.0512(x110)0.95.12查表得x1101.645.12x 11019.74129.74.故最小的 X129.74.习题 2-13一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为最大为多少160,的正态分布，若要求 P 120X2000.80，允许P(120X200)=20016012016040400.80又对标准正态分布有(x)=1 (x)上式变为401400.80解出40便得:400.9再查表，得401.281 4031.251.281习题 2-14设随机变量 X的分布律为X-2-

14、1013pk1516151113015求YX2的分布律.解;1Y=X2：(2)2P：(1)2(0)2(1)2(3)2156151151130再把 X2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y 的分布律为：Y：014911111P：15615530习题 2-15 设随机变量 X在(0,1)上服从均匀分布 .（1）求YeX的概率密度；（2）求Y2 ln X的概率密度.（1）求 Y=eX的分布密度 X 的分布密度为：f(x)10 x 10 x 为其他Y=g(X)=eX是单调增函数又X=h(Y)=lnY，反函数存在且=ming(0),g(1)=min(1,e)=1maxg(0),g(1)=max

15、(1,e)=ef h(y)|h(y)|111 y eY 的分布密度为：(y)y0y 为其他（2）求 Y=2lnX 的概率密度。Y=g(X)=2lnX是单调减函数Y又X h(Y)e2反函数存在。且=ming(0),g(1)=min(+,0)=0=maxg(0),g(1)=max(+,0)=+f h(y)|h(y)|11 e2y1 e2yY 的分布密度为：(y)220习题 2-16设X N(0,1)，（1）求YeX的概率密度；（2）求Y2 X21的概率密度；（3）求Y|X|的概率密度.（1）求 Y=eX的概率密度x21 X 的概率密度是f(x)22e,x0yy 为其他Y=g(X)=eX是单调增函数

16、又X=h(Y)=lnY反函数存在=ming(),g(+)=min(0,+)=0=maxg(),g(+)=max(0,+)=+且Y 的分布密度为：(y)f h(y)|h(y)|1e2(ln y)221y0 y0y 为其他（2）求 Y=2X2+1 的概率密度。在这里，Y=2X2+1 在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。设 Y 的分布函数是 FY（y），则FY(y)=P(Y y)=P(2X2+1 y)=Py 12Xy 12当 y1时，(y)=FY(y)=y 121e dx22y1=12(ye1)4（3）求 Y=|X|的概率密度。Y 的分布函数为FY(y)=P(Y y)=P(|X|y)当 y0

17、时：(y)=FY(y)=yy1 e dx22x2y22e 22x习题 2-172,设随机变量X的概率密度为 f(x)0,0 x ,其它求Y sin X的概率密度.解：FY(y)=P(Yy)=P(sinXy)当 y0 时：FY(y)=0当 0y1 时：FY(y)=P(sinXy)=P(0Xarc sin y 或 arc sin yX)arcsin y=02x2dx2x2 arcsin ydx当 1y 时：FY(y)=1Y 的概率密度 (y)为：y0 时，(y)=FY(y)=(0)=00y1 时，(y)=FY(y)=arcsin y2xdx22x dx20=2y arcsin y 1=021 y时，(y)=FY(y)=(1)