(精品正弦定理和余弦定理讲义-打印版.pdf

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1、正弦定理和余弦定理讲义-打印版最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除正弦定理和余弦定理讲义正弦定理和余弦定理讲义解三角形的大前提背景：内角和定理：解三角形的大前提背景：内角和定理：在在 ABCABC中，中，ABC；sinsinA Asin(sin(B BC C)，coscosA Acos(cos(B BC C)，A AB BC CA AB BC C tan tanA Atan(tan(B BC C)sinsin2 2coscos2 2，coscos2 2sinsin2 2.考点一：考点一：1.1.正弦定理正弦定理：，其中 R 是 .2.变形为：(1)abc；（边化角边化角）a_，b_，c_；（

2、角化边角化边）sin A_，sin B_，sin C_注：正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.（情况（情况(2)(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.大边对大大边对大角）角）3.3.解三角形时，三角形解的个数的判断解三角形时，三角形解的个数的判断图形关系式解个数absin Absin AabA 为锐角A 为钝角或直角例例 1 1.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答。（1）a 7,b 8,A105（2）a 10,b 20,A 80（3）b

3、10,c 5 6,C 60（4）a 2 3,b 6,A302.在ABC中，a8，B60，C75，求边 b 和 c.考点二：余弦定理考点二：余弦定理 a2_，b2_，c2_.余弦定理可以变形为：cos A_，cos B_，cos C_.或者注：注：1.1.已知两边已知两边 b b，c c与其夹角与其夹角 A A，由，由 a a2 2b b2 2c c2 22 2bcbccoscosA,A,求出求出 a a，再由正弦定理，求出角，再由正弦定理，求出角 B B，C.C.2.2.已知三边已知三边 a a、b b、c c，由余弦定理可求出角，由余弦定理可求出角 A A、B B、C.C.例例.在ABC 中

4、，a1，b 7，B60，求 c.考点三：判断三角形的形状考点三：判断三角形的形状精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除解题思路：一般考虑两个方向进行变形：（1 1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（正、余弦定理结合使用；（2 2）另一个方向是角，走三角变形之路）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理通常是运用正弦定理（思（思考：如何判断锐、直、钝三角形；结合三角变换判断等腰，等边等）考：如何判断锐、直、钝三角形；结合三角变换判断等腰，等边等）例例 1.1.在ABC中，bcosAacos

5、B，试判断三角形的形状.cosAb2.2.在ABC中，若cosBa，则ABC的形状是.()3.3.ABC中，若 lgalgclgsinBlg 2且 B4.4.已知在ABC 中，coscos2()，则ABC的形状是()0，2Ab c，则ABC 的形状是22c考点四：三角形的面积问题考点四：三角形的面积问题SABCabc1111absinC:bcsin A=casin B4R(R为外接圆半径)2(abc)r(r内切圆半222A2 5例例 1.1.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cos，AB AC3.(1)求25ABC的面积；(2)若 bc6，求 a 的值.cos

6、Bb2.2.在ABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且.(1)求角 B 的大小；cos C2ac若 b 13，ac4，求ABC的面积.考点五：三角形中的三角变换考点五：三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.三角变换公式：1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式：2.二倍角的正弦、余弦和正切公式：精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 3.辅助角公式：例例 1.1.在ABC中，已知内角（1）求函数A，边BC 2 3设内角B x，周长为yy f(x)的解析式和定义域；（2）求y的

7、最大值2.2.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a 2bsin A（）求B的大小；（）求cos AsinC的取值范围在ABC中，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，ABBC8，BAC，a4.22(1)求 bc的最大值及 的取值范围；(2)求函数f()2 3sin()2cos 3的值4考点六：综合问题考点六：综合问题例例.(2005 年全国高考卷三试题)ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c成等比数列，cos（）求 cotA+cotC的值；（）设BABCB 3.43，求 ac的值.2考点七：实际应用考点七：实际应用（一（一.）测量

8、问题）测量问题例例 1.1.如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B两点，望对岸标记物 C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。（二（二.）遇险问题）遇险问题例例 2.2.某舰艇测得灯塔在它的东 15北的方向，此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进，30 分钟后又测得灯塔在它的东 30北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？CA图 1DB北西A南15B30图 2北东C120A2105A13.3.（2007山东高考）如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方精品好资料-如有侵权请联系网站删除B2B1乙甲最新好资料推荐-

9、如有侵权请联系网站删除航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于海里，当甲船航行20分钟到达船每小时航行多少海里？A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 2海里，问乙跟踪训练一、选择题1在ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin B sin C，则 A 的取值范围是()A(0，B，)C(0，D，)66332.如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB AD,2AB 3BD，BC 2BD，则 sinC 的值为()A.33B.36 C.63D.66abc3.在ABC 中，若A60，b

10、1，SABC 3，则的值为()sinAsinBsinC26 3A.32 3939B.C.3313 3D.3()4.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c.若C120，c 2a，则A.abB.abD.a 与 b 的大小关系不能确定C.ab5.若ABC 的内角 A、B、C 满足 6sin A4sin B3sin C，则 cosB()1533 1511A.B.C.D.441616二、填空题6.在ABC 中，a、b、c 分别为A、B、C 的对边长，已知 a，b，c 成等比数列，且 a2c2acbc，则A_，ABC 的形状为_.batanCtanC7.在锐角ABC 中，角 A、B、C

11、 的对边分别为 a、b、c.若 6cosC，则的值是_.abtanAtanB18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若其面积 S(b2c2a2)，则 A_4AC9.在锐角ABC 中，BC 1，B2A，则的值等于_，AC 的取值范围为 .cosA10已知ABC 的一个内角为 120，且三边长构成公差为 4的等差数列，则ABC 的面积为 .三、解答题1111已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A 是锐角，且 3b2a sinB.(1)求 A；(2)若 a7，ABC 的面积为 10 3，求 b2c2的值.12在ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分

12、别为 a、b、c.已知 a2c22b，且 sinB4cosAsinC，求 b.精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除BC713.13.在ABC中，a、b、c分别为角 A、B、C的对边，4sin2cos 2A2.2 (1)求A的度数；(2)若 a 3，bc3，求 b、c的值.1414在ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，其中 b3，tanAtanCtan tanAtanCtan.233(1)求角 B的大小；(2)求 ac的取值范围15.15.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 p p(c2a，b)，q q(cosB，cosC)，p pq q.(1)求角 B的大小；(2)若 b2 3，求ABC面积的最大值精品好资料-如有侵权请联系网站删除