《高中数学导数题典》备选1000题十三.pdf

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1、题题 10511051：例题：已知函数f(x)ln x,g(x)k(x1)x1（1）求函数F(x)f(x)g(x)的单调区间；（2）当x 1时，函数f(x)g(x)恒成立，求k的取值范围；（3）设正数a1,a2,a3,an满足a1a2a3 an1，1112n2求证：ln(12)ln(12)ln(12)a1a2ann2题题 10521052：已知函数f(x)(2x1)ln(2x1)a(2x1)x(a 0)21II，III，IV 四个区域（不含边界），若函数y f(x),y x将坐标平面分成 I，2的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；x x21（2）当a 时，求证

2、：x1,x2(0,)且x1 x2，有f(x1)f(x2)2f(1)22（1）如图，设直线x 题题 10531053：已知函数f(x)(1)e 3xxa(x 0,aR)x（1）若f(x)在(0,)上单调递减，求a的取值范围；（2）当a(3,e)时，判断关于x的方程f(x)2的解的个数题题 10541054：已知函数f(x)axln xbx(a 0)在(1,f(1)处的切线与x轴平行，(e是自然对数的底数)（1）试讨论f(x)在(0,)上的单调性；（2）设g(x)x1x1ef(x)2x11 x证明：axe1f(x)2x1 x的值域注：求函数：y axe1,x(0,)，求g(x)的最小值g(x)xl

3、n x2xex111(xln x1)(xex11)2 01ln x 1,e1x 2 xx求值域时，g(x)1，那么值域是不是1,)呢？当然是的，这是因为当x 1时，g(x)xln x，此时对任意b 1，取x eb，均有g(eb)beb b，题题 10551055：设函数f(x)xln xa(x1)（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)0恒成立，求a的值；（3）当x(,)时，xe(xln xk)k恒成立，求k的值；题题 10561056：设函数f(x)ln xe1x12x，g(x)a(x 1)21x（1）判断函数y f(x)零点的个数，并说明理由；exex（2）记h(x)g(x)f(x

4、)，讨论h(x)的单凋性；xxe（3）若f(x)g(x)在(1,)恒成立，求实数a的取值范围题题 10571057：已知函数f(x)2e ax（1）求f(x)的单调区间；（2）讨论f(x)在(0,)上的零点个数题题 10581058：已知关于x的方程(1 x)e ax a有两个不同的实数根x1,x2（1）求实数a的取值范围；x2x（2）求证：x1 x2 0题题 10591059：已知函数f(x)ln(x1)ax，其中aR.（1）当a 1时，求证：f(x)0；（2）对任意x2 ex1 0，存在x(1,)，使的取值范围.（其中e是自然对数的底数）题题 10601060：设f(x)f(x21)f(x

5、11)a(x21)f(x)成立，求ax2 x1x2ln x,g(x)ax xax1（1）证明：f(x)在(0,1)上单调递减；（2）若0 a x 1，证明：g(x)1题题 10611061：已知函数f(x)ln(1 x)ln(1 x).（1）证明：直线y 2x与曲线y f(x)相切；（2）若f(x)k(x 3x)对x(0,1)恒成立，求k的取值范围.题题 10621062：已知函数f(x)x mx，g(x)x n.（1）若曲线y f(x)与曲线y g(x)在它们的交点处的公共切线为y 2xc，求m，n，c的值；（2）当n 1时，若x(,0)，f(x)g(x)，求m的取值范围.题题 106310

6、63：已知函数f(x)ln x xm(mR)（1）若函数f(x)有两个零点，求m的取值范围；323（2）证明：当m 3时，关于x的不等式f(x)(x2)e 0在,1上恒成立题题 10641064：已知函数f(x)e sin xax（1）当a 0时，求曲线y f(x)在(0,f(0)处的切线方程；xx123上的单调性，并说明理由；43（3）当a 1时，求证：x0,，都有f(x)04（2）当a 0时，判断f(x)在0,题题 10651065：已知函数f(x)ln x x1，函数g(x)axe 4x，其中a为大于零的常数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求证：g(x)2 f(x)2(lnaln

7、2)题题 10661066：设f(x)(ax x)ln xa 1，记g(x)f(x)（1）当a 1时，求g(x)的零点的个数；（2）当a 1时，证明：f(x)0题题 10671067：已知函数f(x)sin x xmx(mR).（1）当m 0时，证明：f(x)e；（2）当x 0时，函数f(x)单调递增，求m的取值范围.题题 10681068：已知函数f(x)lnxa(1 x)，aR.（1）讨论f(x)的单调性；（2）当a 232x12时，令g(x)x 12 f(x)，其导函数为g(x)，设x1,x2是函数g(x)的两个零点，2判断x1 x2是否为g(x)的零点？并说明理由.2题题 106910

8、69：已知函数f(x)e axa(aR,a 0)（1）若函数f(x)在x 0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在2,1上的最大值；（2）若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围题题 10701070：已知函数f(x)x ax ln x,aR（1）若函数f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g(x)f(x)x，是否存在实数a，当x(0,e时，函数g(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）当x(0,e时，求证：e x 题题 10711071：已知函数f(x)e a,g(x)ln(xa)，其中aRx22x225x (x1)ln x2（1）若f

9、(x)g(x)，求a的取值范围；（2）当a 1时，设h(x)f(x)g(x)x，讨论h(x)在(0,)上的零点个数题题 10721072：已知函数f(x)ln x，g(x)212x bx（b为常数）.2(1)函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线与函数g(x)的图象相切，求实数b的值；(2)若b 2，x1,x21,2，且x1 x2，都有|f(x1)f(x2)|g(x1)g(x2)|成立，求实数b的值.题题 10731073：已知函数f(x)xa(a1)ln x(aR)x（1）当0 a 1时，求函数f(x)的单调区间；（2）是否存在实数a，使得至少有一个x0(0,)，使f(x0)x0成立，

10、求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由题题 10741074：设函数f(x)12ax 1ln x,其中aR.2（1）若a 0，求过点(0,1)且与曲线y f(x)相切的直线方程；（2）若函数f(x)有两个零点x1,x2求a的取值范围；求证：f(x1)f(x2)0.题题 10751075：已知f(x)e aln x(aR)（1）求函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（2）当a 1时，若不等式f(x)em(x1)对任意x(1,)恒成立，求实数m的取值范围题题 10761076：已知函数f(x)ln xx1,g(x)axbx（1）讨论函数h(x)f(x)g(x)单调区间；1的图象的切线，求

11、ba的最小值x11解：有题知道：f(x)ln x为上凸函数，因此必有：ln x axb，令x 1，则有ba 1xx11取f(x)ln x，取b 3,a 2，此时只需证明：ln x2x3 0 xx（2）若直线g(x)axb是函数f(x)ln x题题 10771077：已知函数f(x)ln x2x1.（1）求f(x)的极值;（2）设f(x)为f(x)的导函数，求证：f(x)f(x).题题 10781078：（1）已知a0,1，用分析法证明：a 311aa2；a1（2）若m 1，用反证法证明：fx xex(m3)x2,(x 0)函数无零点题题 10791079：已知函数fx x22ln x2(a4)

12、x在(1,)上是增函数.（1）求实数a的取值范围；a2,x0,ln 3，求函数gx的最小值.（2）在（1）的结论下，设gx e a 2x题题 10801080：已知函数f(x)ln x（1）若函数g(x)f(x)ax12x有两个极值点，求实数a的取值范围；2（2）若关于x的方程f(x)m(x1),(mZ)有实数解，求整数m的最大值解：（2）若m 0，f(x)ln x 0，显然有解x 1，当m 1时，f(x)ln x x1 x1 m(x1)，此时方程f(x)m(x1)无解则整数m的最大值为0题题 10811081：已知函数f(x)xe ax bx c(其中e为自然对数的底，a,b,cR）的导函数

13、为y f(x)（1）当a c 0时，讨论函数f(x)在区间(0,)上的零点的个数；（2）设点A(0,f(0),B(m,f(m)是函数f(x)图象上两点，若对任意的m 0，割线AB的斜率都大于f(x32m)，求实数a的取值范围2题题 10821082：已知函数f(x)e ax(aR R,e为自然对数的底数）（1）当a x2e时，求函数f(x)的单调区间；2（2）若f(x)x 1在x 0时恒成立，求实数a的取值范围题题 10831083：已知函数f(x)2ax xln x有两个零点x1,x2（x1 x2）.（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1 x2 4.题题 10831083：已知函数f(x

14、)12xea2x，其中e为自然对数的底数2（1）讨论函数f(x)的单调性；a21（2）若a,e，设函数g(x)f(x)的最小值为h(a)，求h(a)的最大值2e题题 10841084：已知函数f(x)xcosx(a1)sin x,x(（1）当a(单调区间；（2）若a2,)2若曲线y f(x)在点(a,f(a)处的切线平行于x轴，求a的值及函数f(x)的,)时，5 32 3,，记函数f(x)的最小值为t，求t的取值范围183题题 10851085：完成下列问题：（1）探究函数f(x)ln x1(pR且p 0)的单调性；pxxx（2）若存在x1,e，使得不等式e m xe ln x成立，求实数m的

15、取值范围.题题 10851085：已知函数f(x)ex2x xln x,g(x)e ax x(aR)，其中e为自然常数.（1）求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程；（2）若g(x)f(x)对任意的x 0恒成立,求实数a的取值范围.题题 10861086：2x2ln xbx1ex1(bR),g(x)已知函数f(x).xex（1）若b 1，求函数f(x)的图象在x 1处的切线方程；（2）若对任意的x1 0，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，试求实数b的取值范围.题题 10871087：2ln x2.xe1（1）求函数f(x)在(,)上的单调区间；e已知函数f(x)（2）证明

16、：对于任意的x 0，都有f(x)ln(x1)题题 10871087：已知函数f(x)(x2)ln x，g(x)ax1（1）求曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（2）若对任意的x3,)，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围题题 10881088：22exex21aln xax21，其中a为常数且aR R，e为自然对数的底数22xa1x（1）记g(x)f(x)e，讨论函数g(x)的单调性；2x已知函数f(x)e1x（2）若不等式f(x)0对任意的x1,)恒成立，求实数a的取值范围题题 10881088：已知函数h(x)aln x x(a 2)x，g(x)(a 1)ln x(1a

17、)x 4x.（1）若函数h(x)在2,5上单调递增，求实数a的取值范围;（2）若函数f(x)h(x)g(x)的图象与直线y m(mR R)交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0（f(x)为函数f(x)的导函数）题题 10891089：已知f(x)ln xaxa,aR22（1）讨论f(x)的单调性；（2）若g(x)f(x)1(x1)2有三个不同的零点，求a的取值范围.21ax解：（1）由已知f(x)的定义域为(0,)，又f(x)，x当a 0时，f(x)0恒成立，0 x 当a 0时，1,f(x)0,f(x)单调递增；a11,f(x)0,f(x)单调递增；x,f(x)0,f(

18、x)单调递减；aa112（2）由题g(x)ln xaxa(x1)，g(x)x1a2x0 x 当a 1时，g(x)1a 0，此时g(x)单调递增，最多存在一个零点，不符合题意当a 1时，x2(a1)x12，令h(x)x(a 1)x1，此时 (a3)(a1)0，g(x)x令h(x)0两根分别为x1,x2(x1 x2)，由x1 x2 a 1 0,x1x21，可以知道0 x11 x20 x x1,h(x)0,g(x)0,g(x)单调递增；当x1 x x2,h(x)0,g(x)0,g(x)单调递减；x x2,h(x)0,g(x)0,g(x)单调递增；其中g(1)0，g(x)0,g(x)0,g(e12因此

19、有x(e1a12a12)0，g(2(a1)0，,1)使得g(x1)0，x21使得g(x2)0；x3(1,2(a1)使得g(x3)0综上：a(1,)注1：当0 x 1时，1111(x1)2，因 此 有g(x)ln xaxa ln xa，令2222ln xa11 0，解得x ea22注 2：当x 1时，g(x)ln xaxa得x 2(a1)12111x xx2(a1)x，令x2(a1)x 0，解2222题题 10901090：已知函数f(x)x，g(x)k(x1)lnx（1）证明：kR，直线y g(x)都不是曲线y f(x)的切线；2（2）若xe,e，使f(x)g(x)1成立，求实数k的取值范围.

20、2解法解法 1 1：正常讨论：正常讨论参考数学小丸子的解题笔记（导数压轴题与放缩应用）29 页【20 题】解法解法 2 2：化曲为直：化曲为直x1x11分离参数有：k ln x2，考虑证明：lnx2，x1x12x11111即证：(x1)，即证：，又xe,e2，显然成立，因此有k,)ln x22ln x22解法解法 3 3：化曲为曲：化曲为曲xx1x12xln x2ln x2e分离参数有：k，x1x1x1解法解法 4 4：普通求导：普通求导1211x(ex)11，因此有k,)22x121ln(x)x111 x1x1x12，2ln x24 0k ln x2(x)ln x2(x)(x1)2(x1)2

21、x1x12因此(x)在xe,e 单调递减，则(x)(e)211，因此有k,)22第一问：（1）假设存在切线，设切点为(x0,f(x0)，由题知必有：f(x0)f(x0)，整理有ln x0 x01 0，x01函数h(x)ln x x1单调递增，且h(1)0，又因为x01，因此原命题得证题题 10911091：已知函数f(x)ln(ax b)x(a 0)（1）若曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y x，求函数f(x)的极值；2（2）若f(x)x x恒成立，求ab的最大值x解：（2）由题f(x)x x得e axb 0，令g(x)e axb2x2g(x)exa若a 0，此时x baeba

22、b)0，不符合题意，因此a 0a1a又因为求ab最大值，故考虑b 0时情况，由题知g()0,则有b e22g(x)0，g(x)单调递增，因g(e1a2b2e时取等，ab()，当且仅当a e,b 2222下证明：g(x)e ex xe 0，g(x)exe2110 x,g(x)0,g(x)单调递减；x,g(x)0,g(x)单调递增；221e因此有g(x)g()0，符合题意，因此(ab)max221xe1 0，即证：e2 x，由不等式ex x1知显然成立注：要证：g(x)e ex 22x注：g(x)e axb e题题 10921092：已知函数F(x)（1）当xbabax，令ebabax 0，解得x

23、 ebabapln(px)（其中p 0）x11 p 时，求F(x)零点的个数k的值；2e111 2 ex1x2x3（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为xi(i 1,2,3,k)，求证：题题 10931093：已知函数f(x)a(x x)ln xb的图象在点(1,f(1)处的切线方程为3x y3 02（1）求a,b的值；（2）如果对任何x 0，都有f(x)kx f(x)3，求所有k的值；1，由题知f(1)3,f(1)0，解得a 2,b 0 x12（2）令g(x)f(x)kx f(x)3 2(x x)ln xkx4x5，x1g(x)2(2x1)k(8x5)，其中g(1)0，又因g(x)0，则必

24、有g(1)0，解得k 1x(1 x)(4x1)当k 1时，g(x)，x解：（1）f(x)a(2x1)0 x 1,g(x)0,g(x)单调递增；x 1,g(x)0,g(x)单调递减，g(x)g(1)0，符合题意综上：k 1题题 10941094：已知函数f(x)(x 2x1)e2x，其中e为自然对数的底数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求证：x 0时，题题 10951095：已知函数f(x)x axln x(aR)（1）判断函数f(x)的单调性；（2）若函数g(x)f(x)2ln x，且g(x)有两个零点，求实数a的取值范围题题 10951095：已知函数f(x)x axln x(aR)

25、（1）判断函数f(x)的单调性；（2）设函数g(x)f(x)x，且g(x)有两个零点，求实数a的取值范围2223x31 xf(x)(x3ln x).exe题题 10961096：已知函数f(x)(x1)e ax（e是自然对数的底数）x2（1）判断函数f(x)极值点的个数，并说明理由；x3（2）若xR，f(x)e x x，求a的取值范围题题 10971097：设函数f(x)(x2)e x12ax ax2（1）讨论f(x)的单调性；（2）设a 1，当x 0时，f(x)kx2，求k的取值范围题题 10981098：已知函数f(x)3e 1,g(x)x 9x（1）求函数(x)(x1)e 7x g(x)

26、f(x)的单调区间（2）比较f(x)与g(x)的大小，并证明题题 10991099：已知函数F(x)（1）当p xx2pln(px)（其中p 0）x1时，判断F(x)零点的个数k；2111 4x1x2xk（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为xi(i 1,2,k)，求证：题题 11001100：（1）求函数f(x)lnx的最大值xx（2）若函数g(x)e ax有两个零点，求实数a的取值范围题题 11011101：已知函数f(x)xe a(ln x x),aR（1）当a e时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围x题题 11021102：设函数f(x)ex1aln x，其中e为自然对数的底数（1）若a 1，求f(x)的单调区间；（2）若0 a e，求证：f(x)无零点