湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数ppt课件.pptx

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1、正弦和余弦4.14.1第第4章锐角三角函数章锐角三角函数【学习目标】1了解正弦的概念，知道特殊角30的正弦值2通过具体实例，分析、比较后知道“当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也固定”的事实3通过实际动手，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力和学生独立思考、勇于创新的精神【学习重点】理解正弦的概念与意义【学习难点】正弦的概念。情境导入扬水站的图片修建一个扬水站，在选择扬水泵时，必须知道扬水站(点A)与水平面(BC)的高度(AC)斜坡与水平面所成的角(B)可以用测角器测出来，水管的长度(AB)也能直接量得提问：你能求出它的高度(AC)吗？知识模块一知识模块一 正弦的概念正弦的

2、概念如图，（1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中A=A=65，C=C=90.ACBBCA6565小明量出A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出：小亮量出A的对边BC=2cm，斜边AB=2.2cm，算出：这个猜测是真的吗？若把65角换成任意一个锐角，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？由此猜测：在有一个锐角为65的所有直角三角形中，65角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于如图，如图，ABCABC和和DEFDEF都是直角三角形，其中都是直角三角形，其中A A=D D=.=.C C=F F=90=90，则，则成立吗？为什么？成立吗？为什么？探究A=D=，C=F=90

3、，DEF.RtABC Rt即 这说明，在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.如图，在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比叫作角的正弦，记作sin ，即结论根据“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到 sin30=(1)在有一个锐角为的所有直角三角形中，角的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关(2)在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫作角的正弦，记作sin，即sin (3)sin30 (4)如图，在直角三角形ABC中，C90，sinA ，sinB 归纳知识模块二知识模块二 正弦概念的应用正弦概念的应用

4、例1 如图，在RtABC中，C=90，BC=3，AB=5.（1）求sinA的值（2）求sinB的值BCA解：（1）A的对边BC=3，斜边AB=5.于是（2）B的对边AC，根据勾股定理，得 AC=AB-BC=5-3=16 于是 AC=4 因此如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值.2.解：如图，设点A（3，0），连接P A.A在APO中，由勾股定理得因此如图所示，构造一个RtABC，使C=90，A=45.于是 B=45.从而 AC=BC根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是 AB=BC.因此如何求sin 45的值？

5、动脑筋如图所示，构造一个RtABC，使B=60，则A=30，从而 .根据勾股定理得 AC2=AB2-BC2=AB2-于是因此如何求sin 60的值？动脑筋 例如求50角的正弦值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为0.7660 至此，我们已经知道了三个特殊角（至此，我们已经知道了三个特殊角（3030，4545，6060）的正弦值，而对于一般锐角的正弦值，而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算的正弦值，我们可以利用计算器来求器来求.如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知 sin=0.7071，依次按键 ，显示结果为44.999，表示角 约等于45.在 RtABC 中

6、，C=90，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ck，AC=ch.在 RtABC 中，C=90，sinA=k，sinB=h，BC=a，则AB=AC=归纳做一做利用计算器计算：（1）sin40_（精确到0.0001）；（2）sin1530_（精确到0.0001）；（3）若sin=0.5225，则_（精确到0.1）；（4）若sin=0.8090，则_（精确到0.1）.0.64280.267231.554.01.1.用计算器求下列锐角的正弦值（精确到用计算器求下列锐角的正弦值（精确到0.00010.0001）：）：（1 1）3535；（2 2）65366536；（3 3）8054.8054

7、.解解:（1 1）sin35=0.5736sin35=0.5736；（2 2）sin6536=0.9107sin6536=0.9107；（3 3）sin8054=0.9874sin8054=0.9874；练习2.2.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角（精确到（精确到0.10.1）：）：（1 1）sin=0.8071sin=0.8071；（2 2）sin=0.8660.sin=0.8660.练习解：（1）53.8；（2）60.0。在 ABC 中，C=90，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长解：设BC=7x，则AB=25x，在 RtABC中，由勾股

8、定理得即 24x=24cm，解得 x=1 cm.故 BC=7x=7 cm，AB=25x=25 cm.所以 ABC 的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).如下图所示，如下图所示，ABCABC和和DEFDEF都是直角三角形，都是直角三角形，其中其中A=A=D=D=，C=C=F=F=9090，则，则成立吗？为什么？成立吗？为什么？A=D=，C=F=90，B=E.从而 sinB=sinE因此探究1、如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值随堂练习2、在RtABC中，C90，A30，AB6，求AC.正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦值求边长A的对

9、边斜边sin A=课堂小结4.1.24.1.2余弦的概念和余弦值余弦的概念和余弦值的求法的求法【学习目标】1了解余弦的概念，能根据特殊角(30、45、60角)的正、余弦值说出对应的锐角度数及其应用2掌握互余两锐角的正弦值与余弦值的关系3会用计算器求任意锐角的余弦值会由任意锐角的余弦值求对应的锐角【学习重点】余弦的概念和特殊角的余弦值【学习难点】互余两锐角的正弦值与余弦值的关系。情境导入通过正弦概念的学习，我们知道：直角三角形的锐角固通过正弦概念的学习，我们知道：直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个常数我们可以猜定时，它的对边与斜边的比值是一个常数我们可以猜想它的邻边与斜边的比值也

10、是一个常数那么，你能设想它的邻边与斜边的比值也是一个常数那么，你能设计一个方案来证明我们的猜想是否正确吗？计一个方案来证明我们的猜想是否正确吗？归纳(1)在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角的邻边与斜边的比值是一个常数；(2)在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫作角的余弦，记作cos，即cos ；(3)对于任意锐角，有cossin(90)，sincos(90)(4)如图所示，在RtABC中，C90，A、B、C所对边分别为a、b、c，则cosA ，cosB 知识模块一知识模块一 余弦的概念余弦的概念 通过前面的学习，我们已经知道了三个特殊角（30，45，60）的余弦值，而对于一般锐角 的余弦

11、值，仍可以利用计算器来求.如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如已知cos=0.8661，依次按键显示结果为29.9914，表示角约等于30.例如求50角的余弦值，可以在计算器上依次按键cos 50 ,显示结果为0.64627知识模块二知识模块二 特殊角（特殊角（30 30 、45 45 、6060角）角）的余弦值的应用的余弦值的应用归纳：(2)把cos30、cos45、cos60按从大到小的顺序排列cos30cos45cos60.(3)你发现有什么规律吗？解：对于任意锐角，都有0cos tantan4545 tantan3030.(3)(3)你发现有什么规律吗？你发现有什

12、么规律吗？对于任意锐角对于任意锐角，都有，都有tantan00；任意锐角任意锐角的正切值随角度的变大而相应变大的正切值随角度的变大而相应变大2 2锐角锐角的正弦、余弦和正切统称为角的正弦、余弦和正切统称为角的的锐角三角函数锐角三角函数例例2 2计算：计算：(1)(1)sinsin3030coscos3030tantan6060.(2)(2)coscos60603 3tantan3030tantan60602 2sinsin2 24545.典例精析知识模块三知识模块三 用计算器计算任意锐角的正切值用计算器计算任意锐角的正切值说一说说一说tan45的值的值tan45=13030、4545、6060

13、的三角函数值：的三角函数值：303045456060sinsincoscostantan1 1归 纳 对于一般锐角对于一般锐角（3030，4545，6060除外）的正切除外）的正切值，我们也可用计算器来求。值，我们也可用计算器来求。归 纳例如求例如求2525角的正切值，可以在计算器上依次按键角的正切值，可以在计算器上依次按键“tantan”“2525”，显示结果为，显示结果为0.46630.4663例如已知例如已知tan=0.8391tan=0.8391，依次按键，依次按键“2ndf2ndf”“”“tantan”“0.83910.8391”,显示结果为显示结果为40.00040.000，表示角

14、，表示角约等于约等于4040。如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角。锐角。4040。1 1用计算器求锐角的正切值（精确到用计算器求锐角的正切值（精确到0.00010.0001）：）：2 2已知正切值，用计算器求相应的锐角已知正切值，用计算器求相应的锐角 （精确到（精确到11）（）（）tan21tan21 15 15（）（）tan89 27tan89 27（）（）tan5 49tan5 490.38890.3889104.1709104.17090.10190.1019（1 1）tantan1.28681.2868，则，则=（2 2

15、）tantan =108.5729=108.5729，则，则=52 952 989 2889 28做一做例例3 3(1)(1)用计算器求用计算器求tantan5858的值的值(精确到精确到0.0001)0.0001)解：依次输入：解：依次输入：“tantan”、“58”“58”，显示结果为，显示结果为1.6003.1.6003.tantan58581.6003.1.6003.(2)(2)已知已知tantan1.28681.2868，求，求的值的值(精确到分精确到分)解：依次输入：解：依次输入：“2“2ndfndf”(或或“SHIFTSHIFT”)、“tantan”、“1.2868”“1.286

16、8”，显示结果为，显示结果为52529 9.从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角，都有唯一确定的比值，都有唯一确定的比值sinsin（或（或cos cos，tan tan）与它）与它对应。并且我们还知道，当锐角对应。并且我们还知道，当锐角变化时，它的比值变化时，它的比值sin sin（cos cos，tan tan ）也随之变化。因此，我们把锐角）也随之变化。因此，我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为角的正弦、余弦和正切统称为角的锐角三角函数。的锐角三角函数。定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题:w1.sinA,cosA,tan

17、A1.sinA,cosA,tanA是在是在直角三角形中定义直角三角形中定义的的,AA是锐角是锐角(注意数形结合注意数形结合,构造直角三角形构造直角三角形).).w2.sinA,cosA,tanA2.sinA,cosA,tanA是一个是一个完整的符号完整的符号,分别表示分别表示A A的正的正弦弦,余弦余弦,正切正切(习惯省去习惯省去“”“”号号).).w3.sinA,cosA,tanA 3.sinA,cosA,tanA 是是一个比值一个比值.注意比的顺序注意比的顺序.且且sinA,cosA,tanAsinA,cosA,tanA均均0,0,无单位无单位.w4.sinA,cosA,tanA4.sin

18、A,cosA,tanA的大小的大小只与只与A A的大小有关的大小有关,而与直角而与直角三角形的边长无关三角形的边长无关.w5.5.角相等角相等,则其则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等相等,则这两个则这两个锐角相等锐角相等.1 1在在Rt Rt ABCABC 中，中，C C=90 90，ACAC=7=7，BC=BC=5 5求求 tantanA A，tantanB B的值的值2 2在在Rt Rt ABCABC 中，中，C C=90 90，ACAC=2=2，AB=AB=3 3求求 tantanA A，tantanB B 的值的值 B BC CA A7 75

19、5B BC CA A3 32 2答案：答案：答案：答案：练一练已知已知 ABC ABC 中的中的 A A 与与 B B 满足满足 (1(1tanA)tanA)2 2|sinB|sinB|0 0，试判断，试判断 ABC ABC 的形状的形状解：解：(1tanA)2|sinB|0，tanA1，sinBA45，B60，C180456075，ABC是锐角三角形是锐角三角形小结正切正切定定 义义A越大，越大，tanA越大越大,梯子越陡梯子越陡与与梯梯子子倾倾斜斜程程度度的的关关系系4.3 4.3 解直角三角形解直角三角形A AB BC C【学习目标】【学习目标】1 1理解解直角三角形的概念及直角三角形中

20、五个元素之理解解直角三角形的概念及直角三角形中五个元素之间的关系间的关系2 2会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形锐角三角函数解直角三角形3 3渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力问题的能力【学习重点】【学习重点】会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形角三角函数解直角三角形【学习难点】【学习难点】渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问渗透数形结合的数学思想，逐步

21、培养分析问题、解决问题的能力。题的能力。直直角角三三角角形形两锐角关系两锐角关系三边关系三边关系互余互余勾股定理勾股定理边角关系边角关系a ab bc cB B 30303030角所对的直角角所对的直角角所对的直角角所对的直角边等于斜边的一半；边等于斜边的一半；边等于斜边的一半；边等于斜边的一半；锐角三角函数锐角三角函数锐角三角函数锐角三角函数 议论一下情境导入1 1在在RtRtABCABC中，中，C C9090，A A，B B，C C的对边分的对边分别记作别记作a a，b b，c.c.(1)(1)RtRtABCABC的三边之间有什么关系？的三边之间有什么关系？a a2 2b b2 2c c2

22、 2(勾股定理勾股定理)(2)(2)RtRtABCABC的锐角之间有什么关系？的锐角之间有什么关系？A ABB9090(3)(3)RtRtABCABC的边和锐角之间有什么关系？的边和锐角之间有什么关系？2 2根据下列每一组条件，画直角三角形你能画出多根据下列每一组条件，画直角三角形你能画出多少个不同的直角三角形？少个不同的直角三角形？然后与同伴所画图形进行交流比较：然后与同伴所画图形进行交流比较：(1)(1)斜边长为斜边长为4 4cmcm，一条直角边长为，一条直角边长为3 3cmcm；(1)(1)个个(2)(2)一个锐角一个锐角4040，它的邻边长为，它的邻边长为3 3cmcm；(1)(1)个

23、个(3)(3)一个锐角一个锐角4040，它的对边长为，它的对边长为3 3cmcm；(1)(1)个个(4)(4)一个锐角一个锐角4040，斜边长为，斜边长为3 3cmcm；(1)(1)个个(5)(5)一个锐角为一个锐角为4040，另一个锐角为，另一个锐角为5050.(.(无数无数)个个知识模块一知识模块一 解直角三角形的概念、解直角三角形的概念、已知一边及一锐角解直角三角形已知一边及一锐角解直角三角形已知已知2 2个角不行个角不行.已知已知2个元素，且至少个元素，且至少有有1个是边就可以了个是边就可以了在一个直角三角形中，除直角外有在一个直角三角形中，除直角外有5 5个元素（个元素（3 3条边、

24、条边、2 2个个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？素？在直角三角形中，除直角外有在直角三角形中，除直角外有5 5个元素（即个元素（即3 3条边、条边、2 2个锐个锐角），只要知道其中的角），只要知道其中的2 2个元素（至少有个元素（至少有1 1个是边），就个是边），就可以求出其余的可以求出其余的3 3个未知元素。个未知元素。例例1 1 如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，A=30A=30，a=5a=5，求，求B B，b b，c cBABCcab还可以用勾还可以用勾股定理求股定理求c。像这样，我们把在直角

25、三角形中利用已知元素求其余未像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作知元素的过程叫作解直角三角形解直角三角形2、在RtABC中，C90，A40，AB5.25，解这个三角形(长度精确到0.01)解：B90A904050.sinA ，BCABsinA5.25sin403.37.cosA ，ACABcosA5.25cos404.02.(1)(1)三边之间的关系三边之间的关系:a a 2 2b b 2 2c c 2 2（勾股定理）（勾股定理）;(2)(2)锐角之间的关系锐角之间的关系:A A B=B=90 90;(3)(3)边角之间的关系边角之间的关系:sinsinA Aa a

26、c ccoscosA AtantanA Aa ab bc c有三条边和三个角，其中有一个角为直角有三条边和三个角，其中有一个角为直角b bc ca ab b锐角三角函数锐角三角函数一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？回忆一下3030、4545、6060角的正弦值、余弦值和正切值如下表：角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数304560sin acos atan a对于对于sinsin与与tantan，角度越大，函数值也越大；，角度越大，函数值也越大；对于对于coscos，角度越大，函数值越小，角度越大，函数值越小.在直角三角形中，除

27、直角外，还有哪些元素在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素?这这5 5个元素之间有什么关系个元素之间有什么关系?知道其中哪些元素，可以求出其余的元素知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?思考探索在在RtABCRtABC中中,（1 1）根据）根据A A=60,=60,斜边斜边ABAB=30,=30,你能求出这三个角的其他元素吗？你能求出这三个角的其他元素吗？A A在直角三角形的六个元素中在直角三角形的六个元素中,除直角外除直角外,如果知道如果知道两两个个元素元素,就可以求出其余三个元素就可以求出其余三个元素.(其中至少有其中至少有一个是边一个是边),),你发现了什你发现了什么么?B BC CB

28、B ACAC BCBCA A B B ABAB一角一边一角一边两边两边 （2 2）根据）根据ACAC=，BCBC=,你能求出这个三角形的其他元素你能求出这个三角形的其他元素吗？吗？两角两角 （3 3）根）根A A=60,=60,B B=30,=30,你能求出这个三角形的其他元你能求出这个三角形的其他元素吗素吗?不能不能A AC CB Ba ab bc c二）解直角三角形二）解直角三角形 解直角三角形解直角三角形一）直角三角形五元素一）直角三角形五元素直角三角形五个元素：三边两锐角直角三角形五个元素：三边两锐角 在直角三角形中已知两个元素在直角三角形中已知两个元素（其中至少有一个是边）（其中至少

29、有一个是边）,求出其余未知元素的过程求出其余未知元素的过程三）解直角三角形的三）解直角三角形的依据依据感受新知三边之间的关系三边之间的关系:a a 2 2b b 2 2c c 2 2（勾股定理）（勾股定理）锐角之间的关系锐角之间的关系:A A B B 9090 边角之间的关系（锐角三角函数）边角之间的关系（锐角三角函数）:tan tan A Aa ab bsinsinA Aa ac ccoscosA Ab bc c 解直角三角形解直角三角形三）解直角三角形的依据三）解直角三角形的依据A AC CB Ba ab bc c感受新知例例例例1 1：解直角三角形：解直角三角形：解直角三角形：解直角三角

30、形温馨点悟：温馨点悟：温馨点悟：温馨点悟：利用利用利用利用“勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理”；“两锐角余两锐角余两锐角余两锐角余”；“锐角三角函数锐角三角函数锐角三角函数锐角三角函数”关系关系关系关系是解题的关键是解题的关键是解题的关键是解题的关键闯关题：第一级闯关题：第一级 例例1.在在RtABC中，中，C=90，B=60,b=.解这个直角三角形解这个直角三角形.b=CBAac典例解析例例1：在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，C C=90=90，B B=60,=60,b b=.=.解这个直角三角形解这个直角三角形解这个直角三角形解这个直角三角形.C CB BA A解：解：解：解：

31、在在在在RtRt ABCABC中，中，中，中，设设a=x，c=2x 由勾股定理得：由勾股定理得：c=8=8，a=4=4即：即：c c=8=8方方方方 法法法法 一一一一解：解：B=60,b=A=30,c=2a比较这两种比较这两种比较这两种比较这两种方法哪个方方法哪个方方法哪个方方法哪个方法更简单？法更简单？法更简单？法更简单？方方方方 法法法法 二二二二即即:解：解：又又又又 A=30=30 例题分析例例2 2：构造直角三：构造直角三角形角形闯关题：第二级闯关题：第二级例例2 2：已知：已知：ABCABC中，中，A A=105=105，C C=45=45，BC BC=8=8，求，求ACAC和和

32、ABAB的长的长.评析评析 在解在解斜三角形斜三角形、等腰三角形等腰三角形、梯形梯形等一些等一些图形的问题时，可以图形的问题时，可以适当地添加辅助线构造直角适当地添加辅助线构造直角三角形三角形，然后利用解直角三角形，使问题得以解，然后利用解直角三角形，使问题得以解决决.设未知数得到相关的方程，是解本题的一个设未知数得到相关的方程，是解本题的一个关键步骤关键步骤.A AB BC CD D范例解析规规规规 范范范范 解解解解 题题题题 解：解：解：解：过点过点过点过点B B作作作作BDBD ACAC.例例例例2 2：已知：已知：已知：已知：ABCABC中，中，中，中，CC=105=105，AA=4

33、5=45，BCBC=2 =2 ，求，求，求，求ACAC的长的长的长的长.B BC CA AD D 在在在在RtRt ABDABD中，中，中，中，A A =ABD=ABD=45 45 在在在在RtRt ABDABD中，中，中，中，AA=45,=45,则则则则 ABDABD=45=45.CBD=CBD=ABCABC-ABDABD CBD=CBD=60 60 sinCBDCBD=即即即即CDCDBCBC AC=AD+CDAC=AD+CD =例题分析解直角三角形的思考方法是：解直角三角形的思考方法是：有斜有斜（斜边）用（斜边）用弦弦（正、余弦），（正、余弦），无斜无斜用用切（切（正切）；正切）；宁乘勿

34、除宁乘勿除，尽量采用原始数据，以图辅助，尽量采用原始数据，以图辅助，启迪思维启迪思维.意思：意思：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；无斜边时，就用正切或余切；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则取原始数既可由已知数据又可用中间数据求得时，则取原始数据，避免用中间数据据，避免用中间数据.如图，在RtABC 中，C=90，cosA=，BC=5，试求AB的长.ACB解：解：设设随堂练习ACB AB的长为的长为1.在在RtABC中，中，C=90，sinA=，BC=6，则，则AB的值为的值为()A4B6C8D10D2.如图，在菱形

35、如图，在菱形ABCD中，中，AEBC于点于点E，EC=4，sinB，则菱形的周长是，则菱形的周长是()A10B20C40D28C图图提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.在在ABC中，中，AB=，AC=13，cosB=，求，求BC的长的长.解：解：cosB=，B=45，当当ABC为钝角三角形时，如图为钝角三角形时，如图，AC=13，由勾股定理得由勾股定理得CD=5BC=BD-CD=12-5=7；图图当当ABC为锐角三角形时，如图为锐角三角形时，如图，BC=BD+CD=12+5=17.BC的长为的长为7或或17.方法与技巧：方法与技巧：构造直角三角形的两种

36、常见三角形构造直角三角形的两种常见三角形:(1)(1)直接过顶点作底边上的高；直接过顶点作底边上的高；(2)(2)过顶点作底边延长线上的高过顶点作底边延长线上的高 .A A A AA A A AB B B BB B B BC C C CC C C CD D D DD D D D解直角解直角三角形三角形AB90a2+b2=c2三角函数三角函数关系式关系式 归纳小结归纳小结解直角三角形：解直角三角形：解直角三角形：解直角三角形：由已知元素求未知元素的过由已知元素求未知元素的过由已知元素求未知元素的过由已知元素求未知元素的过程程程程直角三角形中，直角三角形中，直角三角形中，直角三角形中，ABA的对边

37、的对边aCA的邻边的邻边b斜边斜边c4.3 4.3 解直角三角形解直角三角形A AB BC C【学习目标】【学习目标】1 1理解解直角三角形的概念及直角三角形中五个元素之间的理解解直角三角形的概念及直角三角形中五个元素之间的关系关系2 2会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形三角函数解直角三角形3 3渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力的能力【学习重点】【学习重点】会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三会综合运用勾股定理、直角三角

38、形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形角函数解直角三角形【学习难点】【学习难点】渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力。能力。ACBcba(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2+b2=_；(2)锐角之间的关系：锐角之间的关系：A+B=_；(3)边角之间的关系：边角之间的关系：sinA=_，cosA=_，tanA=_.如图，在如图，在RtABC中，共有六个元素（三条边，三中，共有六个元素（三条边，三个角），个角），其中其中C=90.c290情境导入已知两边解直角三角形已知两边解直角三角形在图中的在图中的RtABC中，中，

39、(1)根据根据A75，斜边，斜边AB6，你能求出这个直，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？角三角形的其他元素吗？ABC675(2)根据根据AC2.4，斜边，斜边AB6，你能求出这个直角三，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？角形的其他元素吗？ABC62.4 在直角三角形中，除直角外有在直角三角形中，除直角外有5个元素（即个元素（即3条条边、边、2个锐角），只要知道其中的个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的个是边），就可以求出其余的3个未知元素个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作

40、素的过程，叫作解直角三角形解直角三角形.ABC解：解：例例1如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，AC=，解这个直角三角形，解这个直角三角形.典例精析在在RtABC中，中，C90，a=30，b=20，根据条件，根据条件解直角三角形解直角三角形.解：根据勾股定理解：根据勾股定理ABCb=20a=30c练 习已知一边及一锐角解直角三角形已知一边及一锐角解直角三角形例例2如图，在如图，在RtABC中，中，C90，B35，b=20，解这个直角三角形，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位结果保留小数点后一位).ABCb20ca35解：解：1.在在RtABC中，中，C90，B72，c=14.根据条

41、件解直角三角形根据条件解直角三角形.ABCbac=14解：解：练 习2.如图，已知如图，已知AC=4，求，求AB和和BC的长的长提示：提示：作作CDAB于点于点D，根据三角函数的定义，在，根据三角函数的定义，在RtACD，RtCDB中，即可求出中，即可求出CD，AD，BD的长，从而求解的长，从而求解在在RtCDB中，中，DCB=ACBACD=45，D解：如图，作解：如图，作CDAB于点于点D，在在RtACD中，中，A=30，ACD=90-A=60，BD=CD=2.已知一锐角三角函数值解直角三角形已知一锐角三角函数值解直角三角形例例3如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，cosA=，BC=

42、5，试求试求AB的长的长.ACB解：解：设设ACB AB的长为的长为1.在在RtABC中，中，C=90，sinA=，BC=6，则，则AB的值为的值为()A4B6C8D10D2.如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，AEBC于点于点E，EC=4，sinB，则菱形的周长是，则菱形的周长是()A10B20C40D28C练 习图图提示：提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论题目中没有给出图形，注意分类讨论.例例4在在ABC中，中，AB=，AC=13，cosB=，求，求BC的长的长.解：解：cosB=，B=45，当当ABC为钝角三角形时，如图为钝角三角形时，如图，AC=13，由勾股定理得由勾股定理得C

43、D=5BC=BD-CD=12-5=7；图图当当ABC为锐角三角形时，如图为锐角三角形时，如图，BC=BD+CD=12+5=17.BC的长为的长为7或或17.C2.如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，B=30，AB=8，则，则BC的长是的长是()D1.在在RTABC中，中，C=90，a，b，c分别是分别是A，B，C的对边，则下列各式正确的是的对边，则下列各式正确的是()A.b=atanAB.b=csinAC.b=ccosAD.a=ccosA当堂练习3.在在RTABC中，中，C=90，B=37，BC=32，则，则AC=(参考数据：参考数据：sin370.60，cos370.80，tan37

44、0.75).4.如图，已知如图，已知RtABC中，斜边中，斜边BC上的高上的高AD=3，cosB=，则，则AC的长为的长为.243.755.如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AC=6，BAC的平分线的平分线，解这个直角三角形，解这个直角三角形.解：解：AD平分平分BAC，DABC6解解：过点：过点A作作ADBC于于D.在在ACD中，中，C=45，AC=2，CD=AD=sinCAC=2sin45=.在在ABD中，中，B=30，BD=BC=CD+BD=6.如图，在如图，在ABC中，中，B=30，C=45，AC=2，求求BC.DABC解直角三角形解直角三角形依据依据解法：只要知道五个元素中的

45、两解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素可以求出余下的三个未知元素勾股定理勾股定理两锐角互余两锐角互余锐角的三角函数锐角的三角函数课堂小结4.4 解直角三角形的应用解直角三角形的应用在在Rt ABC中，中，C为直角，除直角为直角，除直角C 外，其余的外，其余的5个元素个元素（两角三边）之间有以下关系：（两角三边）之间有以下关系：三边之间的关系：三边之间的关系：锐角之间的关系：锐角之间的关系：边角之间的关系：边角之间的关系：ABCcba复习回顾解直角三角形的定义解直角三角形的定义:在直角三角形中，除直角外的在直角三角形中，除

46、直角外的5 5个元素（个元素（3 3条边和条边和2 2个锐角），只要知道其中的两个元素（至少一个锐角），只要知道其中的两个元素（至少一个是边），利用上述关系式，就可以求出其余的个是边），利用上述关系式，就可以求出其余的3 3个元素。个元素。引入新课ABCcab有斜用弦，无斜用切，多乘少除，取原避中，数形结合，切勿凭空。有斜用弦，无斜用切，多乘少除，取原避中，数形结合，切勿凭空。例题讲解例例2、如图，在离上海东方明珠塔底部如图，在离上海东方明珠塔底部1000米的米的A处，用仪器测得塔顶处，用仪器测得塔顶的仰角的仰角BAC为为25，仪器距地面高，仪器距地面高AE为为1.7m，求上海明珠塔的高度，求

47、上海明珠塔的高度BD(结果精确到结果精确到1m).解：解：ABCED25如图，在如图，在RtABC中，中，BAC25，AC1000m，因此，因此 tan25BCACBC1000从而从而 BC1000 x tan25466.3（m）因此，上海东方明珠塔的高度因此，上海东方明珠塔的高度BD=466.31.7=468（m）答：上海东方明珠塔的高度答：上海东方明珠塔的高度BD为为468m3010合作探究1、2、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯 角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.ABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角

48、分析：分析：我们知道，在视线与水平我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，是俯角，因此，在图中，a=30，=60.RtABD中，中，a=30，AD120，所以利用解直角三角形的，所以利用解直角三角形的知识求出知识求出BD的长度；类似地可的长度；类似地可以求出以求出CD的长度，进而求出的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度的长度，即求出这栋楼的高度.巩固练习解：如图，解：如图，a=30,=60，AD120答：这栋楼高约为答：这栋楼高约为277.1m.ABCD3、已知一直角三

49、角形的两边为、已知一直角三角形的两边为3和和4，求第三边的长。，求第三边的长。43ABC34ABC巩固练习解直角三角形直角三角形的边角关系解直角三角形知一边一锐角解直角三角形知两边解直角三角形添设辅助线解直角三角形归纳小结由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向城的正南方向240km的的B处，以每小时处，以每小时12km的速度向北偏东的速度向北偏东30方向移动，距沙尘暴方向移动，距沙尘暴中心中心150km的范围为受影响区域。的范围为受影响区

50、域。A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？解：过解：过A作作AC BM,垂足为垂足为C,在在Rt ABC中，中，B=30,AC=AB=x 240=120（km)1212 A城会受到沙尘暴影响。城会受到沙尘暴影响。BA东东北北MC拓展延伸A A、必做题、必做题 1、已知、已知 中，中，C=90,求求A的其它锐角的其它锐角三角函数值。三角函数值。3、如图，在、如图，在ABC中，已知中，已知AC=6，C=75，B=45，你，你能求出哪些结论。能求出哪些结论。75BC456、选做题、选做题课后作业4.4 4.4 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 1.1.概念