八年级数学下册 10.5 分式方程 细数分式学习点滴素材 苏科版(2021-2022学年).pdf

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1、细数分式学习点滴细数分式学习点滴分式是初中代数中的重要内容,其概念性强,涉及面广，解题方法灵活,因而容易出现错误.为防止错误的发生,学习时应注意以下几点。1.注意确定分式的关键是看分母中是否含有字母。AA一般地，用，B 表示两个整式，AB 就可以表示成B的形式,如果 B 中含有字母，式子B就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。例例 1 1下列各式中，哪些是整式,哪些是分式？2ab52x3，7x52x,ab1，ab,m32(32y)，4(x1).2ab解解因为52x37xab1,ab，m52x，3,4（x1）的分母中不含字母，所以它们是整式。因为(x-2)的分母中含有字母，所

2、以它们是分式。说明说明:此题主要考查对分式的概念的理解，区分两者的关键是看分母中是否含有字母。是一个52x具体的数而不是字母,不要误认为是分式,整式可以有字母,只要分母不含字母就不是分式。2。注意分式有无意义关键是看分母是否为零.分式是否有意义，与分子无关只要分母不等于零，分式就有意义.使分式无意义的条件是分母的值为零;使分式有意义的条件是分母的值不为零。1例例 2 2（1）当x_时,分式x3没有意义.1(2)当x时,分式x 1有意义解：根据分式有无意义的条件得:(1)=3;（2）x-。说明:分式有无意义,取决于分母中字母取值是否使分母为零,所以只考虑分母即可。3.注意分式的值为零必受分母不为

3、零的限制要使分式的值为零，必须在分式有意义的前提下，才能谈到它的值是多少.这就是说“分式的值为零”包含两层意思:一是分式有意义,二是分子的值为零,不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”.x 1例例 3 3 若分式x 1的值为零,则x的值为.解：由分式值为零的条件得：x1=且+0，得x=1;A说明:在解分式B值为零这类问题时必须注意到=0 且0 的条件,二者缺一不可.。注意正确使用分式基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以)一个不等于 0 的整式,分式值不变,用数学式子表示为:AAMAAMBBM，BBM其中是不等于零的整式.分式的基本性质是分式恒等变形的依据,它是分式的约分

4、、通分、化简和解分式方程基础,因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它理解分式的基本性质时，必须注意：(1)分式的基本性质中的A、M表示的都是整式.(2）在分式的基本性质中，M0.（）分子、分母必须“同时乘以（M)，不要只乘分子(或分母）.()性质中“分式的值不变这句话的实质,是当字母取同一值（零除外)时，变形前后分式的值是相等的.但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的。x2y例 4若分式xy中的、y的值都变为原来的 3 倍，则此分式的值()1.不变.是原来的 3 倍C.是原来的31 D.是原来的6解:本题考查对分式基本性的理解运用，x、y都扩大 3 倍时,分母y的值也扩大为原来

5、 3 倍,分子x+y也扩大为原来的 3 倍，故分式的值不变。选 A说明:对分式的基本性质的理解要注意分子分母同乘（或除)同一个值不等于零的整式，一定要不等于零.例例 不改变分式的值,把下列各式中的分子、分母的各项系数都化为整数.12xy3511y x4（1)30.5 a0.3 b；（2)0.2 ab12xy3511y x4解：（1)30.5 a0.3 b(2）0.2 ab12(xy)603511(y x)604=3(0.5a0.3b)10=(0.2ab)1020 x24y=20y15x;5a3b=2a10b。说明：解决这类问题,一般用下列方法:若分子、分母中各项系数都为分数，则分子、分母都乘以

6、各项系数中分母的最小公倍数；若分子、分母中各项系数都是小数,则分子、分母同时乘以 10;若分子、分母中各项系数有分数，又有小数，则把小数化为分数,再把分子、分母同时乘以各项系数分母的最小公倍数。例例 不改变分式的值,使下列分式的分子、分母均不含有负号:n7y2(1)3x5n23;()-11m(x3)n2n1(y);(3）(n为正整数)7y2解：（1)3x7y2=-3x2；5n3（2）11m5n23=11m；nn(x3)(x3)(x3)n2n12n12n1y(y)（）y.说明：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变5 5。注意分式的乘除法应用关键是

7、理解其法则注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1）先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分（约分是约去分子分母中的公因式,故约分前应先找出分子和分母的公因式);（)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否已为最简(分子分母无公因式可约）,否则应约分，化为最简。2a1a 41222 a 2a1a 1,其中a例例 7 7先化简再求值:aa0.满足a 2aaa 1(2 )(2 )(1 a )(1 a )2(2 aa )(1 )a a 22 2(1 a )1解：原式a20 2 2a

8、0得原式由a 说明：分式的乘除运算实为约分，约分的关键是找出分子和分母的公因式，所以在解答过程中先要将分子分母进行因式分解.6 6。注意分式的通分关键是确定最简公分母。注意分式的通分关键是确定最简公分母。(1)把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式叫做通分。()通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；x 15 xx 7222例例 8 8通分x 3x 2,x x 6，x 2x 3解+x+2（x+1)(x+2)2x2x6(x）（2)x2-2x-=

9、(x3)（x）它们的最简公分母为（+)（x+2）(-）x 1(x 1)(x 3)2x 1)(x 2)(x 3)3x 2(x x24x31)(x2)(x3)=(x5 x(5 x)(x 1)2x 3)(x 2)(x 1)x x 6(x26x51)(x2)(x3)(xx 7(x 7)(x 2)2x 3)(x 1)(x 2)x 2x 3(x25x141)(x2)(x3)=(x说明：如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解，再确定最简公分母.7 7。注意分式的加减法关键是通分化简。注意分式的加减法关键是通分化简(）同分母的分式加减法同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减.即：aba bccc(2

10、）异分母的分式加减法异分母的分式相加减，先通分,变为同分母的分式,然后再加减.即:acadbcadbcbdbdbdbd2223a 5a2a 5a 12a 22221a11 a例例(1）计算a;x2x22x2x 5x6（2）计算x 2223a 5a2a 5a 12a 22221a 1a 1（）解原式=a 222(3a 5a)(2a 5a 1)(2a 2)2a 1=2223a 5a 2a 5a 1 2a 22a 1=3a2 32 =a1=3x 2xx 1)(x 2)(x 2)(x 3)（）解原式=(x 2)(x 3)x(x 1)x 1)(x 2)(x 3)=(x2x6x2x1)(x2)(x3)=(

11、x 2x 61)(x 2)(x 3)(x 2x 61)(x 2)(x 3)=(x 说明:分式的加减运算,一般是先通分，通分的关键是找到最简公分母，如果最简公分母不易发现，常要将各分母进行因式分解.8 8注意分式的混合运算的顺序注意分式的混合运算的顺序分式的加、减、乘、除、乘方混合运算过程较繁,关键是要严格按照分式混合运算的顺序进行，即分式的加、减、乘、除、乘方混合运算,先进行乘方运算,其次进行乘、除运算，再进行加、减运算,遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分的先约分,再进行运算.12x 1x221 x 11，然后选取一个使原式有意义的x

12、x 例 10 先化简代数式：x12x 1x221 x 11x 解:x的值代入求值.2(x1)2x 122(x1)(x1)x 11x x2122(x 1)x 12x 1当x 0时，原式的值为1说明:这类题原本是化简求值题,但一改往常形式，给了我们“自主的空间，解它时,一是按常规先化简，二是在取值时既要注意使运算更简，同时又要考虑到“隐含条件的约束（x1）。例 1 玉米试验田是边长为米的正方形减去边长为米的蓄水池后余下部分;B 玉米试验田是边长为(a-1)米的正方形,两块试验田的玉米都收获了 500 千克。（）哪种玉米田的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？50022

13、2析解（1）玉米试验田面积是(a-1)米,单位面积产量是a 1千克/米；5002B玉米试验田面积是（）2米,单位面积产量是(a 1)千克/米；a1(a-1)=2(a-1）,a0,0（a1）a122250050022(a 1)a 1B 玉米的单位面积产量高.50050022(a 1)（)a 1500a2 12(a 1)=500(a1)(a1)2=(a 1)a 1=a 1a 1高的单位面积产量是低的单位面积产量的a 1倍。说明:将数学应用问题赋予实际生活背景,考查应用数学知识解决实际问题的能力,是近年来中考命题的思路之一。.注意解分式方程不能忘记验根注意解分式方程不能忘记验根 (）解分式方程的基本

14、思路:将分式方程转化成已学过的整式方程,进而求解为此一般采用去分母的方法,利用等式的性质将分式方程转化为整式方程，即在方程左右两边同时乘以各分母的最简公分母.()验根:由于将分式方程变形为整式方程有可能产生不适合原方程的根（即增根）,因此，解分式方程必须验根，验根的方法是将求得的根代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零,如果不为零，就是原方程根;如果值为零，就是增根，必须舍去.6例 1(1)若方程(x1)(x1)mx 1有增根,则它的增根是（）A.0.1 D1 和1解:若方程有增根,则(x+1）（x-1)0 x=1 或x=1故选 D2 x1(2)解分式方程：x 33 x=1。2 x1

15、解:x 33 x=12x-1x-，2x=检验:把x=2 代入原方程得:左边=右边x2 是原方程的根2x3 2(3)解分式方程：x 2x 222x(x2)3(x2)2(x 4)解:22x 4x 3x 62x 827x 2经检验：x 27x 27是原方程的解x 27原方程的解为说明：分式方根产生增根,要全面考虑分母为零的情况.验根时将整式方程的根代入最简公分母，如果使最简公分母为零，则此根为原方程的增根,若最简公分母不为零,则此根是原方程的解.1010。列分式方程解应用题要理解题意。列分式方程解应用题要理解题意列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同,不同点是,解分式方程必须

16、要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.例 1 编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求:（1)要联系实际生活,其解符合实际;(2）根据题意列出的分式方程只含两个分式,不含常数项，分式的分母均含有未知数,并且可化为一元一次主程;(3）题目完整，题意清楚。分析:本题考查列分式方程解应用题，同学们的逆向思维能力,解题时应着重从以下三个步骤入手：第一，依题意,确定一个有实际意义的数字,如 5，当作所列应用题方程的一个根；建立一个题设106要求的等式,如55 2;第二,把上述等式中的“5”用未知数x来代替,变等式

17、为分式方程，即106xx 2；第三,根据方程编出应用题。解：编题:甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做 2 个，甲做 1个所用的时间与乙做 6 个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？设甲每小时做个,那么乙每小时做(x2)个，106x 2，解得x=5根据题意，得x经检验,=是方程的根。答：甲每小题做个，乙每小时做 3 个。说明：这类考题，从深层次上考查学生的逆向思维能力和语言文字表达能力,解答时须根据方程特点,联想所见应用题,设计实际背景。编题本身是一种创造性劳动。因此,如何依据已知条件,按照课本上某一习题形式要求考生编拟试题,这不但可以使学生加深对解题思路的理解,而且可以培养学生的创新思维能力.