《计算方法讲》PPT课件.ppt

《《计算方法讲》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《计算方法讲》PPT课件.ppt（27页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二讲 数值计算中的精确度分析v误差来源与误差估计问题v算法的数值稳定性v病态问题和条件数1误差及有关概念误差及有关概念1.1误差的来源误差的来源在在科科学学计计算算的的各各个个环环节节都都会会产产生生误误差差，按按其其来来源不同，误差可做以下分类。源不同，误差可做以下分类。v模型误差模型误差v观测误差观测误差v截断误差截断误差或方法误差或方法误差v舍入误差舍入误差真实值与我们所获得的值之间的差异就是真实值与我们所获得的值之间的差异就是误差误差。对实际问题的研究需要建立数学模型，这带来对实际问题的研究需要建立数学模型，这带来模型误差模型误差。求解数学问题时需要若干参量和初始值，这些求解数学问题

2、时需要若干参量和初始值，这些数据往往通过对实际问题的观测得到，由于观测数据往往通过对实际问题的观测得到，由于观测引起的误差称为引起的误差称为观测误差观测误差（数据误差、模型参量数据误差、模型参量误差误差）。）。求解数学问题时，由于算法而引起的误差称为求解数学问题时，由于算法而引起的误差称为方法误差方法误差（截断误差截断误差）。）。计算机计算时只能对有限位数进行计算，超过计算机计算时只能对有限位数进行计算，超过的进行舍入，由此引起的误差称为的进行舍入，由此引起的误差称为舍入误差舍入误差（计计算误差算误差）。）。实际问题数学问题可计算问题数学建模构造算法计算求解计算结果（模型误差）（方法误差）（舍

3、入误差、输入数据误差）1.2绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差设设x为真正值，为真正值，为近似值，称：为近似值，称：为近似值的为近似值的绝对误差绝对误差（简称（简称误差误差）通通常常我我们们要要求求绝绝对对误误差差不不能能超超过过某某个个值值，称称为为绝对误差限绝对误差限或或误差限误差限。设设x为真正值，为真正值，为近似值，称：为近似值，称：为为 的的相对误差相对误差。如果存在如果存在 r，使得，使得，称之为，称之为 相对误差限相对误差限。在实际计算中，相对误差限很小时，也取：在实际计算中，相对误差限很小时，也取：1.3有效位数与有效数字有效位数与有效数字如果如果 的误差限为的误差限为0.5

4、10-n，即，即则称其准确到小数后第则称其准确到小数后第n位，并称位，并称 的第一的第一个非零数字到第个非零数字到第n位的全部数字为位的全部数字为 的有的有效数字。效数字。问若写成标准表示，问若写成标准表示，m，n，k的关系是什么？的关系是什么？例如，若 x=3.1415926535，则准确到小数后4位，具有5位有效数字。显然，近似值的绝对误差越小，其准确到小数后的位数越多。注意，若 x=0.200001，则作为 x 的近似只有1位有效数字，而作为 x 的近似具有4位有效数字。具有 k 位有效数字，则易知若这说明近似值的相对误差越小，其有效数字越多。1.4数据误差的影响数据误差的影响对两个数对

5、两个数x1和和x2，简单计算可得：，简单计算可得：可见，当可见，当x1和和x2同号时，同号时，反之，当反之，当x1和和x2异号时，尤其异号时，尤其v这这表表明明，大大小小接接近近的的异异号号数数相相加加或或大大小小接接近近的同号数相减，会严重损失有效数字！的同号数相减，会严重损失有效数字！v乘乘数数绝绝对对值值很很大大，或或除除数数接接近近零零时时，可可能能会会严重扩大绝对误差，减少精度！严重扩大绝对误差，减少精度！v开方会减少相对误差，提高精度。开方会减少相对误差，提高精度。一般地，设数学问题的解为一般地，设数学问题的解为 ,近似解为：近似解为：则绝对误差为：则绝对误差为：相对误差为：相对误

6、差为：和和 起起对对误误差差的的放放大大和和缩缩小小作作用用，其其绝绝对对值值分分别别称称为为所所求求解解的的数数学学问问题题的的绝绝对对误误差差下下的的条条件件数数和和相相对对误误差差下下的的条条件件数数。条条件件数数很很大大时时称称该该问问题题为为病病态态问问题题或或坏坏条条件件问问题题，它它是是问问题题固固有有的的属属性性，与与算算法法无无关关。但但由由于于这这类类问问题题数数据据的的微微小小变变化化会会引引起起解解的的剧剧烈烈变变化化，对对于于这这类类问问题题的的计计算算，一一般般要要采采用用高高精精度度计计算算，或或改变问题的提法，降低条件数。改变问题的提法，降低条件数。1.5舍入误

7、差的影响舍入误差的影响v在在计计算算机机中中，用用浮浮点点法法表表示示的的数数（称称为为浮浮点点数数）的的尾尾数数，位位数数是是固固定定的的，称称为为字字长长。设设计计算算机机字字长长为为t，任任意意数数x十十进进制制是是按按舍舍入入原原则则表表为为浮浮点数点数v绝对误差：绝对误差：v则相对误差的绝对值则相对误差的绝对值记记称称 为计算机的相对精度。我们有：为计算机的相对精度。我们有：则对于多数相加则对于多数相加相对误差相对误差 类似地有类似地有 在在 大体相同情况下，如大体相同情况下，如则则 于是可得，多数相加时，一般先加绝于是可得，多数相加时，一般先加绝对值较小的数，相对误差较小！对值较小

8、的数，相对误差较小！通通常常称称舍舍入入误误差差对对计计算算结结果果影影响响不不大大的的算算法为法为稳定的算法稳定的算法，反之为，反之为不稳定的算法不稳定的算法。计算数学的特点：计算数学的特点：1、面向计算机（构造计算机能用的算法）；面向计算机（构造计算机能用的算法）；2、要有可靠的理论分析（指误差、算法的收要有可靠的理论分析（指误差、算法的收敛性、稳定性等）；敛性、稳定性等）；3、要有好的计算复杂性（指算法省时、节省要有好的计算复杂性（指算法省时、节省内存）；内存）；4、要有数值试验要有数值试验 (检验算法及程序的正确性检验算法及程序的正确性)避免误差危害的若干原则：避免误差危害的若干原则：

9、1、避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。（危害：导致舍入误差增大）除法。（危害：导致舍入误差增大）2、避免相近两数相减。（危害：引起有效数避免相近两数相减。（危害：引起有效数字的严重损失）字的严重损失）3、防止大数吃掉小数。防止大数吃掉小数。4、简化计算步骤，减少运算次数。（可以节简化计算步骤，减少运算次数。（可以节省计算机计算时间，更可以减少舍入误差）省计算机计算时间，更可以减少舍入误差）例例1：求方程：求方程 根根，如如z10系系数数 210略略有有误误差差，为为 210.000000119，则则根根20变变为为20.847，19和和18变变为为1

10、9.502 1.94i.例例2：求解微分方程：求解微分方程v某某些些问问题题的的计计算算中中，由由于于数数据据的的微微小小变变化化引引起起解解的的剧剧烈烈变变化化，称称这这类类问问题题为为病病态态问问题题和和坏坏条条件件问问题题。对对于于这这类类问问题题的的计计算算，一一定定要要采用采用高精度计算高精度计算。但但对对于于非非病病态态的的良良态态问问题题，如如算算法法不不当当，由由于于计计算算机机的的近近似似性性，有有时时也也可可能能得得到到不不可可靠靠的的结果。结果。例例3：如在尾数为：如在尾数为4位的计算机上计算位的计算机上计算其其真真正正值值为为0.05572809，但但计计算算结结果果为

11、为：0.0560，但但如如果果先先进进行行有有理理化化在在计计算算，结结果果为为：0.05574，显显然然，后一种计算精度高。后一种计算精度高。例例4：如在尾数为：如在尾数为4位的计算机上计算位的计算机上计算精精确确值值为为34.5612，计计算算时时如如先先加加前前两两项项，再再加加后后一一项项，结结果果为为34.57，如如先先加加后后两两项项，再再加加前前一一项项，结结果果为为34.56，显然，后一种算法更好。，显然，后一种算法更好。例例5：如在尾数为：如在尾数为4位的计算机上计算位的计算机上计算按两种不同递推计算，结果为：按两种不同递推计算，结果为：第一种算法第一种算法第二种算法第二种算

12、法真正值真正值I00.63210.63200.6321I10.36800.36790.3679I60.04000.12690.1268I70.72000.11240.1124由由此此可可见见，舍舍入入误误差差对对计计算算有有影影响响，影影响响小小的的算算法法称称为为数值稳定数值稳定的算法。的算法。有些算法具有递推性，称之为有些算法具有递推性，称之为迭代法或逐次逼近法迭代法或逐次逼近法。再再计计算算一一些些复复杂杂的的函函数数的的值值，有有时时我我们们用用一一些些简简单单的的函函数数（如如多多项项式式、有有理理函函数数等等）来来近近似似之之，这这称称为为函函数数逼逼近近。有有时时要要求求逼逼近近函函数数与与被被逼逼近近函函数数之之间间在在某某些些点点函函数数值值及及若若干干阶阶导导数数值值相相等等，这这种种逼逼近近称称为为插插值值；有有时时要要求求在在逼逼近近区区间间上上的的最最大大误误差差取取极极小小，这这称称为为最最佳佳一一致致逼逼近近；或或在在某某些些点点的的误误差差值值平平方方和和取极小，这称为取极小，这称为最佳平方逼近最佳平方逼近。