高中数学双曲线及其标准方程优秀课件.ppt

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1、高中数学双曲线及其标准方程第1页，本讲稿共26页双曲线的定义双曲线的定义把平面内与两个定把平面内与两个定点点F1、F2的距离的的距离的_等于常等于常数数(小于小于|F1F2|)的的点点的的轨轨迹叫做双曲迹叫做双曲线线，这这_叫做叫做双曲双曲线线的的焦点焦点，_叫做双曲叫做双曲线线的的焦焦距距试一试试一试：在在双曲线的定义中，必须要求双曲线的定义中，必须要求“常数小于常数小于|F1F2|”，那么，那么“常数等于常数等于|F1F2|”，“常数大于常数大于|F1F2|”或或“常数为常数为0”时，动时，动点点的轨迹是什么？的轨迹是什么？自学导引1差的差的绝对值绝对值两个定两个定点点两两焦点焦点间间的距

2、离的距离第2页，本讲稿共26页提示提示(1)若若“常数等于常数等于|F1F2|”时，此时动时，此时动点点的轨迹是以的轨迹是以F1，F2为端为端点点的两条射线的两条射线F1A，F2B(包括端包括端点点)，如图所示，如图所示(2)若若“常数大于常数大于|F1F2|”，此时动，此时动点点轨迹不存轨迹不存在在(3)若若“常数为常数为0”，此时动，此时动点点轨迹为线段轨迹为线段F1F2的垂直平分线的垂直平分线第3页，本讲稿共26页双曲线的标准方程双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_(a0，b0)_(a0，b0)焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的

3、关系c2_2a2b2第4页，本讲稿共26页提示提示如果如果x2项的系数是正的，那么项的系数是正的，那么焦点在焦点在x轴上轴上，如果，如果y2项的系项的系数是正的，那么数是正的，那么焦点在焦点在y轴上轴上对于双曲线，对于双曲线，a不一定大于不一定大于b，因此，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在焦点在哪一个坐标哪一个坐标轴上轴上第5页，本讲稿共26页对双曲线定义的理解对双曲线定义的理解(1)把定常数把定常数记为记为2a，当，当2a|F1F2|时时，其，其轨轨迹不存迹不存在在(2)距离的差要加距离的差要加绝对值绝对值，否，否则则只只为为双曲双曲线线的一支

4、若的一支若F1、F2表示双曲表示双曲线线的左、右的左、右焦点焦点，且，且点点P满满足足|PF1|PF2|2a，则则点点P在在右支右支上上；若；若点点P满满足足|PF2|PF1|2a，则则点点P在在左支左支上上名师点睛1第6页，本讲稿共26页(4)理解双曲理解双曲线线的定的定义义要要紧紧扣扣“到两定到两定点点距离之差的距离之差的绝对值绝对值为为定定值值且小于两定且小于两定点点的距离的距离”双曲线的标准方程双曲线的标准方程(1)只有当双曲只有当双曲线线的两的两焦点焦点F1、F2在在坐坐标标轴上轴上，并且，并且线线段段F1F2的垂直平分的垂直平分线线也是坐也是坐标标轴轴时时得到的方程才是双曲得到的方

5、程才是双曲线线的的标标准方程准方程(2)标标准方程中的两个参数准方程中的两个参数a和和b，确定了双曲，确定了双曲线线的形状和大的形状和大小，是双曲小，是双曲线线的定形条件，的定形条件，这这里里b2c2a2，与，与椭圆椭圆中中b2a2c2相区相区别别，且，且椭圆椭圆中中ab0，而双曲，而双曲线线中中a、b大小大小则则不不确定确定2第7页，本讲稿共26页(3)焦点焦点F1、F2的位置，是双曲的位置，是双曲线线定位的条件，它决定了双定位的条件，它决定了双曲曲线标线标准方程的准方程的类类型型“焦点焦点跟着正跟着正项项走走”，若，若x2项项的系数的系数为为正，正，则则焦点在焦点在x轴上轴上；若；若y2项

6、项的系数的系数为为正，那么正，那么焦点在焦点在y轴上轴上(4)用待定系数法求双曲用待定系数法求双曲线线的的标标准方程准方程时时，如不能确定，如不能确定焦点焦点的位置，可的位置，可设设双曲双曲线线的的标标准方程准方程为为Ax2By21(AB0)或或进进行分行分类讨论类讨论第8页，本讲稿共26页题型一求双曲线的标准方程【例1】第9页，本讲稿共26页第10页，本讲稿共26页第11页，本讲稿共26页第12页，本讲稿共26页规律方法规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其根据其焦点焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系

7、数法求出位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值的值若若焦点焦点位置不确定，可按位置不确定，可按焦点在焦点在x轴轴和和y轴上轴上两种情况讨论求解，此两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点点，可设其方程为，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过解方程组即可确定，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一，避免了讨论，实为一种好方法种好方法第13页，本讲稿共26页求适合下列条件的双曲求适合下列条件的双曲线线的的标标准方程：准方程：(1)a3，c4，焦点在焦点在x轴上轴上；(2)焦点焦点为为(0，6)，(0

8、，6)，经过经过点点A(5，6)解解(1)由由题设题设知，知，a3，c4，由由c2a2b2得，得，b2c2a242327.【变式1】第14页，本讲稿共26页(1)若双曲若双曲线线上上一一点点M到它的一个到它的一个焦点焦点的距的距离等于离等于16，求，求点点M到另一个到另一个焦点焦点的距离；的距离；(2)若若P是双曲是双曲线线左支左支上上的的点点，且，且|PF1|PF2|32，试试求求F1PF2的面的面积积题型二双曲线定义的应用【例2】思路探索思路探索(1)由双曲线的定义得由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a，则，则点点M到另一到另一焦点焦点的距离易得；的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理

9、即可求得面积结合已知条件及余弦定理即可求得面积第15页，本讲稿共26页(1)由双曲由双曲线线的定的定义义得得|MF1|MF2|2a6，又双曲，又双曲线线上上一一点点M到它的一个到它的一个焦点焦点的距离等于的距离等于16，假，假设设点点M到另一个到另一个焦点焦点的距离等于的距离等于x，则则|16x|6，解得，解得x10或或x22.故故点点M到另一个到另一个焦点焦点的距离的距离为为6 或或22.(2)将将|PF2|PF1|2a6，两，两边边平方得平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在在F1PF2中，由余弦定理得中

10、，由余弦定理得第16页，本讲稿共26页第17页，本讲稿共26页规律方法规律方法 (1)求双曲线求双曲线上上一一点点到某一到某一焦点焦点的距离时，若已知该的距离时，若已知该点点的的横、纵坐标，则根据两横、纵坐标，则根据两点点间距离公式可求结果；若已知该间距离公式可求结果；若已知该点点到另一到另一焦焦点点的距离，则根据的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行求解，注意对所求结果进行必要的验证必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca)(2)在在解决双曲线中与解决双曲线中与焦点焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义三角形有关的问题时，首先

11、要注意定义中的条件中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，理或三角形面积公式等知识进行运算，在在运算中要注意整体思想和一运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用些变形技巧的应用第18页，本讲稿共26页由定由定义义和余弦定理得和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以所以|PF1|PF2|64，【变式2】第19页，本讲稿共26页题型三与双曲线有关的轨迹问题【例3】第20页，本讲

12、稿共26页第21页，本讲稿共26页【题后反思题后反思】求解与双曲线有关的求解与双曲线有关的点点的轨迹问题，常见的方的轨迹问题，常见的方法有两种：法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，寻找几何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程得到双曲线的定义，从而得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的双曲线的焦点焦点所所在在的的坐标坐标轴轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支第22页，本讲稿共26页如如图图所示，已知定所示，已知定圆圆F1

13、：(x5)2y21，定，定圆圆F2：(x5)2y242，动动圆圆M与定与定圆圆F1，F2都外切，求都外切，求动圆圆动圆圆心心M的的轨轨迹方程迹方程解解圆圆F1：(x5)2y21，圆圆心心F1(5，0)，半径，半径r11；【变式3】圆圆F2：(x5)2y242，圆圆心心F2(5，0)，半径，半径r24.设动圆设动圆M的半径的半径为为R，则则有有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.第23页，本讲稿共26页第24页，本讲稿共26页 只考虑只考虑焦点在焦点在x轴上轴上，忽视了，忽视了焦点在焦点在y轴上轴上的情况的情况误区警示忽略双曲线焦点位置致误【示例】第25页，本讲稿共26页答案答案m|3m3第26页，本讲稿共26页