《重修中值定理》PPT课件.ppt

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1、第三章第三章中值定理与导数的中值定理与导数的应用应用一一、中值定理、中值定理几何解释几何解释:注意注意:1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立其结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,(3)若若f(a)=f(b)=0,则则a,b为为f(x)的两个零点。的两个零点。结论：可导函数的两个零点之间至少有一个导结论：可导函数的两个零点之间至少有一个导函数的一个零点函数的一个零点2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理几何解释几何解释:拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量

2、与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.注：注：1拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式推论推论2个重要结论个重要结论3、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理几何解释几何解释:二二典型题型典型题型解解1.验证定理的正确性验证定理的正确性这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.2根（零点）的判别根（零点）的判别1f(x)=x(x-1)(x-2)，不解方程，问，不解方程，问f (x)有几个有几个零点，位于哪个区间。零点，位于哪个区间。解解：显显然然f(x)处处处处可可导导，f（0）=f（1）=f（2），由罗尔定理知，由罗尔定理知，而而f (x)是二次

3、多项式，仅有两个根，所以是二次多项式，仅有两个根，所以f (x)有有且仅有两个零点，分别位于区间（且仅有两个零点，分别位于区间（0，1）、（）、（1，2）内。内。（1）分析：分析：存在存在（0，a）使（）使（1）成立）成立证明：证明：令令由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在（0，a），使），使3中值等式的证明中值等式的证明小结：用罗尔定理证明微分中值等式的一般方法小结：用罗尔定理证明微分中值等式的一般方法（1）将欲证等式写成将欲证等式写成g()=0的形式的形式（2）观观察察分分析析能能否否将将g()或或g()h()(h()应应是是一一非非零因子零因子)看成某函数看成某函数F(x)在在x=点的导数点

4、的导数.（3）检检验验辅辅助助函函数数F(x)在在所所论论区区间间上上是是否否满满足足罗尔定理的条件，如满足则定理得证。罗尔定理的条件，如满足则定理得证。常用辅助函数：常用辅助函数：xkf(x)，exf(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(xx0)k f(x)，（3）在在a,b上上连连续续,在在(a,b)内内可可导导，由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理得得即即设设f(x)在在a,b上上连连续续，在在(a,b)内内可可导导,证证明明证明证明（4）证证分析分析:结论可变形为结论可变形为4证明恒等式证明恒等式（1 1）证证5不等式的证明不等式的证明（1 1）证证由上式得由上式得二二洛必达法

5、则洛必达法则1、洛必达法则洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.2洛必达法则洛必达法则II3洛必达法则中的条件是充分而非必要的洛必达法则中的条件是充分而非必要的.例例1 1解解例例2 2解解二二例子例子所以当所以当x 0时时,(1+x)1 x(为实数）为实数）特别地特别地例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解注注:可以先化简并且极限不为可以先化简并且极限不为0的因子的极限可以先求出的因子的极限可以先求出.另解另解注意：洛必达法则是求未定式的一种有效

6、方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例例6 6解解例例7设设f(x)二阶可导，求二阶可导，求解解：由：由f(x)二阶可导，知二阶可导，知f(x)连续，连续，但不可再用洛必达法则，但不可再用洛必达法则，是否存在无法判断。是否存在无法判断。下一步应利用二阶导数定义下一步应利用二阶导数定义：例例1 1解解关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型.步骤步骤:例例2例例1 1解解步骤步骤:解：原式解：原式=解：解：步骤步骤:例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解

7、一、总结一、总结1三个中值定理及应用三个中值定理及应用罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理二、练习题二、练习题1、求极限、求极限1、3、解法一：解法一：原极限原极限解法二：先求解法二：先求:原极限原极限2对函数对函数f(x)=x2+2，F(x)=x31在在1,2上验上验证柯西定理的正确性。证柯西定理的正确性。解解：易知：易知f(x)、F(x)在在1,2上连续上连续,(1,2)内可内可导，导，这样就验证了柯西定理的正确性。这样就验证了柯西定理的正确性。满足柯西中值定理的条件。满足柯西中值定理的条件。在在(1，2)内不为零，内不为零，4中值等式的证明中值等式的证明证明证明(3)设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，内可导，证明：存在一点证明：存在一点,(a,b)使使证证在在a，b上由拉格朗日中值定理得上由拉格朗日中值定理得在在a，b上由柯西中值定理得上由柯西中值定理得由由(1),(2)得得