概率论讲义(茆诗松).pdf

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1、实用标准文案第二章 随机变量及其分布教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。教学时数：

2、20 学时教学过程：2.1 随机变量及其分布例 2.1.1(1)掷一颗骰子，出现的点数X：1、2、6；(2)n个产品中的不合格品个数Y：0、1、2、n；(3)某商场一天内来的顾客数Z：0、1、2、；(4)某种型号电视机的寿命T：0,)。2.1.1 随机变量的概念定义 2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量，常用大写X、Y、Z等表示；随机变量的取值用小写字母x、y、z等表示。注意：(1)随机变量X()是样本点的函数，其定义域为，其值域为R (,)，若X表示掷一颗骰子出现的点数，则X 1.5是不可能事件；(2)若X为随机变量，则X k、a X b、均为随机事件，即：a X b:a X(

3、)b；(3)注意以下一些表达式：X kX kX ka X bX bX aX b X b(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量。两类随机变量：若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个，则称X为离散随机变量；实用标准文案若随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b)，则称X为连续随机变量，其中a可以是，b可以是。前例2.1.1 中的X、Y、Z为离散随机变量；而T为连续随机变量。2.1.2 随机变量的分布函数定义 2.1.2 设X是一个随机变量，对任意实数x，称F(x)p(X x)为随机变量X的分布函数，且称X服从F(x)，记为X F(x)，有时也可用FX(x)表明是X的分布函数。定理 2.1.1

4、 任一个分布函数F(x)都有如下三条基本性质：(1)单调性：F(x)是定义在整个实数轴(,)上的单调非减函数，即对任意的x1 x2，有F(x1)F(x2)；(2)有界性：x，有0 F(x)1，且F()lim F(x)0 xF()lim F(x)1x(3)右连续性：F(x)是x的右连续函数，即对任意的x0，有xx0lim F(x)F(x0)即：F(x00)F(x0)。注：(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件；(2)有了分布函数的定义，可以计算：p(a X b)F(b)F(a)p(X a)F(a)F(a0)p(X b)1 F(b0)等。2.1.3 离散随机变量的概率分布列x2

5、、定义 2.1.3 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x1、xn、，则称X取xi的概率实用标准文案pi p(xi)p(X xi)(i 1,2,L n,L)为X的概率分布列或简称为分布列，记为X pi。分布列也可用下列形式表示：Xpx1p(x1)x2p(x2)xnp(xn)分布列的基本性质：(1)非负性：p(xi)0(i 1,2,L)(2)正则性：p(xi)1。i1注：(1)上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件；(2)离散随机变量的分布函数为：F(x)p(xi)。xix求离散随机变量的分布列应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值；(2)计算每个取值点的概率。对离散随机

6、变量的分布函数应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数；(2)其间断点均为右连续的；(3)其间断点即为X的可能取值点；(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值。例 2.1.2 已知X的分布列如下：01X11p36求X的分布函数？解：01 3F(x)1 21 00.4F(x)0.81x 00 x 11 x 22 xx 00 x 11 x 22 x212。例 2.1.3 已知X的分布函数如下，求X的分布列？实用标准文案解：X的分布列如下：Xp00.410.420.22.1.4 连续随机变量的概率密度函数因为连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b)，所以对连续随机变量X，有p(X c)0，从而无法

7、仿离散随机变量用p(X c)来描述连续随机变量X的分布；定义 2.1.4 设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在实数轴上的一个非负可积函数p(x)，使得对任意实数x，有F(x)p(t)dtx则称X为连续随机变量，称p(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数。密度函数的基本性质：(1)非负性：p(x)0；(2)正则性：p(x)dx 1。b注：(1)上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件；(2)p(a X b)p(x)dx；a(3)F(x)是(,)上的连续函数；(4)p(X x)F(x)F(x0)0；(5)p(a X b)p(a X b)p(a X b)p(a X b)F(b)F

8、(a)；(6)当F(x)在x点可导时，p(x)F(x)，当F(x)在x点不可导时，p(x)0。离散随机变量与连续随机变量对比：离散随机变量分布列：pi p(X xi)（唯一）连续随机变量密度函数：X p(x)（不唯一）F(x)p(t)dtxF(x)p(xi)xixF(a)F(a0)且p(a X b)F(b)F(a)点点计较p(X a)0实用标准文案即：F(a)F(a0)F(x)为连续函数，即：F(a)F(a0)F(x)为阶梯函数，ke3x例 2.1.4 设X p(x)0解：(1)k 3；x 0，求(1)常数k；(2)F(x)?x 01e3x(2)F(x)0 x 0。x 01 x 00 x 1，

9、求F(x)?其它1 x例 2.1.5 设X p(x)1 x002x x1 22解：F(x)2x x1221x 11 x 0。0 x 11 x例 2.1.6 设X与Y同分布，X的密度为32xp(x)800 x 2其它3，求常数a？4已知事件A X a和B Y a独立，且p(AU B)解：因为p(A)p(B)，且A、B独立，得p(AU B)p(A)p(B)p(AB)2p(A)p(A)231解得：p(A)42由此得0 a 2再由p(AU B)231a32因此 p(A)p(X a)x dx 1a828从中解得a 34。2.2 随机变量的数学期望2.2.1 数学期望的概念实用标准文案例 2.2.1（分赌

10、本问题）若甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50 元，无平局，谁先赢 3 局，则获全部赌注，当甲赢2 局、乙赢1 局时，中止了赌博，问如何分赌本？赌本有两种分法：21(1)按已赌局数分：则甲分总赌本的、乙分总赌本的；33(2)按已赌局数和再赌下去的“期望”分：设再赌下去，则再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。于是，甲的所得X是一个可能取值为 0 或 100 的随机变量，其分布列为：0100X13p4413甲的“期望”所得是：0100 75。44这就是数学期望的由来，又称期望或均值，数学期望是一种加权平均。2.2.2 数学期望的定义定义 2.2.1 设离散随机变量X的分布列为p(X

11、xi)p(xi)(i 1,2,L n,L)若|xi|p(xi)，则称E(X)xip(xi)为随机变量X的数学期望，简称期i1i1望或均值。若级数|xi|p(xi)不收敛，则称X的数学期望不存在。i1定义 2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x)，若|x|p(x)dx ，则称E(X)xp(x)dx为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。若级数|x|p(x)dx不收敛，则称X的数学期望不存在。例 2.2.2 设随机变量X的分布列如下：01X1p0.20.10.4求E(X)?解：E(X)10.200.110.420.3 0.8。2.2.3 数学期望的性质20.3定理 2.2.1 设随机变量X

12、的分布用分布列p(xi)或用密度函数p(x)表示，若实用标准文案X的某一函数g(X)的数学期望E(g(X)存在，则g(xi)p(xi)E(g(X)i1。g(x)p(x)dx例 2.2.3 设随机变量X的概率分布为：01X11p24求E(X22)？111解：E(X22)(022)(122)(222)24436131。444数学期望的性质：214(1)若c是常数，则E(c)c；(2)对任意的常数a，有E(aX)aE(X)；(3)对任意的两个函数g1(x)、g2(x)，有E(g1(X)g2(X)E(g1(X)E(g2(X)2x例 2.2.4 设X p(x)0(1)2X 1；(2)(X 2)2?1解：

13、(1)E(2X 1)；311(2)E(X 2)2。60 x 1其它，求下列X的函数的数学期望2.3 随机变量的方差与标准差数学期望只能反映平均值即X取值的中心，有很大的局限性，在一些情况下，仅知道平均值是不够的，还要讨论随机变量与其平均值的偏离程度，用什么量去表示随机变量X与其数学期望的偏离程度呢？显然，可用随机变量|X E(X)|的平均值E(|X E(X)|)来表示X与E(X)的偏离程度，但为了数字上处理的方便，通常用E(X E(X)2来表示X与E(X)的偏离程度。实用标准文案2.3.1 方差与标准差的定义定义 2.3.1 若随机变量X2的数学期望E(X2)存在，则称偏差平方(X E(X)2

14、的数学期望E(X E(X)2为随机变量X（或相应分布）的方差，记为2(x E(X)p(xi)i2Var(X)E(X E(X)i1(xE(X)2p(x)dx在离散场合在连续场合称方差的正平方根Var(X)为X（或相应分布）的标准差，记为(X)或X。注意：(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度。方差越大，则随机变量的取值越分散。(2)标准差的量纲与随机变量的量纲相同。2.3.2 方差的性质性质 2.3.1Var(X)E(X2)(E(X)2。性质 2.3.2 若c为常数，则Var(c)0。性质 2.3.3 若a、b为常数，则Var(aX b)a2Var(X)。x例 2.3.1 设X p(x)2

15、 x00 x 11 x 2，求E(X)和Var(X)？其它21解：E(X)xp(x)dx x dxx(2 x)dx01211322x3|1(x x)|11；033E(X)2x p(x)dx x dxx2(2 x)dx 0121327；6Var(X)E(X2)(E(X)2随机变量的标准化：设Var(X)0，令Y X E(X)Var(X)711。66则有E(Y)0、Var(Y)1，称Y为X的标准化。实用标准文案2.3.3 切比雪夫不等式定理 2.3.1（切比雪夫不等式）设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意的常数 0，有Var(X)Var(X)或。p(|X E(X)|)p(|X E(X)|)

16、122定理 2.3.2 若随机变量X的方差存在，则Var(X)0的充要条件是X几乎处处为某个常数，即p(X a)1。2.4 常用离散分布2.4.1 二项分布定义 如果随机变量X的分布列为kkp(X k)Cnp(1 p)nk(k 0,1,.,n)则称这个分布为二项分布，记为X b(n,p)。当n 1时，称b(1,p)为二点分布或01分布。8例 2.4.1 设X b(2,p)、Y b(4,p)，已知p(X 1)，求p(Y 1)？981解：由p(X 1)知p(X 0)，于是99100C2p(1 p)292从而解得p，所以30p(Y 1)1 p(Y 0)1C4(2 3)0(1 3)480 81。二项分

17、布的数学期望与方差：设X b(n,p)，令q 1 p，则E(X)kp(X k)kC p qknkk0k1nnnkk k1nn!pkqnkk!(nk)!npn(n 1)!pk1q(n1)(k1)k1(k 1)!(n 1)(k 1)!nk1k1(n1)(k1)npCnq1pk1实用标准文案 np(pq)n1 np又因E(X)k C p q22knkk1nnkk(k 1)kk1nn!pkqnkk!(nk)!nn!n!knkk(k 1)p qkpkqnkk!(n k)!k!(n k)!k1k1n n(n 1)p2(n 2)!pk2q(n2)(k2)npk2(k 2)!(n 2)(k 2)!n n(n

18、1)p2Ck2nk2n2pk2q(n2)(k2)np n(n 1)p2(p q)n2 np n(n 1)p2 np于是Var(X)E(X2)(E(X)2 n(n1)p2np(np)2 npq。2.4.2 泊松分布定义 如果随机变量X的分布列为p(X k)kk!e(k 0,1,.)其中参数 0，则称这个分布为泊松分布，记为X P()。泊松分布的数学期望与方差：设X P()，则kk1E(X)kp(X k)keeeek!k0k0k1(k 1)!kk又因E(X)k ek(k 1)kek!k!k0k022k(k 1)k1kk!ekk0kk!ee2(k 2)!k2k22ee2于是Var(X)E(X2)(E

19、(X)222。二项分布的泊松近似：在二项分布中，当n较大时，直接计算是很麻烦的，下面我们给出一个当n实用标准文案很大而p很小时的近似计算公式。定理 2.4.1（泊松定理）在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为pn（与试验总数n有关），lim npn（0为常数），则对任意确定的n非负整数k，有lim b(k;n,pn)lim C p(1 pn)nknknnknkk!e。证明：设n npn，则pnnn，于是kkb(k;n,pn)Cnpn(1 pn)nkn(n 1)(n k 1)nk()(1n)nkk!nnnk12k 11(1)(1)L(1)(1n)n(1n)kk!nnnnnki 对任意

20、确定的k，当n 时1 1(i 1,2,k 1)、1nnn1、1 en所以lim b(k;n,pn)nnkk!ne。在实际计算中，当n 20，p 0.05时，上式的近似值效果颇佳，而n 100且np 10时，效果更好。2.4.3 超几何分布定义 如果随机变量X的分布列为knkCMCNM(k 0,1,.,r)p(X k)nCN其中r minM,n、M N、n N且n、N、M均为整数，则称这个分布为超几何分布，记为X h(n,N,M)。超几何分布对应于无放回抽样模型：N个产品中有M个不合格品，从中无放回地抽取n个，不合格品的个数为X。实用标准文案2.4.4 几何分布与负二项分布定义 如果随机变量X的

21、分布列为p(X k)(1 p)k1p(k 1,2,.)则称这个分布为几何分布，记为X Ge(p)。几何分布对应于抽样模型：“首次成功”时的试验次数。X为独立重复的伯努里试验中，几何分布的数学期望与方差：设X Ge(p)，令q 1 p，则E(X)kp(X k)kpqk1k1k1 pkqk1k1 pdkqk1dqdkd1p1 p(q)p()2dqk0dq 1q(1q)p又因E(X)k p(X k)k pq222k1k1k1 pk(k 1)qk1k1kqk1k1 pqk(k 1)qk1k21d2k1d2k1 pq2q pq2(q)ppdqk0pk1dqd211212q1 pq2()pqdq1qp(1

22、q)3pp2p于是Var(X)E(X2)(E(X)22q1121 p()2。2pppp定理 2.4.2（几何分布具有无记忆性）设X Ge(p)，则对任意的正整数m与n，有p(X mn|X m)n)。定义 如果随机变量X的分布列为1rkrp(X k)Ckr(k r,r 1,.)1p(1 p)则称这个分布为负二项分布（巴斯卡分布），记为X Nb(r,p)。负二项分布对应于抽样模型：“第r次成功”时的试验次数。X为独立重复的伯努里试验中，注：(1)二项随机变量是独立01随机变量之和；实用标准文案(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和。2.5 常用连续分布2.5.1 正态分布定义 若随机变量X的概

23、率密度函数为1p(x)e2(x)222(x )其中和为常数，且 0，则称随机变量X服从参数为和的正态分布，或高斯(Gauss)分布，称X为正态变量，记为X N(,2)，正态分布N(,2)的1密度函数p(x)e2(x)222所表示的曲线称为正态曲线。正态分布的性质：(1)正态曲线以x 为对称轴；(2)当x 时取最大值12；(3)以x轴为水平渐近线，即x离越远，p(x)的值越小，且x 时，p(x)0。相应的分布函数为：1F(x)2xe(t)222dtp(x)和F(x)的图形分别如下图所示：当固定，改变的值，y p(x)的图形沿x轴平移而不改变形状，因而又称为位置参数；其图如下：实用标准文案当固定，

24、改变的值，则y p(x)的图形的形状随着的增大而变得平坦，故称为形状参数。其图如下：称参数 0、1的正态分布称为标准正态分布，记为X N(0,1)，其密度函数记为1x2(x)e(x )2相应的分布函数为t222(x)12xedt其图如下：标准正态分布的计算：当x 0时，(x)的函数值可查表得到；当x 0时，由y(x)的对称性即(x)(x)知，先查(x)，再由(x)1(x)来得到(x)的函数值。例 2.5.1 若X N(0,1)，求下列事件的概率：(1)p(X 1.52)；(2)p(X 1.52)；(3)p(X 1.52)；(4)p(0.75 X 1.52)；(5)p(|X|1.52)？解：略。

25、实用标准文案非标准正态分布的计算：X 定理 2.5.1 若X N(,2)，则Y N(0,1)。利用定理 2.5.1，将非标准正态分布化为标准正态分布计算，即若X N(,2)，则令Y X，于是p(xx x x x2 x11 X 2)p1Y 2。例2.5.2若X N(108,32)，求(1)p(102 X 117)；(2)p(X a)0.95，求常数a？解：(1)p(102 X 117)p(102108X 108117331083)(1171083)(1021083)(3)(2)(3)(2)1 0.99870.97721 0.9759(2)由p(X a)p(X 1083a1083)(a1083)0

26、.95反查表得：(1.645)0.95，于是a10831.645 a 112.935。正态分布的数学期望与方差：设X N(,2)，则(x)22E(X)x1222edx 12(t)et2dtt2212t22tedt 2edt Var(X)E(X E(X)2(x)21(x)22222edx 22t2et2dt2t2222(te2)|2et2dt 2。正态分布的3原则：设X N(,2)，则若实用标准文案p(|X|)k)p(|X 0.6826|k)(k)(k)0.95450.9973k 1k 2k 3可见在一次试验中，X几乎必然落在区间(3,3)内，或者说，在一般情形下，X在一次试验中落在区间(3,3

27、)以外的概率可以忽略不计，这就是通常所说的3原则。2.5.2 均匀分布定义 若随机变量X具有概率密度函数1p(x)b a0a x b其它则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X U(a,b)。相应的分布函数为：0 xaF(x)ba1x aa x bb xp(x)和F(x)的图形分别如下图所示：例 2.5.3 若X U(0,10)，现对X进行 4 次独立观测，试求至少有3 次观测值大于 5 的概率？解：设随机变量Y是 4 次独立观测中观测值大于 5 的次数，则Y b(4,p)，其中p p(X 5)由X U(0,10)得p p(X 5)1 10dx 0.5510实用标准文案于是，所求概率为33

28、44p(Y 3)C4p(1 p)C4p 40.540.545。16均匀分布的数学期望与方差：设X U(a,b)，则E(X)xab1abdx ba22E(X)2ba1a2abb2xdx ba322a2abb2ab2(ba)2()于是Var(X)E(X)(E(X)。32122.5.3 指数分布定义 若随机变量X具有概率密度函数exp(x)0 x 0 x 0其中参数 0，则称X服从参数为的指数分布，记为X Exp()。相应的分布函数为：1exF(x)0设X Exp()，则x 0 x 0指数分布的数学期望与方差：E(X)011xexdx xex|0exdx ex|00E(X2)0 x2exdx x2e

29、x|02xexdx 020 xexdx 22于是Var(X)E(X2)(E(X)22211()22。定理 2.5.2（指数分布的无记忆性）如果X Exp()，则对任意的s 0、t 0，有p(X st|X s)p(X t)。证明：由X Exp()知p(X s)es又因X stX s，于是实用标准文案p(X st)e(st)p(X st|X s)s et p(X t)。p(X s)e例 2.5.4 若某设备在任何长为t的时间0,t内发生故障的次数N(t)服从P(t)，则相继两次故障之间的间隔时间T Exp()。证明：由N(t)P(t)，则(t)ktp(N(t)k)e(k 0,1,.)k!又因两次故

30、障之间的间隔时间T是非负的随机变量，且事件T t表明此设备在0,t没有发生故障，即T tN(t)0，于是当t 0时，有FT(t)p(T t)0当t 0时，有FT(t)p(T t)1 p(T t)1 p(N(t)0)1et于是T的概率密度函数为etpT(t)0t 0t 0即：T Exp()。2.5.4 伽玛分布函数()0 x1exdx称为伽玛函数，其中参数 0。伽玛函数具有如下性质：(1)(1)1、(1 2)；(2)(1)()，当为自然数n时，有(n1)n(n)n!定义 若随机变量X具有概率密度函数1xxep(x)()0X Ga(,)。x 0 x 0其中 0为形状参数，0为尺度参数，则称X服从伽

31、玛分布，记为实用标准文案伽玛分布的数学期望与方差：设X Ga(,)，则x(1)E(X)x edx 0()()1x(2)(1)E(X)xedx()02()22于是Var(X)E(X2)(E(X)2(1)2()2。2x 0 x 0定义 若随机变量X具有概率密度函数1e x 2xn 21n 2p(x)2(n 2)0则称X服从自由度为n的2分布，记为X 2(n)。伽玛分布的两个特例：(1)Ga(1,)Exp()；n 1(2)Ga(,)2(n)2 2若X 2(n)，则E(X)n、Var(X)2n。2.5.5 贝塔分布函数B(a,b)xa1(1 x)b1dx称为贝塔函数，其中参数a 0、b 0。01贝塔函

32、数具有如下性质：(1)B(a,b)B(b,a)；(2)B(a,b)(a)(b)。(ab)定义 若随机变量X具有概率密度函数(a b)a1x(1 x)b1p(x)(a)(b)00 x 1其它其中a 0、b 0都是形状参数，则称X服从贝塔分布，记为X Be(a,b)。实用标准文案贝塔分布的数学期望与方差：设X Be(a,b)，则(ab)1a(ab)(a1)(b)ab1E(X)x(1 x)dx(a)(b)0(a)(b)(ab1)abE(X)(ab)1a1b1x(1 x)dx0(a)(b)(ab)(a2)(b)a(a1)(a)(b)(ab2)(ab)(ab1)a(a1)a2()(ab)(ab1)ab于

33、是Var(X)E(X2)(E(X)2ab。(ab)2(ab1)贝塔分布的特例：Be(1,1)U(0,1)。2.6 随机变量函数的分布在实际问题中，我们常要讨论随机变量函数的分布。例如分子运动的速度X1是随机变量，分子的动能Y mX2也是随机变量，它是X的函数。设X是随机2变量，g(x)是一个单值函数，则称Y g(X)为随机变量X的函数。2.6.1 离散随机变量函数的分布设X是离散随机变量，X的分布列为：Xpx1p(x1)x2p(x2)xnp(xn)则Y g(X)也是离散随机变量，其分布列为：Ypg(x1)p(x1)g(x2)g(xn)p(x2)p(xn)当g(x1)、g(x2)、g(xn)、中

34、有某些值相等时，则将它们合并，将对应的实用标准文案概率相加即可。例 2.6.1 设随机变量X的分布列如下，试求随机变量Y X2 X的分布列？20.2解：由题意得：2Yp0.2Xp10.100.100.100.110.320.320.360.3再将相同值合并得Y X2 X的分布列为Yp00.220.560.32.6.2 连续随机变量函数的分布对连续随机变量X，分情况讨论Y g(X)的分布：当g(x)严格单调时：定理 2.6.1 设X是连续随机变量，其密度函数为pX(x)，y g(x)严格单调，其反函数h(y)有连续导函数，则Y g(X)也是连续型随机变量，且其密度函数为pX(h(y)|h(y)|

35、pY(y)0a y b其它其中a ming(),g()、b maxg(),g()。证明：为求Y g(X)的密度函数，先求其分布函数。当y g(x)为严格单调增函数时，它的反函数h(y)也是严格单调增函数，且h(y)0，由于当x取值于(,)时，y取值于(),()，所以当y a时，FY(y)p(Y y)0；当y b时，FY(y)p(Y y)1；当a y b时FY(y)p(Y y)p(g(X)y)p(X h(y)h(y)pX(x)dx于是，Y的密度函数为实用标准文案p(h(y)h(y)pY(y)X0a y b其它；当y g(x)为严格单调减函数时，可以类似证明。定理 2.6.2 若X N(,2)，则

36、当a 0时，有Y aX b N(ab,a22)。推论 若X N(,2)，则Y X N(0,1)。例 2.6.2 设X N(0,22)，试求Y X的分布?解：由题意知：Y仍是正态变量，且E(Y)E(X)E(X)0Var(Y)Var(X)Var(X)22所以Y N(0,22)。注：分布相同与随机变量相等是两个完全不同的概念。定理 2.6.3（对数正态分布）若X N(,2)，则Y eX的概率密度函数为(ln y)12e2pY(y)2y02y 0y 0。定理 2.6.4 设X Ga(,)，则当k 0时，有Y kX Ga(,k)。定理 2.6.5 设X FX(x)，若FX(x)为严格单调增的连续函数，则

37、FX(X)U(0,1)。当g(x)为其它形式时：若Y g(X)对应的函数y g(x)不满足条件时，则可用定义来求，与定理的证明类似。例 2.6.3 设X N(0,1)，试求随机变量Y X2的密度函数？实用标准文案解：因为y x2在(,)上不是单调函数，所以用定义来求由于当x取值于(,)时，y取值于0,)，所以当y 0时，有FY(y)p(Y y)0；当y 0时，有FY(y)p(Y y)p(X2 y)p(y X y)2(y)1于是，Y的密度函数为1y 122yepY(y)20y 0y 0即Y 2(1)。2.7 分布的其它特征数2.7.1k阶矩定义 2.7.1 设X为随机变量，k为正整数，若E|X|

38、k(k 1,2,)存在，则称k E(Xk)为X的k阶原点矩。若E|X E(X)|k(k 1,2,)存在，则称vk E(X E(X)k为X的k阶中心矩。显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，X的方差Var(X)是X的二阶中心矩。2.7.2 变异系数定义 2.7.2 设随机变量X的二阶矩存在，则称比值Cv(X)Var(X)(X)E(X)E(X)为X的变异系数。Cv(X)是无量纲的量，作用：用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小。实用标准文案2.7.3 分位数定义 2.7.3 设连续随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为p(x)，对任意的p(0,1)，称满足F(xp)p(x)dx pxp

39、的xp为此分布的p分位数，又称下侧p分位数；称满足1F(xp)xpp(x)dx p的xp为此分布的上侧p分位数。分位数与上侧分位数之间的关系：p、xp x1 p。xp x1注：(1)因为X小于等于xp的可能性为p，所以X大于xp的可能性为1 p；(2)对离散分布不一定存在p分位数。2.7.4 中位数定义 2.7.4 设连续随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为p(x)，称p 0.5时的p分位数x0.5为此分布的中位数，即x0.5满足F(x0.5)x0.5p(x)dx 0.5。中位数与均值比较：相同点：都是反映随机变量的位置特征；不同点：含义不同。2.7.5 偏度系数定义 2.7.5 设随机变量X的三阶矩存在，则称比值v3E(X E(X)312 3 23 2E(X E(X)(v2)为X的分布的偏度系数，简称偏度。2.7.6 峰度系数定义 2.7.6 设随机变量X的四阶矩存在，则称比值实用标准文案v4E(X E(X)42332 22E(X E(X)(v2)为X的分布的峰度系数，简称峰度。