(江苏专用)2022版高考数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第2讲函数的概念、.pdf

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1、江苏专用江苏专用 20222022 版高考数学二版高考数学二轮复习专题一集合、轮复习专题一集合、常用逻辑用常用逻辑用语、不等式、函数与导数第语、不等式、函数与导数第2 2 讲讲函数的概念、函数的概念、图象与性质学案文图象与性质学案文苏教版苏教版第第 2 2 讲讲函数的概念、图象与性质函数的概念、图象与性质 2022 2022 考向导航考向导航 考点扫考点扫描描1 1函数函数及其表及其表示示2 2函数函数的图象的图象3 3函数函数的性质的性质三年考情三年考情2022022 2第第 4 4题题202220222022022 2江苏高考对函数的江苏高考对函数的考向预测考向预测三要素，三要素，函数的表

2、示函数的表示方法等内容的考查方法等内容的考查第第1414题题以根底知识为主，以根底知识为主，难难度中等偏下度中等偏下 对图象对图象的考查主要有两个的考查主要有两个第第 9 9题题方面：方面：一是识图，一是识图，二二是用图，是用图，通过数形结通过数形结合合 的的 思思 想想 解解 决决 问问4 4分段分段函数函数第第1414题题第第题题 对函数性质的考对函数性质的考查，查，那么主要是将单那么主要是将单1414题题调性、调性、奇偶性、奇偶性、周期周期性等综合一起考查，性等综合一起考查，-2-2-常以填空题的形式常以填空题的形式考查，考查，难度较大难度较大分分段函数往往是试题段函数往往是试题的载体的

3、载体1 1必记的概念与定理必记的概念与定理(1)(1)假设函数在其定义域内，假设函数在其定义域内，对于定义域内的对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法那么，这样的不同取值区间，有着不同的对应法那么，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几局部函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几局部组成，但它表示的是一个函数组成，但它表示的是一个函数(2)(2)单调性：利用定义证明函数的单调性时，单调性：利用定义证明函数的单调性时，标准步骤为取值、作差、判断符号、下结论由标准步骤为取值、作差、判断符号、下结论由几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减的原那么的原那

4、么(3)(3)奇偶性：奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于性质偶函数的图象关于y y轴对称，在关于坐标轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点-3-3-对称的定义域区间上具有相同的单调性对称的定义域区间上具有相同的单调性(4)(4)周期性：周期性：周期性是函数在定义域上的整体周期性是函数在定义域上的整体性质假设函数满足性质假设函数满足f f(x xT T)f f(x x)()(T T0)，由0)，由函数

5、周期性的定义可知函数周期性的定义可知T T是函数的一个周期；应是函数的一个周期；应注意注意nTnT(n nZ Z 且且n n0)也是函数的周期0)也是函数的周期2 2记住几个常用的公式与结论记住几个常用的公式与结论图象变换规那么图象变换规那么(1)(1)水平平移：水平平移：y yf f(x xa a)()(a a0)0)的图象，可的图象，可由由y yf f(x x)的图象向左的图象向左()或向右或向右()平移平移a a个个单位而得到单位而得到(2)(2)竖直平移：竖直平移：y yf f(x x)b b(b b0)0)的图象，可的图象，可由由y yf f(x x)的图象向上的图象向上()或向下或

6、向下()平移平移b b个个单位而得到单位而得到(3)(3)y yf f(x x)与与y yf f(x x)的图象关于的图象关于y y轴对轴对称称(4)(4)y yf f(x x)与与y yf f(x x)的图象关于的图象关于x x轴对轴对称称(5)(5)y yf f(x x)与与y yf f(x x)的图象关于原点的图象关于原点-4-4-对称对称(6)(6)要得到要得到y y|f f(x x)|)|的图象，可将的图象，可将y yf f(x x)的图象在的图象在x x轴下方的局部以轴下方的局部以x x轴为对称轴翻折到轴为对称轴翻折到x x轴上方，其余局部不变轴上方，其余局部不变(7)(7)要得到

7、要得到y yf f(|(|x x|)|)的图象，的图象，可将可将y yf f(x x)，x x0 0 的局部作出，再利用偶函数的图象关于的局部作出，再利用偶函数的图象关于y y轴轴的对称性，作出的对称性，作出x x0 0 时的图象时的图象(8)(8)假设奇函数假设奇函数f f(x x)在在x x0 0 处有定义，那么处有定义，那么f f(0)(0)0 0(9)(9)奇函数的图象关于原点对称，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图偶函数的图象关于象关于y y轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区关于原点对称可知，奇函数在原点两

8、侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y y轴轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反调性相反3 3需要关注的易错易混点需要关注的易错易混点(1)(1)在求分段函数的值在求分段函数的值f f(x x0 0)时，一定要首先时，一定要首先判断判断x x0 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应属于定义域的哪个子集，然后再代入相应-5-5-的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集子集上各关系式的取值集合的并集(2)(2)从定义

9、上看，从定义上看，函数的单调性是指函数在定函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征在义域的某个子区间上的性质，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调(3)(3)单调区间只能用区间表示，单调区间只能用区间表示，不能用集合或不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“联结，也不能用“或联结用并集符号“联结，也不能用“或联结(4)(4)定义域关于原点对称，定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶这是函数具有奇偶性的必要不充分条件性的必要不充分条件函数及其表示函数及

10、其表示 典型例题典型例题(1)(2022(1)(2022 高高 考考 江江 苏苏 卷卷)函函 数数y y7 76 6x xx x的定义域是的定义域是_ 2 2x x，x x0，0，(2)(2)函函 数数f f(x x)的的 值值 域域 为为2 2 x x1 1，x x00-6-6-2 2_【解析】【解析】(1)(1)要使函数有意义，那么要使函数有意义，那么 7 76 6x xx x0 0，解得1，解得1x x7，那么函数的定义域是7，那么函数的定义域是 1 1，77(2)(2)当当x x00 时，函数时，函数f f(x x)2 2x x单调递增，此单调递增，此时函数时函数f f(x x)的值域

11、为的值域为(0(0，11；当当x x00 时，时，函数函数f f(x x)x x1 1 单调递减，此时函数单调递减，此时函数f f(x x)的值域为的值域为(，1)1)故函数故函数f f(x x)的值域为的值域为(，11【答案】【答案】(1)(1)1 1，77(2)(2)(，11函数的定义域是使函数有意义的自变量取值函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成局部，研究函的集合，它是函数不可缺少的组成局部，研究函数问题必须树立“定义域优先的观念求给定数问题必须树立“定义域优先的观念求给定函数的定义域往往转化为解不等式函数的定义域往往转化为解不等式(组组)的问题，的问题，

12、在解不等式在解不等式(组组)取交集时可借助于数轴取交集时可借助于数轴 对点训练对点训练 1 1 (2022(2022 高高 考考 江江 苏苏 卷卷)函函 数数f f(x x)loglog2 2x x1 1的定义域为的定义域为_-7-7-2 22 2 解析解析 要使函数要使函数f f(x x)有意义，那么有意义，那么loglog2 2x x10，即10，即x x2，那么函数2，那么函数f f(x x)的定义域是的定义域是22，)答案答案 2 2，)，)2 2(2022南京四校第一学期联考(2022南京四校第一学期联考)函数函数f f(x x)x x5 5x x6 6的定义域为的定义域为_lglg

13、2 2x x3 3 解解 析析 要要 使使f f(x x)有有 意意 义义，必必 须须3 3 2 2x x3 30 0 x x 2 2，所以函数，所以函数 lglg2 2x x3 300，所以，所以 x x222 2 x x5 5x x6060 x x3或3或x x22 3 3 f f(x x)的定义域为的定义域为，2 2 33，)，)2 2 3 3 答案答案 ，2 2 33，)2 2 2 2函数的图象及应用函数的图象及应用 典型例题典型例题-8-8-(1)(1)函函 数数f f(x x)_e ex xx x的的 图图 象象 大大 致致 为为(2)(2022镇江市高三调研考试(2)(2022镇

14、江市高三调研考试)函数函数y y2 2x x1 1x x1 1*与函数与函数y y的图象共有的图象共有k k(k kN N)个公共个公共x x2 2 1 1x x点：点：A A1 1(x x1 1，y y1 1)，A A2 2(x x2 2，y y2 2)，A Ak k(x xk k，y yk k)，那，那k k么么(x xi iy yi i)_i i1 1【解析】【解析】(1)(1)由由f f(x x)，可得，可得f f(x x)e ex xx xx xe e e ex x1 1e e，2 22 2x xx x那那么么当当x x(，0)0)和和x x(0(0，1)1)时时，x xx xx x

15、f f(x x)0)0)0，f f(x x)单调递单调递增又当增又当x x00 时，时，f f(x x)0)，得，得11x x101)0，那么，那么x x的取值范围是的取值范围是_ 解析解析 因为因为f f(x x)是偶函数，是偶函数，所以图象关于所以图象关于y y轴对称又轴对称又f f(2)(2)0 0，且，且f f(x x)在在00，)单调递，)单调递减，减，那么那么f f(x x)的大致图象如下图，的大致图象如下图，由由f f(x x1)01)0，得得22x x1212，即，即11x x33 答案答案(1 1，3)3)-14-14-分段函数分段函数 典型例题典型例题(2022高考江苏卷(

16、2022高考江苏卷)函数函数f f(x x)满足满足f f(x x4)4)f f(x x)()(x xR)R)，且在区间，且在区间(2 2，22上，上，f f(x x)coscosx x，00 x x2 2，2 2 那那么么f f(f f(15)(15)的的值值为为 1 1 x x，22x x0，0，2 2 _【解析】【解析】因为函数因为函数f f(x x)满足满足f f(x x4)4)f f(x x)()(x xR)R)，所以函数所以函数f f(x x)的最小正周期是的最小正周期是 4 4 因因为为 在在 区区 间间(2 2，22 上上，f f(x x)coscosx x，00 x x2 2

17、 2 2所以所以f f(f f(15)(15)f f(f f(1)1)1 1 x x，22x x0，0，2 2 1 1 2 2f f coscos4 42 2 2 2-15-15-2 2【答案】【答案】2 2求分段函数的函数值时，应根据所给自变量求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值假设给出函数值的范围求自变量值或使用求值假设给出函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符求解，但要注意检验所求自变

18、量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围合相应段的自变量的取值范围 对点训练对点训练 5 5(2022江苏省高考名校联考(2022江苏省高考名校联考(三三)函数函数 axax2 2x x，x x0 0，1 11 1 f f(x x)当当x x ，时，时，恒有恒有2 2 4 44 4 axaxx x，x x0 0，f f(x xa a)f f(x x)，那那么么实实数数a a的的取取值值范范围围是是_ 解析解析 显然显然a a0，故考虑0，故考虑a a0 0 和和a a0 0 两两种情形当种情形当a a0 0 时，画图知，函数时，画图知，函数f f(x x)在在 R R上单调递增，故上单调递增

19、，故f f(x xa a)f f(x x)，不符合题意；，不符合题意；-16-16-当当a a0 0 时，此时时，此时f f(x x)的图象如下图，由于不的图象如下图，由于不等式等式f f(x xa a)f f(x x)中两个函数值对应的自变量中两个函数值对应的自变量相差为相差为a a，因此用弦长为，因此用弦长为a a的线段“削峰填的线段“削峰填 1 11 1 1 1a a1 1a a ，即，即，谷，可得谷，可得 ，2 22 2a a2 2 4 44 4 2 2a a1 1a a1 11 1 17172 2 ，即，即 2 2a aa a2 20 0，解得，解得a a2 2a a2 24 44

20、40 0 1 1 1717 答案答案 ，0 0 4 4 6 6设设f f(x x)是定义在是定义在 R R 上且周期为上且周期为 2 2 的函数，的函数，x xa a，1，1x x00，在区间在区间 1 1，1)1)上，上，f f(x x)2 2 其其 x x，0 0 x x11，5 5 5 5 9 9 中中a aR R假设假设f f f f ，那么，那么f f(5(5a a)的值是的值是 2 2 2 2 _-17-17-5 5 1 1 1 1 解析解析 由题意可得由题意可得f f f f 2 2 2 2 2 2 9 9 1 1 2 21 1 1 11 11 1a a，f f f f ，那么，

21、那么 a a，a a2 21010 2 2 2 2 5 52 2 10103 33 32 2，故，故f f(5(5a a)f f(3)(3)f f(1)1)1 1 5 55 55 52 2 答案答案 5 5 2 2x x1 1，x x11，1 1 函数函数f f(x x)2 2假设假设f f f f(0)(0)x xaxax，x x1 1，4 4a a，那么实数，那么实数a a_ 解析解析 由题意知，由题意知，f f(0)(0)2 20 01 12 2，那么，那么f f f f(0)(0)f f(2)(2)4 42 2a a，即，即 4 42 2a a4 4a a，所以，所以a a2 2 答案

22、答案 2 22 2(2022江苏省六市高三调研(2022江苏省六市高三调研)函数函数f f(x x)lglg5 5x x的定义域是的定义域是_2 2-18-18-lglg5 5x x0，0，解析解析 由题意得由题意得 解得解得2 2 5 5x x0 0，2 222x x2，所以所求函数的定义域为2，所以所求函数的定义域为 2 2，22 答案答案 2 2，223 3f f(x x)axaxbxbx是定义在是定义在 a a1 1，2 2a a 上的上的偶函数，那么偶函数，那么a ab b的值是的值是_ 解析解析 因为因为f f(x x)axax2 2bxbx是定义在是定义在 a a1 1，2 2a

23、 a 上的偶函数，上的偶函数，1 1所以所以a a1 12 2a a0 0，所以，所以a a 又又f f(x x)3 32 2f f(x x)，1 1所以所以b b0 0，所以，所以a ab b 3 31 1 答案答案 3 34 4假设假设f f(x x)对于任意实数对于任意实数x x恒有恒有 2 2f f(x x)f f(x x)3 3x x1 1，那么，那么f f(x x)_ 解析解析 由题意知由题意知2 2f f(x x)f f(x x)3 3x x1 1 将中将中x x换为换为x x，那么有，那么有2 2f f(x x)f f(x x)-19-19-3 3x x1 12 2得得 3 3

24、f f(x x)3 3x x3 3，即即f f(x x)x x1 1 答案答案 x x1 15 5 (2022(2022 江江 苏苏 省省 高高 考考 名名 校校 联联 考考 信信 息息2 2(八八)a aR R，函数，函数f f(x x)a ax x的图象经过点的图象经过点4 4 1 1 1 11 1 2 2 A A，那么关于，那么关于x x的不等式的不等式f f(x xx x)f f(x x 2 23 3 8)08)0 的解集为的解集为_2 2 解析解析 因为函数因为函数f f(x x)a ax x的图象经的图象经4 4 1 11 11 11 12 21 1过点过点A A(，)，所以，所以

25、f f()a a ，解得，解得a a1 1，2 23 32 23 33 32 24 4 1 1所以所以f f(x x)1 1x xx x，易知函数，易知函数f f(x x)是是 R R4 4 1 14 4 1 1上的增函数又上的增函数又f f(x x)f f(x x)，所以，所以f f(x x)是是 R R上的奇函数，上的奇函数，所以关于所以关于x x的不等式的不等式f f(x xx x)f f(x x8)08)0 可转化为可转化为f f(x xx x)f f(8(8x x)，所以所以x xx x88x x，即，即x x2 22 2x x8080，解得，解得44x x22-20-20-x x2

26、 22 22 2 答案答案 44x x226 6(2022江苏省名校高三入学摸底卷(2022江苏省名校高三入学摸底卷)定义定义1 1在在00，)上的函数)上的函数f f(x x)满足满足f f(x x)f f(x x2)2)，2 2且当且当x x0，0，2)2)时，时，f f(x x)x x1 1，那么，那么 loglog2 2f f(8)(8)_ 解析解析 由题意得由题意得f f(x x2)2)2 2f f(x x)，所以所以f f(8)(8)2 2f f(6)(6)4 4f f(4)(4)8 8f f(2)(2)1616f f(0)(0)1616，所所以以loglog2 2f f(8)(8

27、)loglog2 216164 4 答案答案 4 47 7定义新运算：当定义新运算：当a ab b时，时，a ab ba a；当；当2 2a a b b时，时，a ab bb b，那么函数，那么函数f f(x x)(1(1x x)x x(2(2x x)，x x 2 2，22的最大值等于的最大值等于_ 解析解析 由得当2由得当2x x11 时，时，f f(x x)x x2 2，当当 1100，a a1)1)(1)(1)假设假设f f(x x)的图象如图的图象如图(1)(1)所示，求所示，求a a，b b的值；的值；(2)(2)假设假设f f(x x)的图象如图的图象如图(2)(2)所示，求所示，

28、求a a、b b的取值范围；的取值范围；(3)(3)在在(1)(1)中，假设中，假设|f f(x x)|)|m m有且仅有一个有且仅有一个实数解，求出实数解，求出m m的范围的范围-25-25-x x 解解 (1)(1)f f(x x)的图象过点的图象过点(2(2，0)0)，(0(0，2)2)，所以所以a ab b0 0，a ab b2 2，解得解得a a 3 3，b b3 3(2)(2)由题图由题图(2)(2)知，知，f f(x x)单调递减，单调递减，所以所以00a a11，又又f f(0)0(0)0，即，即a a0 0b b00，所以，所以b b 1 1(3)(3)画出画出y y|f f

29、(x x)|)|的草图，如下图，知当的草图，如下图，知当m m0 0 或或m m33 时，时，|f f(x x)|)|m m有且仅有一个实数解有且仅有一个实数解2 20 01313函数函数f f(x x)e e e e(x xR R 且且 e e 为自然对为自然对数的底数数的底数)(1)(1)判断函数判断函数f f(x x)的奇偶性与单调性；的奇偶性与单调性；(2)(2)是否存在实数是否存在实数t t，使不等式使不等式f f(x xt t)f f(x x2 22 2x xx xt t)0)0 对一切对一切x xR R 都成立？假设存在，都成立？假设存在，求出求出t t；假设不存在，请说明理由假

30、设不存在，请说明理由-26-26-解解(1)(1)因为因为f f(x x)e e e e，且，且y ye e 是增是增函数，函数，x xx xx xy ye e是增函数，所以是增函数，所以f f(x x)是增函数是增函数由于由于f f(x x)的定义域为的定义域为 R R，且且f f(x x)e ex xe ex xf f(x x)，所以所以f f(x x)是奇是奇函数函数(2)(2)由由(1)(1)知知f f(x x)是增函数且是奇函数，所以是增函数且是奇函数，所以x xf f(x xt t)f f(x xt t)0)0 对一切对一切x xR R 恒成立，恒成立，f f(x x2 22 22

31、 22 22 22 2t t)f f(t tx x)对一切对一切x xR R 恒成立，恒成立，x xt tt tx x对一切对一切x xR R 恒成立，恒成立，t t2 2t tx x2 2x x对一切对一切x xR R恒成立，恒成立，t tt t(x xx x)minmin对一切对一切x xR R 恒成立，恒成立，1 11 12 2即即t tt t，(2(2t t1)1)0 0，所以，所以t t 4 42 22 22 22 21 12 2即存在实数即存在实数t t，使不等式使不等式f f(x xt t)f f(x x2 2t t)0)0 对一切对一切x xR R 都成立都成立1414(202

32、2扬州模拟(2022扬州模拟)定义在定义在 R R 上的奇函数上的奇函数2 2f f(x x)满足满足f f(x x4)4)f f(x x)-27-27-(1)(1)求求f f(2 016)(2 016)的值；的值；(2)(2)求证：函数求证：函数f f(x x)的图象关于直线的图象关于直线x x2 2 对对称；称；(3)(3)假设假设f f(x x)在区间在区间00，22上是增函数，试上是增函数，试比拟比拟f f(25)25)，f f(11)(11)，f f(80)(80)的大小的大小 解解(1)(1)因为因为f f(x x4)4)f f(x x)，所以所以f f(x x)f f(x x4)

33、4)f f(x x4)4)44f f(x x8)8)，知函数知函数f f(x x)的周期为的周期为T T8 8所以所以f f(2 016)(2 016)f f(2528)(2528)f f(0)(0)又又f f(x x)为定义在为定义在 R R 上的奇函数上的奇函数所以所以f f(0)(0)0 0，故，故f f(2 016)(2 016)0 0(2)(2)证明：因为证明：因为f f(x x)f f(x x4)4)，所以所以f f(x x2)2)f f(x x2)2)44f f(x x2)2)f f(2(2x x)，即，即f f(2(2x x)f f(2(2x x)成立成立故函数故函数f f(x

34、 x)的图象关于直线的图象关于直线x x2 2 对称对称(3)(3)由由(1)(1)知知f f(x x)是以是以 8 8 为周期的周期函数，为周期的周期函数，-28-28-所以所以f f(25)25)f f(3)83)811f f(1)1)，f f(11)(11)f f(8(83)3)f f(3)(3)f f(1)1)f f(1)(1)，f f(80)(80)f f(108(1080)0)f f(0)(0)又又f f(x x)在在00，22上是增函数，上是增函数，且且f f(x x)在在 R R 上上为奇函数，所以为奇函数，所以f f(x x)在在 2 2，22上为增函数，上为增函数，那么有那么有f f(1)1)f f(0)(0)f f(1)(1)，即即f f(25)25)f f(80)(80)f f(11)(11)-29-29-