八年级上册一次函数经典例题.pdf

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1、立仁教育立仁教育一次函数知识点总结及经典题目练习一次函数知识点总结及经典题目练习知识点知识点 1 1一次函数和正比例函数的概念一次函数和正比例函数的概念若两个变量 x，y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的形式，则称y 是 x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数.例如：y=2x+3，11y=-x+2，y=x 等都是一次函数，y=x，y=-x 都是正比例函数.22【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，b0）中的“一次”和一元

2、一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量 x 的次数为 1，一次项系数 k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当 b=0，k0 时，y=kx 仍是一次函数.（4）当 b=0，k=0 时，它不是一次函数.知识点知识点 2 2 函数的图象函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象 画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线知识点知识点 3 3 一次函数的图象一次函数的图象由于一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数 y=kx+b的图象也称为直线

3、y=kx+b由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与 y 轴的交点（0，b），直线与 x 轴的交点（-b，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点k（0，0），（1，k）即可.知识点知识点 4 4一次函数一次函数 y=kx+by=kx+b（k k，b b 为常数，k0）的性质为常数，k0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；k0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；kO 时，y 的值随 x 值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与 x 轴相交

4、的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置；当 b0 时，直线与 y 轴交于正半轴上；当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴上；当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图 1118（l）所示，当 k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；如图 1118（2）所示，当 k0，bO 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图 1118（3）所示，当 kO，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图

5、1118（4）所示，当 kO，bO 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）（5）由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线 y=x1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平移一个单位得到的知识点知识点 5 5正比例函数正比例函数 y=kxy=kx（k0）的性质（k0）的性质（1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点；（2）当 k0 时，图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大；（3）当 k0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小知识点知识点 6 6

6、点点 P P（x x0 0，y y0 0）与直线）与直线 y=kx+by=kx+b 的图象的关系的图象的关系（1）如果点 P（x0，y0）在直线 y=kx+b 的图象上，那么 x0,y0的值必满足解析式 y=kx+b；（2）如果 x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以 x0，y0为坐标的点 P（1，2）必在函数的图象上例如：点 P（1，2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时，y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l的图象上；点P（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2 时，y=3，所以点P（2，1）不在直线 y=x+l 的图象上知识点知识点 7 7确定正比例函数及一次函数表

7、达式的条件确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数 y=kx（k0）中只有一个待定系数 k，故只需一个条件（如一对 x，y 的值或一个点）就可求得 k 的值（2）由于一次函数 y=kx+b（k0）中有两个待定系数 k，b，需要两个独立的条件确定两个关于 k，b 的方程，求得 k，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对 x，y的值知识点知识点 8 8 待定系数法待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如：函数 y=kx+b 中，k，b 就是待定系数知识点知识

8、点 9 9 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为 y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式解：设一次函数的关系式为 ykx+b（k0），由题意可知，1 2k b,3 k b,4k,3解5b .345此函数的关系式为 y=x33【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式 y=kx+b，其中 k，b 是未知的常量，且 k0）；第二步，

9、代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数 k，b）；第三步，求（把求得的 k，b 的值代回到“设”的关系式 y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结思想方法小结（1）函数方法函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题（2）数形结合法数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用知识规律小结（1）常数 k，b 对直线 y=kx+

10、b(k0）位置的影响当 b0 时，直线与 y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b0 时，直线与 y 轴的负半轴相交当 k，b 异号时，即-当 b=0 时，即-b0 时，直线与 x 轴正半轴相交；kb=0 时，直线经过原点；kb当 k，b 同号时，即-0 时，直线与 x 轴负半轴相交k当 kO，bO 时，图象经过第一、二、三象限；当 k0，b=0 时，图象经过第一、三象限；当 bO，bO 时，图象经过第一、三、四象限；当 kO，b0 时，图象经过第一、二、四象限；当 kO，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 bO，bO 时，图象经过第二、三、四象限（2）直线 y=kx+b（k

11、0）与直线 y=kx(k0)的位置关系直线 y=kx+b(k0)平行于直线 y=kx(k0)当 b0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线 y=kx+b；当 bO 时，把直线 y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线 y=kx+b（3）直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k10，k20）的位置关系k1k2y1与 y2相交；k k21；y1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b1）或（0，b2）b1b2k k2,1y1与 y2平行；b b21k k2,1y1与 y2重合.b1b2典例讲解典例讲解基本题基本题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它

12、们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件例 1 下列函数中，哪些是一次函数哪些是正比例函数12（1）y=-x；（2）y=-；（3）y=-3-5x；2x1（4）y=-5x2；（5）y=6x-（6）y=x(x-4)-x2.2基础应用题基础应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式例 3一根弹簧长 15cm，它所挂物体的质量不能超过 18kg，并且每挂 1kg 的物体，弹簧就伸长 05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度 y（cm）

13、与所挂物体的质量 x(kg）之间的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围，并判断 y 是否是 x 的一次函数学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约 600 千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为 58 千米时，则火车离库尔勒的距离 s（千米）与行驶时间 t（时）之间的函数关系式是 .例 5 已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7.（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）当 y=4 时，求 x 的值例 6若正比例函数 y=（1-2m）x 的图象经过点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2），当 x1x2时，y1y2，则 m 的取值范围是

14、（）AmO1Cm2Bm0DmM学生做一做某校办工厂现在的年产值是 15 万元，计划今后每年增加 2 万元（1）写出年产值 y（万元）与年数 x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求 5 年后的产值例 8求图象经过点（2，-1），且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式综合应用题综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题例 8已知 y+a 与 x+b（a，b 为是常数）成正比例（1）y 是 x 的一次函数吗请说明理由；（2）在什么条件下，y 是 x 的正比例函数例 9 某移

15、动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交 50 元月租费，然后每通话 1 分，再付电话费 04 元；“神州行”使用者不交月租费，每通话 1 分，付话费 06 元（均指市内通话）若 1 个月内通话 x 分，两种通讯方式的费用分别为 y1元和 y2元（1）写出 y1，y2与 x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同（3）某人预计一个月内使用话费 200 元，则选择哪种通讯方式较合算例 10已知 y+2 与 x 成正比例，且 x=-2 时，y=0（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当 x 取何值时，y0（4）若点（m，6）

16、在该函数的图象上，求 m的值；（5）设点 P 在 y 轴负半轴上，（2）中的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且 SABP=4，求P 点的坐标例 11已知一次函数 y=（3-k）x-2k2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）（3）k 为何值时，它的图象平行于直线 y=-x（4）k 为何值时，y 随 x 的增大而减小例 12判断三点 A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上探索与创新题探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用例 13老师讲完“一次函数

17、”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x 从 0 开始逐渐增大时，y=2x+8 和 y=6x 哪一个的函数值先达到 30 这说明了什么（2）直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何甲生说：“y=6x 的函数值先达到 30，说明 y=6x 比 y=2x+8 的值增长得快”乙生说：“直线 y=-x 与 y=-x+6 是互相平行的”你认为这两个同学的说法正确吗例 14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠”乙旅行社说：“所有人按全票价的 6 折优惠”已知全票价为240 元（1）设学生人数为 x，甲旅行社的收费为 y甲元，乙旅行社的收费为

18、y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在 3000 千克以上（含 3000 千克）的有两种销售方案甲方案：每千克9 元，由基地送货上门；乙方案：每千克8 元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为 5000 元（1）分别写出该公司两种购买方案的付款 y（元）与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量 X 的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少并说明理由例 15 一次函数 y=kx+b 的自变量 x 的取值范围是-3x6，相应函数值

19、的取值范围是-5y-2，则这个函数的解析式为 .中考试题预测中考试题预测例 1 某地举办乒乓球比赛的费用 y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用 b（元），另一部分与参加比赛的人数 x（人）成正比例，当 x=20 时 y=160O；当 x=3O 时，y=200O（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）动果有50 名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元例 2已知一次函数 y=kx+b，当 x=-4 时，y 的值为 9；当 x=2 时，y 的值为-3（1）求这个函数的解析式。（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象例 3如图 1127 所示，大

20、拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距某项研究表明，一般情况下人的身高 h 是指距 d 的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据指距 d/cm身高 h/cm20160211692217823187（1）求出 h 与 d 之间的函数关系式；（不要求写出自变量 d 的取值范围）（2）某人身高为 196cm，一般情况下他的指距应是多少例 4汽车由重庆驶往相距 400 千米的成都，如果汽车的平均速度是 100 千米时，那么汽车距成都的路程 s（千米）与行驶时间 t（时）的函数关系用图象（如图1128 所示）表示应为（）例 5已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过点（2，-5）.请

21、你写出一个同时满足（1）和（2）的函数关系式：例 6人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关如果用 a 表示一个人的年龄，用b 表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，另么 b=08（220-a）（1）正常情况下，在运动时一个 16 岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少（2）一个 50 岁的人运动 10 秒时心跳的次数为 20 次，他有危险吗例 7某市的 A 县和 B 县春季育苗，急需化肥分别为 90 吨和 60 吨，该市的 C 县和 D县分别储存化肥 100 吨和 50 吨，全部调配给 A 县和 B 县已知 C，D 两县运化肥到 A，B两县的运费（元吨）如下表所示（1）设

22、 C 县运到 A 县的化肥为 x 吨，求总运费 W（元）与 x（吨）的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案例 8 20XX 年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图 1129 是某水库的蓄水量 V（万米2）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题（1）该水库原蓄水量为多少万米2持续干旱 10 天后水库蓄水量为多少万米3（2）若水库存的蓄水量小于 400 万米3时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸例 9图 1130 表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 y（千米）随时间 x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇（2）这次比赛全程是多少千米（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇例 10如图 1131 所示，已知直线 y=x+3 的图象与 x 轴、y轴交于 A，B 两点，直线l经过原点，与线段 AB 交于点 C，把AOB的面积分为 2：1 的两部分，求直线l的解析式