(全国通用)2022版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题七选修4系列第2讲不等式选讲练习理.pdf

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1、全国通用全国通用 20222022 版高考数学二版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专轮复习专题提分教程第二编专题七选修题七选修 4 4 系列第系列第 2 2 讲不等式选讲不等式选讲练习理讲练习理第第 2 2 讲讲不等式选讲不等式选讲考情研析考情研析不等式选讲主要考查不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比拟法、比拟法、综合法、分析法、放缩法综合法、分析法、放缩法)及它们的应用其

2、中绝及它们的应用其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点难对值不等式的解法及证明方法的应用是重点难度不大，度不大，分值分值 1010 分，分，一般会出现在选考局部第二一般会出现在选考局部第二题的位置题的位置.核心知识回忆核心知识回忆1.1.绝对值的三角不等式绝对值的三角不等式0 01 1|a ab b|a a|定理定理 1 1：如果如果a a，b b是实数，是实数，那么那么|b b|，当且仅当，当且仅当abab00 时，等号成立时，等号成立0 02 2|a a定理定理 2 2：如果：如果a a，b b，c c是实数，那么是实数，那么c c|a ab b|b bc c|，当且仅当当且仅当(a

3、 ab b)()(b bc c)0)0时，等号成立时，等号成立2 2|axaxb b|c c(c c0)0)和和|axaxb b|c c(c c0)0)型不型不等式的解法等式的解法1 1c caxaxb bc c.(1)|(1)|axaxb b|c c(c c0)0)0 02 2axaxb bc c或或axax(2)|(2)|axaxb b|c c(c c0)0)0 0b bc c.3 3|x xa a|x xb b|c c(c c0)0)和和|x xa a|x x-2-2-b b|c c(c c0)0)型不等式的解法型不等式的解法(1)(1)利用绝对值不等式几何意义求解，利用绝对值不等式几何

4、意义求解，表达数表达数形结合思想形结合思想(2)(2)利用“零点分段法求解，利用“零点分段法求解，表达分类讨论表达分类讨论思想思想(3)(3)通过构建函数，通过构建函数，利用函数图象求解，利用函数图象求解，表达表达函数与方程思想函数与方程思想4 4证明不等式的根本方法证明不等式的根本方法1 1比拟法；比拟法；(2)(2)0 02 2综合法；综合法；(3)(3)0 03 3分析法；分析法；(1)(1)0 04 4反证法；反证法；(5)(5)0 05 5放缩法放缩法(4)(4)0 05 5二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式假设假设a a，b b，c c，d d都是实数，那么都是实数，那么(a

5、 ab b)()(c c0 01 1(acacbdbd)2 2，当且仅当，当且仅当0 02 2adadbcbc时，等时，等d d2 2)号成立号成立热点考向探究热点考向探究考向考向 1 1绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式的解法及应用角度角度 1 1绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法例例1 1(2022乌鲁木齐高三第二次质量检测(2022乌鲁木齐高三第二次质量检测)函数函数f f(x x)2|2|x x1|1|x xa a|，a aR.R.(1)(1)当当a a1 1 时，求不等式时，求不等式f f(x x)0)0 的解集；的解集；(2)(2)假设关于假设关于x x的不等式的不等式f f(

6、x x)x x有实数解，有实数解，求实数求实数a a的取值范围的取值范围-3-3-2 22 22 2解解(1)(1)当当a a1 1 时，时，f f(x x)2|2|x x1|1|x x1|1|，当当x x1 1 时，由时，由f f(x x)0 0 得得2(2(x x1)1)(x x1)1)0 0，即，即x x3 30 0，得，得x x3 3，此时，此时3 3x x1 1，当1当1x x1，由1，由f f(x x)0 0 得得 2(2(x x1)1)(x x1)1)0 0，1 11 1即即 3 3x x1 10 0，得得x x，此时1此时1x x，3 33 3当当x x1 1 时，由时，由f

7、f(x x)0 0 得得 2(2(x x1)1)(x x1)1)0 0，即即x x3 30 0，得，得x x3 3，此时无解，此时无解，1 1 综上，不等式的解集为综上，不等式的解集为 x x 3 3x x3 3 .(2)(2)f f(x x)x x2|2|x x2|2|x x|x xa a|有解，有解，等价于函数等价于函数y y2|2|x x2|2|x x的图象上存在点在函的图象上存在点在函数数y y|x xa a|的图象下方，的图象下方，-4-4-由函数由函数y y2|2|x x2|2|x x与函数与函数y y|x xa a|的的图象可知，图象可知，a a0 0 或或a a4.4.解绝对值

8、不等式的步骤和方法解绝对值不等式的步骤和方法(1)(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤用零点分段法解绝对值不等式的步骤求零点求零点划区间、去绝对值号分别解去掉绝对划区间、去绝对值号分别解去掉绝对值的不等式值的不等式取每个结果的并集，注意在分段时不要遗取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值漏区间的端点值(2)(2)用图象法求解不等式用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法简洁直观，是一种较好的方法(3)(3)用绝对值不等

9、式的几何意义求解用绝对值不等式的几何意义求解-5-5-(1)(1)解关于解关于x x的不等式的不等式x x|x x4|4|3030；(2)(2)关于关于x x的不等式的不等式|x x|2|2|x x9|9|a a有解，有解，求实数求实数a a的取值范围的取值范围 x x4040，解解(1)(1)原不等式等价于原不等式等价于 x x x x4 4 3030或或 x x40，40，x x x x4 4 3030，解解得得x x 2 27 7或或33x x 1 1，所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是(，2 2 7)7)(3 3，1)1)(2)(2)令令f f(x x)|x x|2|2|x x9

10、|9|，那么关于，那么关于x x的的不等式不等式|x x|2|2|x x9|9|f f(x x)minmin.3 3x x1818，x x9，9，f f(x x)1818x x，0，0 x x99，18183 3x x，x x099，即实数即实数a a的取值范围为的取值范围为(9(9，)角度角度 2 2绝对值不等式恒成立绝对值不等式恒成立(或存在性或存在性)问问-6-6-所以所以f f(x x)的的题题例例 2 2(2022德阳市高三第二次诊断(2022德阳市高三第二次诊断)函数函数f f(x x)|x xa a|x x2|.2|.(1)(1)当当a a1 1 时，时，求不等式求不等式f f(

11、x x)x x的解集；的解集；2 2(2)(2)假设假设f f(x x)a a1 1 恒成立，求恒成立，求a a的取值范的取值范围围解解(1)(1)当当a a1 1 时，时，f f(x x)|x x1|1|x x2|2|，3 3，x x2 2，即即f f(x x)2 2x x1 1，2 2x x1 1，3 3，x x1，1，式式不等不等f f(x x)x x x x2 2，即即为为 33x x或或 22x x1 2 2，或或 2 2 a a22a a1 1，1 1 5 51 1 5 5解得解得a a或或a a，2 22 2解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转解答含参数的绝对值不等式应熟记的几

12、个转化化f f(x x)a a恒成立恒成立f f(x x)minmin a a；f f(x x)a a恒成立恒成立f f(x x)maxmax)a a有解有解f f(x x)maxmax a a；f f(x x)a a有有解解f f(x x)minmin)a a无解无解f f(x x)maxmaxa a；f f(x x)a a无解无解f f(x x)minmina a.(2022宣城市高三第二次调研(2022宣城市高三第二次调研)函数函数f f(x x)和和g g(x x)的图象关于原点对称，且的图象关于原点对称，且f f(x x)2 2x x1.1.(1)(1)解关于解关于x x的不等式的不

13、等式g g(x x)|)|x x1|1|；(2)(2)如果对如果对 x xR R，不等式，不等式|g g(x x)|)|c c|x x-8-8-1|1|恒成立，求实数恒成立，求实数c c的取值范围的取值范围解解(1)(1)由题意可得，由题意可得，g g(x x)2 2x x1 1，所以所以g g(x x)|)|x x1|1|即即 2 2x x1|1|x x1|.1|.当当x x11 时，时，2 2x x11x x1 1，解得，解得x x0，所0，所以以x x1；1；2 2当当x x11 时，时，2 2x x1111x x，解得，解得x x，所，所3 32 2以以 x x1.00，b b00，函

14、数，函数f f(x x)|x xa a|x xb b|.|.(1)(1)当当a a1 1，b b1 1 时，解关于时，解关于x x的不等式的不等式f f(x x)1)1；-9-9-1 11 1(2)(2)假设函数假设函数f f(x x)的最大值为的最大值为 2 2，求证：求证：a ab b2.2.解解(1)(1)当当a a1 1，b b1 1 时，时，f f(x x)|x x1|1|x x1|1|2 2，x x1，1，2 2x x，1，1x x11，2 2，x x 121，不等式恒成立，不等式恒成立，此时不等式的解集为此时不等式的解集为 x x|x x1；1；1 1当1当1x x111，所以，

15、所以x x ，2 2 1 1此时不等式的解集为此时不等式的解集为 x x x x11 2 2 ；当当x x 121，不等式不成立，不等式不成立，此时无解此时无解综综 上上 所所 述述，不不 等等 式式f f(x x)1)1 的的 解解 集集 为为 1 1 x x x x 2 2 .(2)(2)证法一：由绝对值三角不等式可得证法一：由绝对值三角不等式可得|x xa a|x xb b|a ab b|，a a00，b b00，a a-10-10-b b2 2，1 11 1 1 1 b ba a 1 1 (a ab b)2 2 2，2，a ab b a ab b2 2 a ab b 2 2 1 11

16、1当且仅当当且仅当a ab b1 1 时，等号成立时，等号成立证法二：证法二：a a00，b b00，a a00b b，函数函数f f(x x)|x xa a|x xb b|x x(a a)|)|x xb b|a ab b，x xb b，2 2x xa ab b，a ax x b b，a ab b，x x a a，a ab b2.2.结合图象易得函数结合图象易得函数f f(x x)的最大值为的最大值为a ab b，1 11 1 1 1 b ba a 1 1 (a ab b)2 2 2，2，当当a ab b a ab b2 2 a ab b 2 2 1 11 1且仅当且仅当a ab b1 1 时

17、，等号成立时，等号成立不等式证明的常用方法不等式证明的常用方法(1)(1)不等式的证明常利用综合法、不等式的证明常利用综合法、分析法、分析法、根根本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法选用方法(2)(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种证明含绝对值的不等式主要有以下三种-11-11-方法：方法：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明为普通不等式再证明利利用用三三角角不不等等式式|a a|b b|a ab b|a a|b b|进行证明进行证明转化为函数问题，转化为函数问题，利用数形结合进行

18、证明利用数形结合进行证明(2022延安市高考模拟(2022延安市高考模拟)函数函数f f(x x)|2|2x x1|1|，x xR.R.(1)(1)解不等式解不等式f f(x x)|)|x x|1 1；1 1(2)(2)假设对假设对x x，y yR R，有，有|x xy y1|1|，|2|2y y3 31 15 51|1|，求证：，求证：f f(x x).6 66 6解解(1)(1)因为因为f f(x x)|)|x x|1 1，所以所以|2|2x x1|1|x x|1 1，1 1 x x，2 2即即 2 2x x11x x1 1 x x0，0，1 12 2x x x x1 1，1 1 00 x

19、 x ，2 2或或 1 12 2x x x x1 1或或-12-12-1 11 1解得解得 x x22 或或 00 x x 或或.2 22 2所以不等式的解集为所以不等式的解集为 x x|0|0 x x200，a ab bc c1.1.求证：求证：(1)(1)a ab bc c3 3；1 11 11 13 3(2)(2).3 3a a1 13 3b b1 13 3c c1 12 2证明证明(1)(1)由柯西不等式得由柯西不等式得(a ab bc c)(1(12 22 22 2a a 112 2b b 112 2c c)2 2(1(12 2 1 12 21 11 1)()(a a)(b b)(c

20、 c)3 3，当且仅当，当且仅当1 11 1a a1 1，即，即a ab bc c 时等号成立，时等号成立，a ab b3 3b bc c4 4(2)(2)证证 法法 一一：(3(3a a3 3a a1 1c c3.3.-13-13-1)21)24 4 3 3a a1 1 3 3a a1 1 4 4时取等号时取等号，4 4 当且仅当当且仅当3 3a a1 13 3a a1 1 4 44 4333 3a a.同同理理得得333 3b b，3 3a a1 13 3b b1 14 4333 3c c，3 3c c1 1 1 11 11 1 以上三式相加得，以上三式相加得，4 4 3 3a a1 13

21、 3b b1 13 3c c1 1 993(3(a ab bc c)1 16 6 当且仅当当且仅当a ab bc c 时取等号时取等号，3 3 1 11 11 13 3.3 3a a1 13 3b b1 13 3c c1 12 2证法二：由柯西不等式得证法二：由柯西不等式得(3(3a a 1)1)(3(3b b 1)1)(3(3c c1)1)1 1 3 3a a1 13 3a a1 1 1 11 11 1 3 3a a1 13 3b b1 13 3c c1 1 1 13 3b b1 1 3 3b b1 1-14-14-3 3c c1 11 1 3 3c c1 1 2 2 1 19 9 当且仅当

22、当且仅当a ab bc c 时取等号时取等号，3 3 1 11 11 1 又又a ab bc c1 1，6 6 3 3a a1 13 3b b1 13 3c c1 1 9，9，1 11 11 13 3.3 3a a1 13 3b b1 13 3c c1 12 2柯西不等式的应用方法柯西不等式的应用方法(1)(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明不等式进行证明(2)(2)利用柯

23、西不等式求最值的一般结构为利用柯西不等式求最值的一般结构为(a a2 21 1 1 11 11 1 2 2 a aa an n)2 22 22 2(1(11 11)1)a an n a a1 1a a2 22 22 22 2n n.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件应注意等号成立的条件-15-15-2 2(2022南通市高三下学期模拟(2022南通市高三下学期模拟)a a，b b，c c均均1 11 11 1为正数，且为正数，且a a2 2b b4 4c c3 3，求，求a a1 1b b1 1c c1 1的最小值，并指出取得最小值

24、时的最小值，并指出取得最小值时a a，b b，c c的值的值解解因为因为a a2 2b b4 4c c3 3，所以，所以(a a1)1)2(2(b b1)1)4(4(c c1)1)1010，因为因为a a，b b，c c为正数，所以由柯西不等式得，为正数，所以由柯西不等式得，1 11 1(a a1)1)2(2(b b1)1)4(4(c c1)1)a a1 1b b1 11 12 2(1(1 2 22)2)，c c1 1当且仅当当且仅当(a a1)1)2(2(b b1)1)4(4(c c1)1)等式等式成立，成立，1 11 11 111116 6 2 2所以所以，a a1 1b b1 1c c1

25、 110101 11 11 1所所 以以的的 最最 小小 值值 是是a a1 1b b1 1c c1 111116 6 2 2，101023231010 2 21515 2 21717此此时时a a，b b，c c7 77 72 22 22 2-16-16-8 85 5 2 2.7 7真题真题押题押题真题模拟真题模拟1 1(2022哈尔滨市第六中学高三第二次模(2022哈尔滨市第六中学高三第二次模拟拟)设函数设函数f f(x x)|2|2x x1|1|2|2|x x1|1|a a.(1)(1)当当a a4 4 时，求不等式时，求不等式f f(x x)0)0 的解集；的解集；(2)(2)假设函数

26、假设函数f f(x x)的定义域为的定义域为 R R，求求a a的取值的取值范围范围解解(1)(1)当当a a4 4 时，时，f f(x x)0 0 为为|2|2x x1|1|2|2|x x1|41|4，5 5当当x x1 1 时，时，1 12 2x x2 2x x2424x x ；4 41 1当当11x x 424，无解；，无解；2 21 13 3当当x x 时，时，2 2x x1 12 2x x2424x x .2 24 45 53 3综上，综上，f f(x x)0)0 的解集为，的解集为，4 44 4.(2)(2)由题意得由题意得|2|2x x1|1|2|2|x x1|1|a a恒成立，

27、恒成立，-17-17-a a(|2(|2x x1|1|2|2|x x1|)1|)minmin.|2|2x x 1|1|2|2|x x 1|1|2|2x x 1|1|2|2x x2|(22|(2x x1)1)(2(2x x2)|2)|3 3，a a3.00，b b00，且，且a ab b2 2，求证：，求证：a a1 1b b1 122f f x x.解解(1)(1)由由f f(m m)|m m1|1|m m1|(1|(m m1)1)(m m1)|1)|2 2，f f(m m)minmin2 2，n n2 2n n12，12，11n n3，3，所以所以n n的取值范围是的取值范围是 1,31,3

28、(2)(2)证明：由证明：由(1)(1)可知，可知，2 2f f x x 22 2 2，2 2b b1 1)2 2a ab b 2 2 2 2 a a1 1 b b1 1 44(a a1)1)(b b1)1)8 8，a a1 1b b1 122 2 2，当且仅当当且仅当a ab b1 1 时等号成立，时等号成立，(a a1 1 a a1 1b b1 122f f x x.3 3(2022全国卷(2022全国卷)a a，b b，c c为正数，且满为正数，且满足足abcabc1.1.-18-18-1 11 1证明：证明：(1)(1)a a2 2b b2 2c c2 2；1 1a ab bc c2

29、2(2)(2)(a ab b)3 3(b bc c)3 3(c ca a)3 324.24.证明证明(1)(1)因为因为a ab b22abab，b bc c22bcbc，2 22 22 2c ca a22acac，又，又abcabc1 1，故有，故有a ab bc cababababbcbccaca1 11 11 1bcbccaca .abcabca ab bc c当且仅当当且仅当a ab bc c1 1 时，等号成立时，等号成立所以所以 a ab bc c.1 11 11 12 22 22 22 22 22 22 22 2a ab bc c3 3(2)(2)因为因为a a，b b，c c为

30、正数且为正数且abcabc1 1，故有故有(a ab b)(b bc c)(c ca a)333 3 a ab b 3 3 b bc c 3 3 c ca a 3 3 3(3(a ab b)()(b b3 33 3c c)()(c ca a)3(23(2abab)(2)(2bcbc)(2)(2caca)24.24.当且仅当当且仅当a ab bc c1 1 时，等号成立时，等号成立所以所以(a ab b)(b bc c)(c ca a)24.24.金版押题金版押题4 4函数函数f f(x x)|2|2x x3|3|x x1|.1|.(1)(1)假设不等式假设不等式f f(x x)a a的解集是空

31、集，的解集是空集，求实求实数数a a的取值范围；的取值范围；-19-19-3 33 33 3(2)(2)假设存在假设存在x x0 0R R，使得使得 2 2f f(x x0 0)t t4|4|t t|成立，求实数成立，求实数t t的取值范围的取值范围解解(1)(1)f f(x x)|2|2x x3|3|x x1|1|2 2x x4 4，x x1 1，3 3 3 3x x2 2，11x x ，2 2 3 3x x4 4，x x，2 2 2 2y yf f(x x)的图象如下图，的图象如下图，5 5易得易得f f(x x)minmin.2 2不等式不等式f f(x x)a a的解集是空集，的解集是

32、空集，5 5 a a的取值范围为的取值范围为，.2 2 (2)(2)x x0 0R R，使得，使得 2 2f f(x x0 0)t t4|4|t t|成立，成立，即即 2 2f f(x x)minmint t2 24|4|t t|，由，由(1)(1)知知f f(x x)minmin5 5，2 2-20-20-t t4|4|t t|50，解得550，解得5t t5，5，t t的的取值范围为取值范围为 5,55,5配套作业配套作业1 1(2022西安八校高三联考(2022西安八校高三联考)a a，b b均为实均为实数，且数，且|3|3a a4 4b b|10.10.(1)(1)求求a ab b的最

33、小值；的最小值；(2)(2)假设假设|x x3|3|x x2|2|a a2 2b b2 2对任意的对任意的2 22 22 2a a，b bR R 恒成立，求实数恒成立，求实数x x的取值范围的取值范围2 22 22 22 22 2解解(1)(1)因为因为 1010(3(3a a4 4b b)(3(3 4 4)()(a aa a3 3b b)25(25(a ab b)，所以所以a ab b4，4，当且仅当当且仅当 ，b b4 42 22 22 22 22 2 a a6 6，5 5即即 8 8 b b 5 5 a a6 6，5 5或或 8 8 b b5 5 2 22 2时取等时取等号，即号，即a

34、a2 2b b2 2的最小值为的最小值为 4.4.(2)(2)由由(1)(1)知知|x x3|3|x x2|2|a ab b对任意对任意的的a a，b bR R 恒恒成成立立|x x3|3|x x2|42|4 x x 3 3，5454 33x x22，或或 2 2x x1414 x x2，2，或或 5454x x-21-21-3 33 33 3 或3或3x xx x，所以实数，所以实数x x的取值范围的取值范围2 22 23 3为，为，.2 22 2函数函数f f(x x)|2|2x xa a|x x1|.1|.(1)(1)当当a a3 3 时，求不等式时，求不等式f f(x x)2)2 的解

35、集；的解集；(2)(2)假设假设f f(x x)5)5x x对任意对任意x xR R 恒成立，恒成立，求求实数实数a a的取值范围的取值范围解解(1)(1)当当a a3 3 时，即求解时，即求解|2|2x x3|3|x x1|2，1|2，3 3当当x x 时，时，2 2x x3 3x x12，12，x x2；2；2 23 3当当 11x x 时，时，3 32 2x xx x12,212,2x x2，2，2 2x x0，无解；0，无解；当当x x11 时，时，3 32 2x x1 1x x2，2，3 3x x2，2，2 2x x.3 3 2 2 综上，解集为综上，解集为 x x x x 或或x

36、x223 3 .(2)(2)f f(x x)5)5x x恒成立，即恒成立，即|2|2x xa a|5|5x x|x x1|1|恒恒成成立立，令令g g(x x)5 5x x|x x1|1|-22-22-6 62 2x x，x x1，1，4 4，x x11，那么函数图象如图那么函数图象如图 3，3，a a6.6.2 2a a3 3函数函数f f(x x)|x x5|5|x x2|.2|.(1)(1)假设假设x xR R，使得使得f f(x x)m m成立，成立，求求m m的的范围；范围；(2)(2)求不等式求不等式x x8 8x x1515f f(x x)0)0 的解集的解集解解(1)(1)f

37、f(x x)|x x 5|5|x x 2|2|3 3，x x2，2，7 72 2x x，22x x55，3 3，x x5，5，2 28 8x x其对应图象如下图易知其对应图象如下图易知f f(x x)minmin3 3，m m3 3，即，即m m的取值范围为的取值范围为 3 3，)，)(2)(2)x x2 21515f f(x x)-23-23-2 2x x8 8x x1818，x x2，2，2 2 x x1010 x x2222，22x x55，2 2 x x8 8x x1212，x x5，5，2 2x x2，2，x x8 8x x180，解集为180，解集为.22x x55，x x1010

38、 x x220,5220,5 3 3x x5.5.x x5，5，x x2 28 8x x120,5120,5x x6.6.综综 上上 所所 述述，不不 等等 式式 的的 解解 集集 为为 x x|5|5 3 3x x664 4(1)(1)解不等式：解不等式：|2|2x x1|1|x x|1|1；(2)(2)设设f f(x x)x xx x1 1，实数实数a a满足满足|x xa a|1|1，求证：求证：|f f(x x)f f(a a)|2(|)|2(|a a|1)1)解解(1)(1)当当x x00 时，原不等式可化为时，原不等式可化为2 2x x2 22 2x x000，所以，所以x x不存

39、在；不存在；1 1当当 00 x x 时，原不等式可化为时，原不等式可化为2 2x xx x000，所以，所以 00 x x ；2 21 1当当 x x时，原不等式可化为时，原不等式可化为 2 2x x1 1x x11，2 21 1解得解得x x22，所以，所以 x x2.2.2 2-24-24-综上，原不等式的解集为综上，原不等式的解集为 x x|0|0 x x22(2)(2)证明：因为证明：因为|f f(x x)f f(a a)|)|x xx xa a2 22 2a a|x xa a|x xa a1|1|x xa a1|1|x xa a2 2a a1|1|x xa a|2|2a a1|11

40、|1|2|2a a|1 12(|2(|a a|1)1)，所以所以|f f(x x)f f(a a)|2(|)|2)2x x成立，成立，2 2求求a a的取值范围的取值范围解解(1)(1)当当a a1 1 时，时，f f(x x)|2|2x x1|1|x x1|1|x x2 2，x x11，1 1 3 3x x，x x1，1，2 2 1 1x x2 2，x x 11，x x2222或或-25-25-1 1 x x1，1，2 2 3 3x x221 1 x x ，2 2或或 x x22，22，1 12 21 1解得解得x x 或或 x x 或4或4x x ，2 23 32 26 6函数函数f f(

41、x x)|x xm m|，m m0.0.(1)(1)当当m m1 1 时，时，解不等式解不等式f f(x x)f f(x x)2)2x x；(2)(2)假设不等式假设不等式f f(x x)f f(2(2x x)1)1 的解集非空，的解集非空，求求m m的取值范围的取值范围解解(1)(1)当当m m1 1 时，时，f f(x x)f f(x x)|x x1|1|x x1|1|，设设F F(x x)|x x 1|1|x x 1|1|-26-26-2 2x x，x x 1 1，2 2，1，1x x11，2 2x x，x x1，1，当当x x 1 1 时，时，2 2x x22x x，解得，解得x x2

42、 2；当1当1x x11 时，22时，22x x，解得，解得 00 x x11；当当x x11 时，时，2 2x x22x x，解得，解得x x1.1.综综上上，原原不不等等式式的的解解集集为为 x x|x x2 2 或或x x00(2)(2)f f(x x)f f(2(2x x)|x xm m|2|2x xm m|，m m0.0.设设g g(x x)f f(x x)f f(2(2x x)，当当x xm m时，时，g g(x x)m mx xm m2 2x x2 2m m3 3x x，那么那么g g(x x)m m；当当m m x x 时，时，g g(x x)x xm mm m2 2x xx

43、x，那，那2 2么么 g g(x x)m m；2 2当当x x 时，时，g g(x x)x xm m2 2x xm m3 3x x2 2m m，2 2那么那么g g(x x).2 2 m m 那么那么g g(x x)的值域为的值域为 ，2 2-27-27-m mm mm mm m由题知不等式由题知不等式f f(x x)f f(2(2x x)1)1，解得，解得m m 2 2，由于，由于m m00，故，故m m的取值的取值2 2范围是范围是(2 2，0)0)7 7(2022宝鸡市高考模拟(2022宝鸡市高考模拟)函数函数f f(x x)|x x2|2|x x3|.3|.(1)(1)求不等式求不等式

44、f f(x x)2)2 的解集；的解集；(2)(2)假设不等式假设不等式f f(x x)a a6 6a a的解集非空，求的解集非空，求实数实数a a的取值范围的取值范围解解(1)(1)由由f f(x x)|x x2|2|x x3|23|2 可化可化为：为：x x 22，或或 x x2 2x x32，32，3 3解得解得x x 或或 x x22 或或x x22，2 2-28-28-(2)(2)因为因为|f f(x x)|)|x x2|2|x x3|3|x x2 2x x3|3|5 5，所以5所以5f f(x x)5，即)5，即f f(x x)minmin5 5；要要使使不不等等式式f f(x x

45、)a a6 6a a解解集集非非空空，需需2 2f f(x x)minmin 050，解得，解得a a 1 1，所以所以a a的取值范围为的取值范围为(，5)5)(1 1，)8 8(2022太原市高三模拟(2022太原市高三模拟)函数函数f f(x x)|2|2x x1|1|2|2|x x1|.1|.(1)(1)求不等式求不等式f f(x x)5)5 的解集；的解集；(2)(2)假设存在实数假设存在实数x x0 0，使得，使得f f(x x0 0)5)5m mm mM M，证明：，证明：0000，2 22 22 2 2 2ababa ab b，4 4abab(a ab b)，a ab b abab，4 42 2a a3 3b b3 3(a ab b)()(a a2 2ababb b2 2)(a a1 1b b)()(a ab b)3 3abab(a ab b)3 3，a ab b2，2，00a a4 42 22 2b b2.2.-30-30-31-31-