高中数学任意角的三角函数 优秀课件.ppt

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1、高中数学任意角的三角函数 课件第1页，本讲稿共36页1.复习引入我们已经学习过锐角的三角函数，如图：你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗?ABC第2页，本讲稿共36页设锐角设锐角的顶点与原点的顶点与原点O重合重合,始边与始边与x轴的正半轴的正半轴重合轴重合,那么它的终边在第一象限那么它的终边在第一象限.的终边上任意一点的终边上任意一点P的坐标为的坐标为(a,b),它与原点它与原点的距离是的距离是_过过P作作x轴的垂线轴的垂线,垂足为垂足为M,则则线段线段OM的长度为的长度为_线段线段MP的长度为的长度为_2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数MyxOP(

2、a,b)第3页，本讲稿共36页MyxOP(a,b)P(a,b)MA(1,0)xy1将点将点P取在使线段取在使线段OP的长的长r=1的特殊位置上的特殊位置上以原点 O为圆 心,以 单位 长 度 为半 径 的 圆称 为 单 位圆第4页，本讲稿共36页P(x,y)A(1,0)xy3.利用单位圆定义任意角的三角函数设设是一个任意角是一个任意角,它的终边与单位圆交于点它的终边与单位圆交于点P(x,y)(1)y叫做叫做的的正弦正弦,记作记作sin,即即 sin=y(2)x叫做叫做的的余弦余弦,记作记作cos,即即 cos=x(3)(3)叫做叫做正切正切,记作记作tan,即即第5页，本讲稿共36页4.三角函

3、数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数弧度制下弧度制下,角的集合与实数集角的集合与实数集R之间建立了之间建立了一一一对应一对应关系关系 三三角角函函数数可可以以看看成成自自变变量量为为实实数数的的函函数数第6页，本讲稿共36页yxBAO解:在直角坐标系中,作出5.典型例题练第7页，本讲稿共36页例例2 已知角已知角的终边经过点的终边经过点P0(-3,-4),求角求角的正的正弦、余弦和正切值弦、余弦和正切值解:设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点分别过点P、P0作作x轴的垂线轴的垂线MP、M0P0,则则yxOMM0P0(

4、-3,-4)P(x,y)第8页，本讲稿共36页第9页，本讲稿共36页知道知道终边上任意一点终边上任意一点P(x,y),就可以求出角就可以求出角的三角函数值的三角函数值.yxOMP(x,y)练第10页，本讲稿共36页6.三角函数的定义域三角函数定义域sincostanRR第11页，本讲稿共36页根据三角函数的定义,研究三角函数值在各个象限的符号-+-+yOxOxyOxy口诀：口诀：一全正一全正 二正弦二正弦 三正切三正切 四余弦四余弦第12页，本讲稿共36页例例3 3 求证求证:当且仅当下列不等式组成立时当且仅当下列不等式组成立时,角角为第三角限角为第三角限角证明证明:如果如果式都成立式都成立,

5、那么那么为第三象限为第三象限角角.若若sinsin000,那么那么角的终边可能位于第角的终边可能位于第一或第三象限一或第三象限.因为因为式都成立式都成立,所以所以角的终边只能位角的终边只能位于第三象限于第三象限.于是于是为第三象限角为第三象限角第13页，本讲稿共36页可以把求任意角的三角函数值可以把求任意角的三角函数值.转化为求转化为求0到到2(或或0至至360)角的三角函数值角的三角函数值.7.终边相同的角的同一种三角函数值相等终边相同的角的同一种三角函数值相等诱导公式一角角终边每绕终边每绕原点旋转一原点旋转一周周,函数值将函数值将重复出现重复出现第14页，本讲稿共36页例4 确定下列三角函

6、数值的符号,然后用计算器验证:解解:(1)因为因为250是第是第_象限角象限角,所以所以cos250 0 (2)因为因为 是第是第_象限角象限角,所以所以(3)因为因为tan(-670)=tan(48-2360)=tan48而而48是第一象限角是第一象限角,所以所以 tan(-672)0(4)因为因为tan3=tan(+2)=tan=0三三四四练第15页，本讲稿共36页例5 求下列三角函数值第16页，本讲稿共36页练习1.D第17页，本讲稿共36页练习2.B第18页，本讲稿共36页练习3.C第19页，本讲稿共36页yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的

7、终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()1.下面从图形角度认识一下三角函数角角的终边与单位圆的终边与单位圆交于点交于点P.过点过点P作作x轴轴的垂线的垂线,垂足为垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|第20页，本讲稿共36页思考(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|第21页，本讲稿共36页 当角当角的终边不在坐标轴上时的终边不在坐标轴上时,以以O为始点、为始点、M为终点为终点,规定规定:当线段当线段OM与与x轴轴同

8、向同向时时,OM的方向为的方向为正向正向,且有且有正值正值x;当线段当线段OM与与x轴轴反向反向时时,OM的方向为的方向为负向负向,且有且有负值负值x.OM=x=cos 当角当角的终边不在坐标轴上时的终边不在坐标轴上时,以以M为始点、为始点、P为终点为终点,规定规定:当线段当线段MP与与y轴轴同向同向时时,MP的方向为的方向为正向正向,且有且有正值正值y;当线段当线段MP与与y轴轴反向反向时时MP的方向为的方向为负向负向,且有且有负值负值y.MP=y=sin第22页，本讲稿共36页(2)你能借助单位圆你能借助单位圆,找到一条如找到一条如OM、MP一样一样的线段来表示角的线段来表示角的正切吗的正

9、切吗?思考第23页，本讲稿共36页TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点过点A(1,0)作单作单位圆的切线位圆的切线,设它设它与与的终边或其反的终边或其反向延长线相交于点向延长线相交于点T.第24页，本讲稿共36页这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角分别叫做角的的正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线,统称为统称为三角函数线三角函数线yxTM OP的的终边终边A(1,0)当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正

10、弦线、正切线正弦线、正切线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正切值正弦值和正切值都为都为0;当角当角的终边与的终边与y轴重合时轴重合时,余余弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在.第25页，本讲稿共36页例题例题求证：当为锐角时，第26页，本讲稿共36页1.1.任意角的三角函数的定义。任意角的三角函数的定义。2.2.明确各种三角函数的定义域。明确各种三角函数的定义域。3.3.掌握各种三角函数在不同象限的正负情况掌握各种三角函数在不同象限的正负情况.小结第27页，本讲稿共36页单位圆单位圆：圆心在原点，半径等于单位长

11、度单位长度的圆。三角函数线三角函数线：用有向线段的数量有向线段的数量来表示。OxyPMAT第28页，本讲稿共36页规律规律：三角函数线是：三角函数线是有向线段的数量有向线段的数量，要分清，要分清起点、终点起点、终点。1 1）凡含原点的线段，均以原点为起点；）凡含原点的线段，均以原点为起点；2 2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点为）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点为起点；起点；3 3）正切线）正切线ATAT：起点：起点A A一定是单位圆与轴的非负半一定是单位圆与轴的非负半轴的交点，终点轴的交点，终点T T为终边（或延长线）与过为终边（或延长线）与过A A的圆的圆的切线的交点的切线的交点第2

12、9页，本讲稿共36页练习利用三角函数的定义求 的三个三角函数值yxA(1,0)O解:如图 与单位圆的交点为返第31页，本讲稿共36页练习已知角已知角的终边过点的终边过点P(-12,5),P(-12,5),求角求角的三角的三角函数值函数值解解:返第32页，本讲稿共36页口答口答:设设是三角形的一个内角是三角形的一个内角,在在sin,cos,tan,tan(/2)那些可能取负值那些可能取负值?第33页，本讲稿共36页确定下列三角函数值的符号0练习返tan196o0第34页，本讲稿共36页填表:角090180270360角的弧度数sincostan第35页，本讲稿共36页A B C D反馈训练反馈训练（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）（3）若角的终边过点，且，（2）若，都有意义，则则第36页，本讲稿共36页