第十三章函数列与函数项级数习题.pdf

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1、第十三章第十三章 函数列与函数项级数函数列与函数项级数一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论1函数列的收敛2.2.函数列一致收敛的定义及判别方法函数列一致收敛的定义及判别方法3.函数项级数的收敛4 4函数项级数一致收敛的定义及判别法函数项级数一致收敛的定义及判别法5.5.一致收敛函数列与函数项级数的性质一致收敛函数列与函数项级数的性质二、练习题二、练习题1.判断题(1)若函数列fn(x)在I上内闭一致收敛，则函数列fn(x)在I上一致收敛（）(2)函数项级数一致收敛必绝对收敛（）(3)函数项级数绝对收敛必一致收敛（）(4)若函数列fn(x)f(x),(n ),xD，fn(x)f(x)an

2、，且数列an收敛，则fn(x)在D上一致收敛于f(x)（）(5)函数项级数u(x)在D上一致收敛的充要条件是unn1n(x)0,xD（）(6)若fn(x)f(x),(n ),xD，且存在数列xnD，使fn(xn)f(xn)不趋近 0，则函数列fn(x)在D上非一致收敛（）(7)若函数项级数一致收敛，则必存在优级数（）(8)阿贝尔判别法是判断函数项级数一致收敛的充分非必要条件（）(9)若f(x)an1n(x)在a,b上一致收敛，且an(x)可导（n=1,2），那么f(x)在a,b上可导，且f(x)a(x)（）nn1(10)fn(x)定义在a,b上，x0a,b为fn(x)的收敛点，fn(x)的每一

3、项在a,b上dd(limfn(x)lim fn(x)（）n dxdxn 有连续的导数，且fn(x)在a,b上一致收敛，则fn(x)在a,b(11)fn(x)为定义在a,b上的函数列，x0a,b为fn(x)的收敛点，上连续，且fn(x)在a,b上一致收敛，则fn(x)也一致收敛（）(12)每项都连续的函数列fn(x)在区间 I 上内闭一致收敛于f(x)，则f(x)在 I 上连续（）(13)一致收敛是极限运算与积分运算能够交换顺序的充要条件（）n2.设函数列fn(x)x，n 1,2,，(1)求该函数列的极限函数和收敛域n(2)证明fn(x)x在a,a(0a1)上一致收敛，在(1,1上不一致收敛，在

4、(1,1)呢n3.判断函数列fn(x)x(1 x)，x0,1，n 1,2,是否一致收敛，证明函数列gn(x)在n4.设函数f(x)是0,1上的连续函数，gn(x)f(x)x，n 1,2,0,1上一致收敛的充要条件是f(1)0.5.函数(x)是a,b上的连续函数，(b)0，函数列fn(x)满足：(1)内闭一致收敛；(2)fn(x)在a,b)fn(x)(x)在fn(x)在a,b上一致有界。证明函数列gn(x)a,b上一致收敛.6.证明函数列sinx在任何区间R,R上一致收敛，在(,)不一致收敛，但它的导n函数列在(,)一致收敛.7.设f1(x)在a,b上Riemann可积，fn1(x)在a,b上一

5、致收敛于08.判断函数列fn(x)bafn(x)dx(n 1,2,)，证明函数列fn(x)x在D (,)上是否一致收敛.1 n2x29.设 xa,b，数列un(x)单调递减收敛于 0；n 1，un(x)是a,b上单调函数。求证：(1)u(x)在a,b一致收敛。nnn110.判断下列函数项级数在所示区间D上的一致收敛性xn(1)D r,r(2)(n-1)!n1xnD 0,12nn1(1)nnxD (,)(3)2D(,)(4)52n1x nn11 n x(1)n1x2(5)D (,)(6)2n(1 x)n1xn1n(1 x)2，D 0,1x2x(7)ln1nln2nD 0,1(8)(1 x2)n1

6、D (,)n1n1(1)n(x n)n(9)D 0,1(10)n1nn1x(x n)nD r,r2nnn1(1)n(x2 n)(11)D a,b(12)2nn11D (0,)n1(x n)(x n 1)x2n(13)D 0,)和D 0,a(0 a 1)2n11 xn111.求证：(1)n0n(1 x)xn在0,1上绝对收敛且一致收敛，但并不绝对一致收敛.x2n12.证明：(1)在任何有限区间a,b上一致收敛，而在任何一点都不绝对收敛.2nn1n13.证明函数项级数n1nx(1)(en)n32nx2在区间a,b上一致收敛但不绝对收敛14.证明f(x)nen1在(0,)收敛，但非一致收敛，而和函数

7、在(0,)内无穷次可微.15.设f(x)nn11x，求证：f(x)在(1,)上存在任意阶导数.16.证明函数f(x)sinnx在(,)上连续，且有连续的导函数.3nn1，证明函数项级数12217.设un(x)3ln(1n x),n 1,2,nu(x)在区间0,1上一致收nn1敛，并讨论其和函数在0,1上的连续性、可积性与可微性.xcosnx18.设函数S(x)，证明S(x)在(,)上连续，并计算积分S(t)dt.0n1n n19.设f0(x)在a,b连续，fn(x)xafn1(t)dt(n 1)，证明fn(x)在a,b上一致收敛n1xsintdt(0 x 1)20求证t sintdt 01t0n0 xn121证明：x在(1,1)收敛，但不一致收敛，和函数S(x)在(1,1)连续。nn1n