初中三角函数知识点题型总结+课后练习.pdf

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1、锐锐角角三三角角函函数数知知识识点点1 1、勾股定理：直角三角形两直角边、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边的平方和等于斜边c的平方。的平方。a2 b2 c22 2、如下图，在、如下图，在 RtRtABCABC 中，中，C C 为直角，则为直角，则A A 的锐角三角函数为的锐角三角函数为(A A 可换成可换成B)B)：定定义义表达式表达式取值范围取值范围(A A 为锐角为锐角)关关系系正正弦弦余余弦弦正正切切余余切切(A A 为锐角为锐角)(A A 为锐角为锐角)tan A 1(倒数倒数)cot A(A A 为锐角为锐角)3 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的

2、余弦值等于它的余角的正弦值。、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5 5、0 0、3030、4545、6060、9090特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值(重要重要)三角函数三角函数斜边A6060B对边C0 00 01 10 0不存在不存在303045459090邻边1 10 0不存在不存在0 01 11 1锐角三角函数题型训练锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值类型一：直角三角形求值1

3、已知 RtABC 中，C 90,tan A3,BC 12,求 AC、AB 和 cosB4342已知：如图，O 的半径 OA16cm，OCAB 于 C 点，sinAOC 求：AB 及 OC 的长3已知：O 中，OCAB 于 C 点，AB16cm，sinAOC(1)求O 的半径 OA 的长及弦心距 OC；(2)求 cosAOC 及 tanAOC354.已知A是锐角，sin A 8，求cos A，tan A的值17类型二类型二.利用角度转化求值：利用角度转化求值：1已知：如图，RtABC 中，C90D 是 AC 边上一点，DEAB 于 E 点DEAE12求：sinB、cosB、tanB2.如图 4，

4、沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB 8，BC 10,则tanEFC的值为()343435453.如图 6，在等腰直角三角形ABC中，C则AD的长为()A若tanDBA 90，AC 6，D为AC上一点，1，52 B2 C1 D2 2AD=4.如图 6，在 RtABC 中，C=90，AC=8，A 的平分线的长.类型三类型三.化斜三角形为直角三角形化斜三角形为直角三角形16 3求B 的度数及边 BC、AB3A例例 1 1（2012?安徽）如图，在ABC 中，A=30，B=45，AC=23，求 AB 的长例例 2 2已知：如图，ABC 中，AC12cm，AB16cm，sin

5、A(1)求 AB 边上的高 CD；(2)求ABC 的面积 S；(3)求 tanB例例 3 3已知：如图，在ABC 中，BAC120，AB10，AC5求：sinABC 的值对应训练对应训练CD131（2012?重庆）如图，在 RtABC 中，BAC=90，点 D 在 BC 边上，且ABD 是等边三角形若AB=2，求ABC 的周长（结果保留根号）2已知：如图，ABC 中，AB9，BC6，ABC 的面积等于 9，求 sinB类型四：利用网格构造直角三角形类型四：利用网格构造直角三角形例例 1 1（2012?内江）如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为（）A15102 5BC

6、D25105对应练习：对应练习：1如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sin A=_.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值例例 1 1求下列各式的值tan60sin2452cos30=.计算：31+(2 1)03tan30tan45=331=2cos302sin45tan602cos60sin45tan30220tan45sin30=1cos60在ABC中，若cos A122(sinB)0，A，B都是锐角，求C的度数22例例 2 2求适合下列条件的锐角(1)cos231(2)tan(3)sin23220(4)6cos(16)3 3（5）已知为锐角，且tan(30)3，求tan 的值（）

7、在ABC中，若cos A122(sinB)0，A，B都是锐角，求C的度数221，那么A 的取值范围是2例例 3.3.三角函数的增减性1已知A 为锐角，且 sin A A.0 A 30B.30 A 60C.60 A 90D.30 A 902.已知 A 为锐角，且cos A sin30，则（）A.0 A 60B.30 A 60C.60 A 90D.30 A 90例例 4.4.三角函数在几何中的应用三角函数在几何中的应用1已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于 E，BE16cm，sin A 求此菱形的周长2已知：如图，RtABC 中，C90，AC BC(1)BAD；(2)sinBAD、cos

8、BAD 和 tanBAD3.已知：如图 ABC中，D为BC中点，且BAD90，tanBCAD012133，作DAC30，AD 交 CB 于 D 点，求：1，求：sinCAD、cosCAD、tan3解直角三角形：解直角三角形：1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在 RtABC 中，C90，ACb，BCa，ABc，三边之间的等量关系：_两锐角之间的关系：_边与角之间的关系：sin A cosB _；cos A sin B _；tan A 1 tan B _tan A直角三角形中成比例的线段(如图所示)在 RtABC 中，C90，CDAB 于 D1_；tanBCD2_；AC

9、2_；BC2_；ACBC_类型一类型一例 1在 RtABC 中，C90(1)已知：a35，c 35 2，求A、B，b；(2)已知：a 2 3，b 2，求A、B，c；(3)已知：sin A23，c 6，求 a、b；(4)已知：tanB,b 9,求 a、c；32(5)已知：A60，ABC 的面积S 12 3,求 a、b、c 及B例 2已知：如图，ABC 中，A30，B60，AC10cm求 AB 及 BC 的长例 3已知：如图，RtABC 中，D90，B45，ACD60BC10cm求 AD 的长例 4已知：如图，ABC 中，A30，B135，AC10cm求 AB 及 BC 的长类型二：解直角三角形的

10、实际应用类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：仰角与俯角：例例 1 1（2012?福州）如图，从热气球C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别是 30、45，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（）A200 米BCD200米220米100（）米例例 2 2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点已知BAC60，DAE45点 D 到地面的垂直距离DE 3 2m，求点 B 到地面的垂直距离 BC例例 3 3（昌平）19.如图，一风力发电装

11、置竖立在小山顶上，小山的高 BD=30m从水平面上一点 C 测得风力发电装置的顶端 A 的仰角DCA=60，测得山顶 B 的仰角DCB=30，求风力发电装置的高 AB 的长例例 4 4.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3 3米，小聪身高 AB 为米，求这棵树的高度.例 5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30，测得岸边点 D 的俯角为 45，又知河宽CD 为 50m现需从山顶A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC，求山的高度及缆绳 AC 的长(答案可带根号)ABDEC例例 5 5（2012?泰安）如图

12、，为测量某物体AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30，朝物体 AB方向前进 20 米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60，则物体 AB 的高度为（）A10米B10 米C20米D米例例 6 6（2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图，观测点设在 A 处，离益阳大道的距离（AC）为 30 米这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间为 8 秒，BAC=75（1）求 B、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参

13、考数据：sin75，cos75，tan75，3，60 千米/小时米/秒）类型四类型四.坡度与坡角坡度与坡角例（2012?广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1：3，堤坝高 BC=50m，则应水坡面 AB 的长度是（）A100mB1003mC150mD503m类型五类型五.方位角方位角1已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到海里，3 1.732)综合题：综合题：三角函数与四边形：三角函数与

14、四边形：（西城二模）1如图，四边形 ABCD 中，BAD=135，BCD=90，AB=BC=2，tanBDC=63(1)求 BD 的长；(2)求AD 的长（2011 东一）2如图，在平行四边形ABCD中，过点 A 分别作 AEBC 于点 E，AFCD 于点 F（1）求证：BAE=DAF；（2）若 AE=4，AF=三角函数与圆：三角函数与圆：243，sinBAE，求 CF 的长55x 轴的5)和点O(0，0)，与1 如图，直径为10 的A 经过点C(0，正半轴交于点 D，B 是 y 轴右侧圆弧上一点，则 cosOBC 的值为（）y yC CO OA AB BD Dx xC CD DA3143BC

15、D5522第8题图（延庆）19.已知：在O 中,AB 是直径，CB 是O 的切线，连接 AC 与O 交于点 D,(1)求证：AOD=2C4(2)若 AD=8，tanC=，求O 的半径。3A AO OB B（2013 朝阳期末）21.如图，DE 是O 的直径，CE 与O 相切，E 为切点.连接 CD 交O 于点 B，在EC 上取一个点 F，使 EF=BF.（1）求证:BF 是O 的切线;（2）若cosC作业：（昌平）1已知sin AE EO OD DB B1，则锐角 A 的度数是2F F4,DE=9，求 BF 的长5A75B60C45D30C C（西城北）2在 RtABC 中，C90，若 BC1

16、，AB=5，则 tanA 的值为A52 51BCD2552A3(房山)3在ABC 中，C=90，sinA=，那么 tanA 的值等于（）.53434AB.C.D.5543(大兴)4.若sinBC3，则锐角.2322 552 1313(石景山)1如图，在 RtABC 中，C90，BC3，AC=2，则 tanB 的值是A23BCD（丰台）5将 放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则 tan 的值是A12 55B2CD25235344345(大兴)5.ABC 在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin 的值是A.B.C.D.(通县)4如图，在直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，B 40，则直角边BC

17、的长是（）Amsin40Bmcos40Cmtan40Dmtan40P P第1题图（通州期末）1如图，已知 P 是射线 OB 上的任意一点，PMOA 于 M，B B且 OM:OP=4:5，则 cos 的值等于（）A4334BCD5345O OMM A A3，5（西城）6如图，AB 为O 的弦，半径OCAB 于点 D，若OB 长为 10，cosBOD 则 AB 的长是（)A.20B.16C.12D.84，那么 tanA 的值是53534ABCD53437.在 RtABC 中，C=90，如果 cosA=11如图，在 ABC 中，ACB=ADC=90，若 sinA=C3，则 cosBCD 的值为5AD

18、B13.计算：2cos302sin45tan6013计算2sin602 cos453tan30 tan45.13计算：2sin60 4cos230+sin 45 tan6014.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3 3米，小聪身高 AB 为米，求这棵树的高度.15已知在 RtABC 中，C90，a=4 6，b=12 2.解这个直角三角形20.如图，在 Rt ABC 中，CAB=90，AD 是CAB 的平分线，tanB=1CD，求的值2BD（延庆）19.已知：在O 中,AB 是直径，CB 是O 的切线，连接 AC 与O 交于点 D,(3)求证：

19、AOD=2C(4)若 AD=8，tanC=4，求O 的半径。3（延庆期末）19如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30，荷塘另一端D处C、B在同一条直线上，已知AC 32米，CD 16米，求荷塘宽BD为多少米？（结果保留根号）18.（6 分）如图，在 ABC 中，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心的圆经过 A，C 两点，交 AB 于点 D，已知 2A+B=90（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若 OA=6，BC=8，求 BD 的长（西城）15如图，在 RtABC中，C=90，点D在AC边上若 DB=6，AD=求 AD 的长和 tanA 的值18如图，一艘海轮位于灯塔P 的南

20、偏东 45方向，距离灯塔100 海里的 A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P 的北偏东 30方向上的 B 处.（1）B 处距离灯塔 P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于 PB 的延长线上，距离灯塔 200 海里的 O 处已知圆形暗礁区域的半径为 50 海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由22已知，如图，在ADC中，ADC 90，以 DC 为直径作半圆CD 的延长线上，连接 BF，交 AD 于点 E，BED 2C第181题图C CA AO OD D B BCD，sinCBD=22，3O，交边 AC 于点 F，点 B 在（1）求证：B

21、F 是O的切线；O的半径AFE（2）若BF FC，AE 3，求15如图，为了测量楼AB 的高度，小明在点 C 处测得楼 AB 的顶端A 的仰角为 30o，又向前走了 20 米后到达点 D，点 B、D、C 在同一条直线上，并在点 D 测得楼 AB 的顶端 A 的仰角为 60o，求楼 AB 的高BDOC14.（2009眉山中考）海船以 5 海里/小时的速度向正东方向行驶，在 A 处看见灯塔 B 在海船的北偏东 60方向，2 小时后船行驶到 C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西 45 方向，求此时灯塔 B 到 C 处的距离。15.（2009常德中考）如图，某人在 D 处测得山顶 C 的仰角为 30

22、o，向前走 200 米来到山脚 A 处，测得山坡 AC 的坡度为 i=1，求山的高度（不计测角仪的高度，31.73，结果保留整数）16.（2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由 45o 降为 30o，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。(参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449)18.在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图 13 所示，某学生在A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20 米到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度31（参考数值：tan31，sin31）图 1352河东岸点