理论力学期末考试复习资料.pdf

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1、理论力学期末考试复习资料题型及比例填空题（20%）选择题（20%）证明题（10%）简答题（10%）计算题（40%）第一章：质点力学（2025%）一质点的运动学/I：（重点考查）非相对运动学1、描述质点的运动需要确定参照系和坐标系。参照系：没特别声明，一般以地球为参照系，且认为地球是不动的，即以静止坐标系为运动的参考。坐标系：根据问题的方便，通常选择直角坐标系（适用于三维，二维，一维的运动），极坐标系（适用于二维运动，题中明显有极径，极角等字眼或者有心力作用下质点的运动时采用极坐标系），自然坐标系（适用于二维运动，题中明显有曲率半径，切向等字眼时，或者圆周曲线运动，抛物线运动等通常采用自然坐标系

2、）。2、描述质点运动的基本物理量是位移（坐标）、速度、加速度，明确速度、加速度，轨道方程在三种坐标系下的求解，直角坐标系下步骤：（1）,建立好坐标系（2），表示出质点的坐标（可能借助于中间变量，如直角坐标系中借助于角度）（3）对坐标求一阶导得速度，二阶导得加速度，涉及的未知量要利用题中所给的已知信息求得。若求轨道方程，先求得x、y、z 随时间或其他共同变量（参数）的函数关系，消去共同变量即可，其它坐标系下是一个道理。若是采用处理二维运动的极坐标系和自然坐标系：￥明确怎么建立这两种坐标系及速度、加速度表的达式和各项的意义(a)极坐标系：极轴（不变的），极角与极径（质点对质点的位矢大小）则随质点不

3、断 发生变化，特别需要明确的径向、横向的单位矢量i,j的确定，径向即沿径矢延长方向，横向是垂直径向，指向极角增加的一侧，它们的方向随质点的运动不断发生变化，称为是活动坐标系；我们只需应用相应的公式计算，并理解每一项的意义即可：r速度：径向，vr r横向，v 加速度：径向ar r2，明确第一项是由于径向速度得大小改变而引起，第二项则r是横向速度得方向发生改变而引起；横向a rr,第一项是混合项，其中之一表由2横向速度得大小改变而引起，其中之二表由径向速度得方向改变而引起，而第二项则表示由横向速度得大小变化而引起(b)自然坐标系：明确是把矢量分为切向和法向，活动坐标系的单位矢量i沿切向，j沿法向，

4、并指向轨道弯曲的一侧：dsvi 速度：切向v i si不存在法向速度dtdvs加速度：切向a，描述速度大小随时间的变化率，可能是零，可能不dt是零；法向描述速度方向随时间的变化率，只有运动轨迹为曲线就一定不为零。II：相对运动学当质点相对于某平动运动参照系运动时，其对地的绝对速度v v，即等于v0牵连速度(被运动参照系牵带着而具有与运动参照系相等的速度)+相对速度，这类问题，通常是平面运动问题，我们需建立适当坐标系，一般为直角坐标系和极坐标系，把该矢量式进行适当分解，如在直角坐标系中anv2V绝xV相xV牵xV绝yV相yV牵y$该类问题中区分质点和运动参照系很重要，一般来讲，运动参照系的运动相

5、对稳定，质点的运动变化相对较大。绝对加速度牵连加速度相对加速度，运动参照系匀速时两者相等二 质点的动力学（牛顿运动微分方程）I 惯性系（静止或做匀速直线运动的参照系，一般以地球为静止的惯性参照系）我们明确牛顿第二定律是一矢量式，必须建立合理的坐标系把F和a分解到坐标轴上，用分量式才能求解，所以建立合理的坐标系，正确的受力分析，利用初始条件求解牛顿运动微分方程的分量式（逐次积分法或公式法进行积分，积分常数需由初始条件决定），是该类问题的三大步骤dvxdvx,y,z,tmx m mv Fxx,y,z,xxdtdx自由质点：空间dvdvy my mv,y,z,tm y Fx,y,z,x￥平面的：yy

6、dtdydvzdvz,y,z,tmz m mv Fzx,y,z,xzdtdzdvxdvxmx mdt mvxdx Fxdvdvm my mvyy Fyydtdy F(r,r,t),r rm r F(r,r,t),m r 2r非自由质点：受到约束，一般把力分为主动力（不随运动状态的变化而变化,如重力）和约束反力mr F主 Rdvdvm mv Fdtds2v Fn Rnm(1)(2)（约束所施加，通常会随运动状态的变化而变化，如支持力），这种情况采用自然坐标系比较方便光滑约束的情况,dvdv dsdv v,求解这类微分方程，有时需进行适当的微分变换，如adtds dtds(an vdsdsd vd

7、tddt，非惯性系（描述质点运动的参照系，具有加速度）在这样的参照系中，牛顿第二定律不再成立，必须引入惯性力，牛顿第二定律形式上才能继续成立F ma ma0惯性力0，并非相互作用力，没有施力物体，仅表明我们是在非惯性系中研究动力学ma问题，同样，需建立适当的坐标系，把相互作用力和惯性力，相对加速度进行分解，用分量式求解（相对平衡问题，可能能用矢量三角形法则求解）三功和能功：w F.dr Fdscos功是能量转化的量度，功是过程量，能是状态量根据力做功是否与路径无关区分三类力保守力：力做功与路径无关，只取决于初末位置，这是判断一个力是否是保守力的根本标准。另外两个判断标准是：（1）存在相应的势能

8、标量函数，满足%v(x,y,z)v(x,y,z)v(x,y,z)F V (i j kxyzw v (vBvA)vAvB即保守力做功等于势能变化量的负值（2）该力的旋度一定为零F 0非保守力：做功与路径有关，如涡旋电场做功耗散力：做功与路径有关，而且总是做负功四、动力学三大定理及相应的守恒定律（单个质点）从牛顿第二定律出发,可推得1，动量定理及动量守恒定律（1）动量定理微分形式：/d(mv)Fdt dI质点动量的微分等于作用在质点上力的元冲量。质点动量的微分等于作用在质点上力的元冲量。积分形式：积分形式：t2mv mv Fdt21t1上式表明，在一段时间内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同

9、一段时间内的冲量。上式表明，在一段时间内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同一段时间内的冲量。注意是矢量式：我们需建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解（2）动量守恒定律如质点不受力或者合力为零，则质点的动量守恒mv2 mv1注意是动量定理及动量守恒定律都是矢量式：无论是几维，我们都需建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解2，角动量定理及角动量守恒定律（1）角动量定理力矩与角动量（动量矩）的概念对点的力矩：Mo(F)M r F对点的角动量（动量矩）：M(mv)J r mvo对轴线的力矩或角动量，是在该轴上取一点做为定点，先求根

10、据上面两式求得对该点力矩和角动量，再投影到该轴上即可（分量式请看书）。若力与轴线相交或平行，则该力对轴线没有力矩，利用该结论，可能有力对轴线的力矩与对某轴的力矩相等，因对其它两轴的力矩为零，即共面力系情况，只可能对垂直于该面的轴线有力矩，所以对该轴线的力矩等于对该轴线与这个面的交点的力矩，第三章应用定轴转动定理（对Z 轴的角动量定理）时通常利用到这点。角动量定理：微分形式dJ r F M Mdt|质点对某质点对某定点定点的动量矩（角动量）对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。的动量矩（角动量）对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。积分形式J J Mdt21某过程，角动量的变化量等于外力在该

11、时间段内给予质点的冲量矩角动量守恒：若质点所受的力对某点力矩为量，则质点对该定点的角动量守恒J C、对单个质点，若动量受衡，则角动量也守恒，但反之不成立，比如有心力作用下质点的运动。与动量定理及动量守恒定律一样，我们需要以定点为坐标原点，建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解3 动能定理及机械能守恒定律动能定理：主要采用积分形式的动能定理处理问题：1212mv2mv1W1222在某一过程，质点动能的变化量，等于该过程所有作用力所做功之代数和。因此，清楚研究过程，有哪些作用力，是否做功，做正功还是负功，初末态动能（未知的当未知数处理）是必须的。机械能守恒：从动能定

12、理出发，若某过程，只有保守力做功，则该过程机械能守恒-121mv2V2mv12V122能用机械能守恒处理的问题，一定能用动能定理处理，反之，则不然。动能定理和机械能守恒，是标量式，没有分量式，不需建立坐标系，但涉及势能时，务必规定势能零面或势能零点,一般对弹性势能，是以自然伸长为零势能点，引力或斥力势能是以无穷远为势能零点；重力势能是以某一水平面为零势能点。五、有心力总体认识：有心力是保守力，必有机械能守恒；有心力对力心力矩为零，所以质点对力心的角动量守恒，并由此推断有心力下，质点只能在一个平面上用动，由于力总是沿径矢的反方向指向力心，所以一般采用极坐标系研究有心力下质点的运动。1，有心力下，

13、质点的运动微分方程1）动力学方程：2)F(r)径向：m(r r横向：m(2rr)F()0rj)mr2k C)由横向方程，必能推得(r2i hr，表对力心的角动量守恒，因对力心力矩为零，有m(r v)m r(i 2）能量方程：有心力下，机械能必守恒1212222mv V(r)2r)V(r)E m(r2，动力学方程的求解，轨道方程比耐公式1在动力学方程中，消去时间t，并设r u2d uF得比耐公式：h2u2(u)d2m根据比耐公式，（1）已知质点所受的有心力F,求质点的轨道方程（2）已知质点的轨道方程求质点所受的有心力能量方程中，涉及力力心某点的势能求解，对于引力或斥力势能，我们一般以无穷远为势能

14、零点，根据保守力做功与势能变化的关系，可得，离力心r 处的势能（v0v0若是引力，力与位矢反向，要加负号，才能去掉上式的矢量号，若为斥力，则相反。如平方反dv v(r)F.drrrk2mk2mV(r)2dr rrr比的引力势能3，&4，行星的运动P从比耐公式出发，已知引力，可导出平方反比引力下的轨道属于圆锥曲线轨道r 1ecos结合能量方程和角动量守恒方程，可推得轨道形状的能量（由于是常量）判据：E 0推得偏心率e 1,轨道为椭圆E 0，推得偏心率e 1,轨道为抛物线E 0,推得偏心率e 1,轨道为双曲线我们知行星的轨道为椭圆轨道，所以其能量一定小于零（书58 页），粒子的散射，由于其能量大于

15、零，因而是双曲线的一支，其处理方法也不外乎比奈公式，角动量守恒方程，机械能守恒方程。4 宇宙速度明白第一（扰地球运行的最小发射速度，第二（脱离地球引力的最小发射速度），第三宇宙速度（脱离太阳引力的最小发射速度得）含义。第二章/第三章质点组力学（10%15%）一、基本概念和质心的求解质点组：相互作用着的大量质点组成的质点系内力：质点间的相互作用力，总是成对出现，内力之和一定为零外力：质点组以外的物体施加的作用力、质心：质点组的质量中心，是一几何点，而不是一质点，其定义如下以某一点 O 为坐标原点（参考点），则质心对该点的位矢等于各质点对同一点的位矢乘以质量之矢量和除以总质量nmirii1n/rC

16、 OC 分量式，则为ni1mini1mimii1i1对于质点间的距离不随时间发生变化的情况，参考点不同，所求出的质心坐标不同，但相对质点组的空间位置是不变的。.i1XCnmixiYCi1nmiyiZCi1nmizimin我们大多遇到的是连续的情况，所以求和需改为积分xdmzdmydmXCZCYCdmdmdm上面积分，并不意味着是一重积分。可能二重，可能三重，视情况而定，x,y,z是所选取微元的坐标，若是规则小几何体，如薄圆片，x,y,z则指的是规则几何体质心坐标。)“微元”的合理选取（微元或规则的小几何体）和构建适当的坐标系（要充分利用对称性），借助于密度，表达出微元质量及坐标是关键，最后再进

17、行积分求解密度均匀，形状规则，且各处重力加速度相同，则质心，几何中心，重心重合。二(重点考查)质点组的三大定理及相应的守恒定律由于质点数目可能较多，且内力通常未知，所以对每一个质点应用牛顿第二定律求解其运动规律是不切实际的，但对整个质点组利用动量定理，角动量定理，动能定理及相应的守恒定律，则可能消除未知的某些量，如内力，内力对定点O 的力矩，从而使问题简化1，对质点组应用动量定理和相应的动量守恒定律1）￥2）动量定理（内力之矢量和为零）nndP(e)P(mivi)Fidti1i1质点组动量对时间的微商等于作用在质点组上诸外力之矢量和，从动量定理，再结合质心的定义，不难导出质心运动定理nd2rC

18、mFi(e)2dti1（质心就好比一个质点的运动一样，此质点集中整个质点组的质量，作用在此质点上的力等于作用在质点组所有质点上诸外力的矢量和3）动量守恒定律若整个质点组不受外力，或虽受外力，但外力之矢量和为零，或外力远小于内力，则整个质点组的总动量为常量n：mvC(mivi)P Ci1注意，上面这些都是矢量式，务必建立坐标系，进行矢量投影，用分量式求解，一维的情况，规定正方向，也相当于建立以维的坐标系；另外，速度是绝对速度。与单个质点一样，若质点组整体的合外力不为零，但在某方向投影之代数和为零，则该方向的各质点动量之投影的代数和为零，即该方向动量守恒。2,对质点组应用角动量定理和角动量守恒定律

19、:1）角动量定理（内力对定点O 的力矩之代数和为零）nn(e)dJJ(rimivi)(riFi)dti1i1质点组对某一定点|的总角动量对时间的微商，等于诸外力对同一定点的力矩之矢量和2)角动量守恒定律如果作用在质点组上的诸外力对某一定点O的合力矩为零或不受外力矩作用，则质点组的总角动量保持不变|i1对质点组，不像对单个质点，动量守恒不能导出角动量守恒，当然反过来也不行。同理，角动量定理和角动量守恒定律是矢量式，务必建立坐标系，进行矢量投影，用分量式求解，明确是对那个点或轴线的角动量和力矩若所有外力对定点O的力矩之矢量和不为零，但对以该点为坐标原点的某轴线的投影为零，则所有质点对该轴线的角动量

20、是一常数。如：n(e)(e)Mx(yiiFiy)Fix z0JxnJ(rimivi)Ci1)costant z ym(y ziiiiii1n（2）质点组对质心的角动量定理此时是非惯性系，必须引入惯性力，但由于所有惯性力的合力通过质心，所以对质心的角动量定理在形式上与对定点的角动量定理相同但对其它动点，该结论一般不成立。3、对质点组应用动能定理和机械能守恒定律(nedndJ(rimivi)M (ri Fi)dti1dti11）动能定理，从单个质点的动能定理出发，可推得质点组的动能定理：nnn(e)i12d(miri)(Fi.dri)(Fi.dri)i12i1i1质点组总动能的微分等于诸内力和外力

21、所做元功之和，特别强调内力做功之代数和不一定为零，只有在刚体（任意两质点的距离不变）的情况，才是零。应用时，通常是采用上式的积分形式，明确过程，哪些力做功，做负功还是正功质点组的动能是标量，但根据柯尼希定理，可分解为质心的动能和相对质心的动能之和（标量分解）2221n221n1n1n121nT(mr2ii1)im(r2ii1C)ri(mr2i1i C)(mr2i ii1)2mrC(mr2i ii1)2）机械能守恒定律:所有非保守力（可能是内力，可能是外力）不做功，则质点组的机械能保持不变T V E4）对质心的动能定理以质心为参考，是非惯性系，须考虑惯性力做功，但因惯性力做功之代数和为零所以，在

22、形式上与对定点相同：质点组对质心的动能，等于质点组相对于 质心系位移时内力与外力所做功之和,三、三大定理及守恒定律的应用1，两体问题（太阳与行星）太阳不再静止不动，可对开普勒第三定律进行修正2，质心系和实验室坐标系（两质点的散射和碰撞）*质心系:由于内力远大于外力（重力），可认为外力为零，根据质心运动理，质心做匀速运动，质心系是一惯性系，为理论工作者所用实验室坐标系：即静止坐标系，为实验工作者所用。实验室坐标系下的偏转角与质心系下的偏转角sinCtgr（nn(i)(e)12(miri)(Fi.dri)(Fi.dri)i12i1i1ncosCm1m2根据 m1(入射粒子)和 m2 的关系，可讨论

23、两种偏转角的关系，如m2 远大于 m1，则相等2，变质量物体的运动有质量 m 和合并前的微质量m组成的质点组，应用动量定理有：(m m)(v v)mv mu Ft约去二阶小量，可得变质量物体的动力学方程变质量物体的动力学方程！d(mv)dm u Fdtdtv是 m 的绝对速度，u是m的绝对速度，F是整个质点组的合外力（内力之和是零了），通常为重力dm是质量随时间的变化率，增加是正，减少是负。当u 0时，可简化为dtd(mv)Fdt【注意，m 是随时间变化的求解时，由于是矢量式，所以需建立坐标系，一维的规定正方向，把矢量式转为标量式才能求解；表达出质量和力随时间的变化情况是解决这类问题的关键。第

24、三章 刚体力学（20%25%）一、基本概念和整体认识1，刚体：特殊质点组，任意两质点的距离保持不变，类似于质点是一种理想情况，相对于所研究的问题，当物体的大小和形状的变化，可以忽视时，则物体可当做刚体。2，刚体空间位置的确定，只需确定不共线的三点位置坐标，但由于任意两点的位置不变，受到三个约束，所以只需 6 个即可3，刚体运动的分类根据运动时的限制，需要的独立变量数可少于6 个，根据限制的不同，把刚体的运动分为：（1）】（2）平动：任意两质点的联线在任意两个不同的时刻，都保持平行，各个质点的运动情况完全相同，所以任意一质点的运动即可代表整个刚体的运动，显然只需3 个独立变量（3）定轴转动：刚体

25、运动时，始终有两点不动的运动，该两点的连线即为固定的转动轴，只需确定刚体绕该定轴转过多少度，所以只需一个独立变量（4）平面平行运动：刚体运动时，始终与一固定平面平行的运动，可分解为质心的平面平动和绕统过质心并垂直于该平面的转动（由轴线取向不变，所以相当于一定转动），因而需要 3 个独立变量（5）定点转动：刚体运动时，只有一个点不动，刚体只能绕通过这个点的轴线转动，显然轴线的取向是可以不断发生变化的，确定轴线的空间取向（三个方向余旋，但三方向余旋平方和为 1），所以只需两个独立变量，但还需一个变量来确定绕轴线转过的角度，因此总共需三个独立变量。通常用三个独立的欧拉角来描述，即进动角（0 到 2）

26、，章动角（0 到），自转角（0 到 2）教材 121 页，*（6）一般运动：不受任何约束，一般分解为质心的平动和绕质心的定点转动，因而需 6 个独立变量。5，描述刚体运动，最基本的物理量是角速度，即描述刚体绕某个点和轴线转动的快慢，是一矢量（相应于无限小转动，无限小转动是可对易的（交换先后两次的转动顺序，结果不 变），而有限转动是不可对易的），方向用右手螺旋法则来确定。6，刚体的欧拉运动学方程，刚体定点转动时，把角速度（注意是状态量）投影到固连在刚体上随刚体一块运动的随动坐标系上（只做为计算的工具，在后面的刚体的平面平行运动学和刚体的定点转动运动学，及非惯性系运动学、动力学，都常常这么做），但

27、运动参照系仍是地球，而得其分量式，描述了角速度分量随欧拉角及时间之间的变化关系二、刚体的运动方程与平衡方程1、2、力系的简化由于刚体受力可能纷繁复杂，所以首先要对刚体的力系进行简化1）I，非平行共面力系的简化应用的基本原理是力的可传性原理，力可沿作用线滑移而不改变作用效果（但作用线不能随便移动）。所以可以采用两两相交的办法求得非平行共面力系的合力II，平行共面力系的简化，采用合力对垂直于该平面的某一轴线的力矩与所有平行力对该轴线的力矩之代数和相等，来求得合力大小和作用点!平面平行力系中存在一特殊情况，即由一对对大小相等，方向相方的平行力所组成，其中的任何一对平行力，我们称为力偶，其唯一的作用效

28、果是产生力偶矩，垂直于该平面，但作用点不固定，称为自由矢量M F2.PO2 F1.PO1 F.O1O2大小：其中一力乘以力偶臂（两平行力的距离）方向：右手螺旋法则!也等于其中一力对另一个力作用点的力矩这样的平面平行力，可简化为一合力偶，可能是零，可能不是零2）空间力系的简化共点力系和平行力系的简化，与平面情况类似，关键是既不平行也不共面的力系：利用力偶的知识，我们可根据问题的方便，选择一简化中心（通常是质心），于是刚体上任意一力可以迁移到该点，为了消除迁移的影响（移动了作用线），必须加上一力偶，即加上未迁移前，该力对简化中心的力矩。因而所有力迁移到简化中心后，就有一合力和合力矩，我们称为主矢（

29、作用效果使刚体平动）和主矩（作用效果使刚体绕通过简化中心的轴线转动）。显然简化中心不一样，主矢不变，主矩一般要改变，但显然不能因为人为选择的简化中心的不同而改变刚体的运动状态【2，刚体的运动微分方程根据前面的分析，刚体的运动一般分解为质心的平动和绕质心的定点转动，因此质心为简化中心，力系简化为一主矢和一主矩，我们利用质心的运动定理处理质心的平动和应用对质心的角动量定理处理绕质心的定点转动即可处理刚体的一般运动。1）质心的平动nd2rC(e)m2Fi Fdti1:矢量式，建立坐标系，转为标量式才能求解。C Fxm xC Fym y,C Fym z2）绕质心的定点转动dJ Mdt分量式，如dJx$

30、dt Mx注意对轴线的力矩和角动量，一定是先求对点的力矩和角动量，再投影到该轴线上来做的；若对另外两坐标轴没有力矩（共面力系，平面运动），则此时对点和对轴线的力矩相等。3、刚体的平衡方程以任意点为简化中心显然要求主矢为零，主矩为零M 0F 0$&Fx 0,Fy 0,Fz 0Mx 0,My 0,Mz 0所有外力之矢量和为零，对任意点的力矩为零。若为共面力系,以所在面为 xoy 平面，则刚体平衡必有：Fx 0,Fy 0Mz 0所有外力 对垂直于 xoy 平面的任意轴线（不一定是对坐标Z 轴）的力矩之代数和为零，由于共面力系不可能对 x 或 y 轴产生力矩（相交或平行），所以对任意垂直于该面的轴线的

31、力矩就等于对该轴线与这个平面交点的力矩。又因与该点相交的力不可能对该点有力矩，所以我们当选较多力交汇点为参考点列力矩平衡方程（转动效果逆时针为正）。若刚体在三个共面力下平衡，则三力必交于一点（反证法）三、刚体的转动惯量1，刚体的角动量和转动动能应用对刚体对某点的总角动量等于所有质点对同一点角动量的矢量和，可得）i1i1所以方向一般与角速度不不同对三轴线的分量式：nnn 2J rimivirim（r）m r（ri）riiiiii1Jx Ixxx Ixyy IxzzJy Iyxx Iyyy IyzzJz Izxx Izyy Izzz从上式可知，刚体做定轴转动，且转轴是惯量主轴（平面平行运动，可看做

32、特殊的定轴转动），定点转动时，转轴为惯量主轴的情况，有xy 0,Ixz Iyz 0，在这几种特殊情况角动量才与角速度方向相同。所以，即便是定轴转动，角动量与角速度也不一定同向。刚体的转动动动能nn 1n112T mirmv.v mviiiiii.(ri)2i12i12i1(1n 1 n1.(rimivi).(rimivi).J2i12i12T 最常用的是,11 2m(v v)m(riii2ii)211122mi2risin2i2miiI22222，转动惯量1）概念在上式动能的第二种表达式中，i1，即为刚体对某轴线的转动惯量，i为各质点到该轴线的垂直距离，显然同一刚体对不同的轴线具有不同的转动惯

33、量，因此说到转动惯量，务必声明是对那轴线的转动惯量，就好像说到力矩务必清楚是对那个点或那轴线的力矩一样。对比于平动动能T 量度。2）3）求解上式定义是离散的情况，其实我们遇到的是连续的情况，所以上式求和需转为积分:I mii2n12mv中的质量，知转动惯量就像平动中的质量一样，是描述转动惯性大小的2I 2dm微元的选取可能是真正的微元，也可能为微元dm到转轴的距离，与质心的求解类似，是规则几何体，当为规则几何体的时，应是每一部分到转轴的距离（应相等）。该积分可能是一重，二重，三重，视具体问题而定；计算时通常也要建立坐标系（也要充分利用对称性），转轴为一坐标轴，在该坐标系下表达出与 dm,积分求

34、解。我们需要记住一些规则的刚体对特定轴线的转动惯量如：均质细棒，对垂直通过端点的轴线的转动惯量为12ml，对垂直通过中心的轴线的转动惯量为31ml2,l为棒全长12半径是r均质薄圆片对垂直通过圆心的轴线的转动惯量为是12mr，而对任意一直径的转动惯量212mr42半径是r的均质圆环对垂直通过圆心的轴线的转动惯量为mr，而对任意一直径的转动惯量是12mr2实心圆柱体对中心对称轴（通过薄圆片的圆心）的转动惯量是等等;12mr2另外我们还可能借助于平行轴定理来求解刚体对任意与质心轴平行的轴线的转动惯量为I IC md2d为两平行轴的距离。有时为了方便，可能用回转半径来表示，即刚体对某轴线的转动惯量等

35、效于一集中刚体全部质量的一点对该轴线的转动惯量I mk，k即为回转半径，所以求刚体对某轴线的回转半径实际是求刚体对该轴线的转动惯量，比如半径为r的均质圆环对任意一直径的回转半径为k 3，惯量张量和惯量椭球，惯量主轴及求法刚体做定点转动时，对任意过定点的轴线的转动惯量的一般表达式，22r2I Ixx2 Iyy2 Izz22Ixy2Iyz2Izx若是静止坐标系，惯量系数是随时间变化的。惯量张量分为轴转惯量和惯量积，按照一定规律排列成二阶张量形式，参考教材 133 页惯量椭球，以刚体上的一点作为坐标原点（转动点 O），建立固连在刚体上的坐标轴，使得轴转动惯量和惯量积为常数，在转轴上截取一线段OQ 过

36、 O 点有无限多转轴，则Q 点所满足的曲面方程，就是惯量椭球，若坐标原点在质心，则为中心惯量椭球。建立固连的坐标系，随惯量系数为常数，但还不能消除惯量积，若以惯量椭球的三对称轴（相互垂直的主轴）为为坐标轴，则因对称性而消去惯量积，使问题简化，于是我们称惯量椭球的主轴为惯量主轴，对惯量主轴的转动惯量为主转动惯量。在这样的条件下，对通过定点 O（坐标原点）任意轴线的转动惯量222#1 RII Ixx Iyy Izz 一般以几何方法求得，即规则刚体的对称轴为惯量主轴，因此我们以规则几何体的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，求得刚体对三对称轴的轴转动惯量，则对任意通过该点的轴线的转动惯量，只有知其与

37、三坐标轴的方向余旋，则利用上述公式求解即可四，刚体的平动和绕固定轴的转动明确平动（3 个独立变量）与定轴转动（1 个独立变量）的概念1）定轴转动运动学￥以轴上某一点为坐标原点，则任意一点的速度drviridt因每一质点做的圆周运动，所以加速度分为切向加速度和法向加速度）Ri Ri ai vvi2ain2RiviRiRi为到转轴的距离，线量由于Ri不同，则不同，但角量则各点相同，角速度，角加速度,角位移之间的关系，可以借用平动时，速度，加速度，位移之间的关系2）3）定轴转动动力学显然采用对轴线的角动量定理（称为转动定理）Mz MzIzzIzzz注意是对轴线上某点的角动量定理，在转轴上的投影，所以

38、是标量式，应用该式解决动力学问题，需解决两个问题I，刚体对定轴的转动惯量III，所有外力对定轴力矩之代数和前面讲过，对力对轴的力矩一定是先求得对轴线上某点的力矩，然后再往该轴线投影而得，看起来很麻烦，实则不然。我们所遇到的情况，基本都是共面力系的情形（包括后面的平面平行运动），所以所有外力对转轴的力矩等于对转轴与该面的交点的力矩（经过交点的力，如约束反力，对该点则无力矩），因而大小就等于该力乘以交点到力的作用线的垂直距离，方向用右手螺旋法则判断，要特别强调正负的取法，与平衡问题不同，这里是先确定角位移的正方向（一定是静线指向动线为的方向），再根据右手螺旋法则确定力矩的正方向。从而求得个外力对轴

39、线与平面交点的力矩之代数和若刚体所受的外力中，只有保守力做功，则机械能守恒，该类问题也可结合机械能守恒定律来求解4）轴承上的附加压力（通常是非共面力系）应用动量定理和对轴花上某点的角动量定理求解II，若要使刚体处于动平衡，即转动时使刚体所受的轴承施加的作用力与静止时相等，则要求刚体的转轴为惯量主轴，且质心在转轴上，所以制造和安装机器的转动部分时需要尽可能满足上述两条件，否则附加杂轴承上的压力会产生很大的破坏作用。五，（重点考查）刚体的平面平行运动（需3 个独立变量）明确概念，由于刚体做平面平行运动时始终与某一固定平面平行，因此截取一平行于该固定平面的薄片做为代表，即可研究刚体平面平行运动的运动

40、学和动力学（动力学要求是通过质心的薄片）1）运动学薄片上任意一点的运动分解为基点的平动和绕基点的转动II，速度于是薄片上任意一点的速度为基点的速度(牵连)和绕基点的转动速度(相对)之矢量和）-、AAI，v】vrv(rr)r 是研究对象对基点的位矢II，任意点的加速度，则是对上式求导，所以记住速度公式是基础dvddra A根据上述两公式，我们看到是矢量式，务必建立合理的固连在刚体上的坐标系（三维）作为dtdt aAr2rrdt 计算工具，但运动参照系是静止坐标系，用i,j,k来表示各矢量，才能运算,后面的定点转动运动学和转动参照系运动学和动力学都是采用相同的手法。I）转动瞬心做平面平动的刚体，角

41、速度不为零时，每一时刻，刚体上总有一点的速度为零，该点即为转动瞬心，该点速度虽为零，但加速度不为零。我们可以以该点为基点，求解其它点的速度带来方便，但不能求解其它点的加速度（此时，应以加速度已知点为基点）v rCP可以根据该结论，只有知到薄片上任意两点的速度，则做两速度得垂线，交点必为转动瞬心。相对于静止坐标系，随时间转动瞬心所描绘的轨迹为空间极迹；相对于刚体本身则为本体极迹；2）$3）动力学薄片的选取，一定为通过质心并平行于固定平面的薄片，以质心为基点，薄片的运动分解为质心的平面平动和绕通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动（由于轴线取向一定，可视为定轴转动），这样可以利用质心运动定理处理质心的

42、平动，和对质心的角动量定理（形式上与对定点的角动量定理一样）研究绕通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动I，质心的平面平动是而维运动，因此可采用直角坐标系，也可采用极坐标系，自然坐标系（质心做圆n周运动的情况），一般采用直角坐标系分解矢量式d2rC(e)mdt2Fii1CFix xmCFiyym(1)(2)所以必须建立坐标系，并进行正确的受力分析（不明确力的方向时，可先假定其方向，如静摩擦力），虽以含质心的薄片为代表，但我们知应是整个刚体所受的作用力（下面对轴线的转动惯量也一样），应为共面力系，否则质心就不能做平面运动了III，绕通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动由于可视为定轴转动，因而对质心的角

43、动量定理简化为通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动定理（角动量定理），所以处理方法就给定轴转动一样 MIzzzI M(3)或zzz#II，a)明确刚体的对该轴线的转动惯量b)求所有外力对该轴线的力矩由于是共面力系，因此若以轴线与薄片的交点即质心为坐标原点，转轴为一坐标轴，则所有外力对薄片上两轴线的力矩必为零（因力与两轴线相交或平行，都不会对轴线产生力矩效果），所以所有外力对该轴线的力矩等于对质心（点）的力矩，力叉积相对于该点的位矢（大小：力乘力臂，方向：右手螺旋法则）；正负的取法，仍然是先确定角位移的正方向（静线指动线），再用右手螺旋法则（握角位移）来确定力矩的正方向，进而确定力矩的正负。由于刚

44、体做平面平行运动时要受到约束，因此，常要用到约束条件&如圆柱体无滑滚动，则XC a，当然也意味着接触点的速度为零，是转动瞬心III）还可能借助机械能守恒定律若只有保守力做功(注意无滑滚动的静摩擦力不会做功)，则机械能守恒12112122T V mvCmivi V mvCICzV E2222应用了柯尼希定理，各质点相对质心是在做转动。本节还涉及滚动摩擦的概念，是由于刚体和接触面都不是绝对刚性，刚体做无滑滚动时，刚体陷入接触面而产生，它远小于滑动摩擦，所以常用滚珠，滚轴轴承是为了用滚动摩擦代替滑动摩擦六、刚体的定点转动（3 个独立变量）明确概念空间极面：刚体定点转动时转动瞬轴在静止坐标系所描出的锥

45、面本体极面：刚体定点转动时转动瞬轴相对于刚体自身所描出的锥面1)运动学速度：v r此时转动点为基点，速度为零，与平面平动相比，这里r是三维的dr加速度：对速度求导即可，注意rdtda r(r)dtd2r R/dt分别为转动加速度和向轴加速度，R是质点到瞬时转动轴的垂直距离，方向垂直背离转轴指向质点；若为一般运动，则应加上基点的速度和加速度，r变为r 表示质点到基点的位矢da aAr(r)vA(r)v dt除了r是三维外，与平面平行运动还有不同之处，即无论是定点转动，还是一般运动，刚体上的质点都可能同时参与几种转动，因而角速度一定是绝对角速度即合角速度，是分角速度的合成上面都是矢量式，务必建立坐

46、标系，一般建立固连在刚体上随刚体一块转动的随动坐标系，作为计算的工具（明确运动参照系是地面），公式中的各矢量用i,j,k表示，才能利用上述公式进行计算（注意i,j,k之间的叉积关系）2）动力学、了解欧拉动力学方程的推导过程，做了两次简化，一为了使惯性系数为常数，用固连在刚体上的随动坐标系；二为了消除惯量积，使用了惯量主轴作为坐标轴。第四章转动参照系（10%）本章是研究相对于转动参照系运动的质点的运动学和动力学，而转动参照系一般为刚体，所以区别于第三章刚体内部一质点（无相对运动）的运动学一、运动学（建立固连在刚体上随刚体一块转动的随动坐标系）(1，平面转动参照系1）速度：drj r vrv xi

47、 yj xi y j xi ydt为相对速度（质点相对于转动参照系的速度）与牵连速度（被转动参照系牵带着一块运动而具有的速度）的矢量和；r质点相对转动点的位矢，在这里是二维2）加速度：a a r 2r 2 v a a a tc:与第一章的平动参照系不同，除了相对加速度，牵连加速度（含的项,牵连切向加速和牵连向心加速度）之外，还有一项是科氏加速度2v，方向由右手螺旋法则确定，是由于牵连运动和相对运动相互影响而产生，牵连运动改变相对运动的方向，相对运动改变牵连速度，若任意一项是零或特殊情况角速度和相对速度平行，则不存在科氏加速度 运算时，建立好固连在刚体上的随动坐标系。各矢量用随动坐标系的i,j,

48、k表示再运算。2，空间转动参照系明确在空间转动参照系任意一矢量（相对于空间转动参照系的坐标原点）的绝对变化率是相对变化率+牵连变化率;dG Gd*G Gd*G G(Gxi i Gyj j Gzk k)G Gdtdt*dtd G GdGxdGydGz相对变化率i i j j k k是动坐标系不动时，该矢量的变dtdtdtdt化率，若相对于动坐标系是常矢量，则该项为零；牵连变化率G，是被转动参照系牵带着一块运动所具有的变化率，当 0或二者平行的时候，该项为零。1）速度.dr rd*r rv v r r v vr rdtdt与平面转动参照系相同，但意识到这里r（质点相对转动点的位矢）是三维的2)加速

49、度%da a a ar r(r r)2v v a a a at t a acdt形 式 上 与 平 面 转 动 参 照 系 相 同，但 这 里r，v都 是 三 维，22(r r)R r，称为是牵连向轴加速度（不是牵连向心加速度），R是质点到瞬时转动轴的垂直距离，方向垂直背离转轴指向质点；显然，当质点相对转动参照系不动时，则与第三章的刚体定点转动公式一样，.转动参照系做定点转动的基础上推广到一般情形，即转动点在做平动，速度和加速度都该在加上一项，当然应归为牵连速度和牵连加速度。与前面同理，具体操作时，应建立好固连在刚体上的随动坐标系，各矢量用随动坐标系的i,j,k表示再运算，但明确运动参照系是静

50、止坐标系，求得绝对速度和绝对加速度二、转动参照系动力学转动参照系一定具有加速度，因此一定是非惯性系，在非惯性系中要是牛顿地二定律形式上继续成立，必须加上由于运动参照系具有加速度而产生的非相互作用力惯性力1，平面转动参照系出发，两边同乘以质量，利用惯性系中从公式a r 2r 2 v a a a aF ma，并移项有tcrma F m m2r 2mv这就是质点相对转动参照系运动时的动力学方程（a即为相对加速度），由于是非惯性系，所以必须添加上三项相应的惯性力才能得到形式上的牛顿第二定律，后面三项惯性力分别为牵联切向惯性力、惯性离心力（因沿位矢，背离转动点）、科氏力（用右手螺旋法则确定，但注意与科氏