实验一计算复变函数极限微分积分留数泰勒级数展开式.pptx

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1、1、MATLAB求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式MATLAB实现内容第1页/共17页1、MATLAB求复变函数极限用函数limit求复变函数极限【Matlab源程序】syms z f=;limit(f,z,z0)返回极限结果例1求在z=0的极限 解syms z;f=z*exp(z)/(sin(z)limit(f,z,0)ans=1MATLAB基本命令第2页/共17页.例例2 设设 求.解【Matlab源程序】syms z f=sin(z)/z;limit(f,z,0)a

2、ns=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)第3页/共17页2、MATLAB求复变函数微分用函数diff求复变函数极限【Matlab源程序】syms z f=（）;diff(f,z)返回微分结果例3设解symszf=exp(z)/(1+z)*(sin(z);diff(f)ans=exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)2*cos(z)第4页/共17页3、MAT

3、LAB求复变函数积分(1)用函数int求解非闭合路径的积分.【Matlab源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b)返回积分结果例例 4 求积分解解 syms z x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int(z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：结果为：x1=-1/3*ix1=-1/3*ix2=-i/exp(i)x2=-i/exp(i)第5页/共17页(2)用函数int求解闭合路径的积分.例例5 计算积分的值解【Matlab源程序】symstzz=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)10/(z-1)/(z-3);inc=in

4、t(f*diff(z),t,0,2*pi)结果为inc=779/78125000*i*pi+237/312500000*pi若只输出6位有效数值，使用语句vpa(inc,6)结果为ans=.238258e-5+.313254e-4*i第6页/共17页4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的多项式用函数residue求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数【Matlab源程序】R,P,K=residue(B,A)返回留数，极点说明：向量B为f(z)的分子系数；向量A为f(z)的分母系数；向量R为留数；向量P为极点位置；

5、向量k为直接项:第7页/共17页解解 R,P,K=R,P,K=residueresidue(1,0,1,1,1)结果为：结果为：R=2R=2P=-1P=-1K=1 -1K=1 -1例例6 求函数在奇点处的留数例例7 计算积分的值，其中C C是正向圆周解先求被积函数的留数 R,P,K=residue(1,0,1,0,0,0,-1)结果为：第8页/共17页R=0.25000.2500-0.2500+0.0000i-0.2500-0.0000iP=-1.00001.00000.0000+1.0000i0.0000-1.0000iK=可见在圆周内有四个极点,所以积分值等于S=2*pi*i*sum(R)

6、S=2*pi*i*sum(R)结果为S=0S=0故原积分第9页/共17页（2 2）如果已知函数奇点z0z0的重数为m,m,则可用下面的MATLABMATLAB语句求出相应的留数R=limit(F*(z-z0),z,z0)%R=limit(F*(z-z0),z,z0)%单奇点R=limit(diff(F*(z-z0)m,z,m-1)R=limit(diff(F*(z-z0)m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0)%m/prod(1:m-1);z,z0)%m重奇点例例8 求函数在孤立奇点处的留数第10页/共17页解解 分析原函数可知分析原函数可知：是三重奇点，symszf=sin(z+

7、pi/3)*exp(-2*z)/(z3*(z-1)R=limit(diff(f*z3,z,2)/prod(1:2),z,0)结果为：R=-1/4*3(1/2)+1/2;limit(f*(z-1),z,1)ans=1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3(1/2)MATLAB语句分别求出这两个奇点的留数是单奇点，因此可以直接使 用下面的第11页/共17页5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式（1）用函数taylor求f(z)泰勒级数展开式【Matlab源程序】symszf=Taylor(f,z0)返回f(z)在点z0泰勒级数展开式例9求函数f=1/(z-

8、b)在点z=a泰勒级数展开式前4项symszab;f=1/(z-b);taylor(f,z,a,4)ans=1/(a-b)-1/(a-b)2*(z-a)+1/(a-b)3*(z-a)2-1/(a-b)4*(z-a)3第12页/共17页（2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数展开式.【Matlab源程序】symsxy;f=();F=maple(mtaylor,f,x,y,m)返回在(0,0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(mtaylor,f,x=x0,y=y0,m)返回在(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(mtaylor,f,x=a,m)

9、返回对单变量在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.第13页/共17页 例例10 求函数求函数在原点(0(0，0)0)，以及（1 1，a a）点处的TaylorTaylor展式【Matlab源程序】symsxy;f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);maple(mtaylor,f,x,y,4)在(0,0)点处的泰勒级数展开式：ans=-2*x+x2+2*x3+2*y*x2+2*y2*x 第14页/共17页maple(mtaylor,f,x=a,2)在x=a处泰勒级数展开式：ans=(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(

10、-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a)maple(mtaylor,f,x=1,y=a,2)在(1,a)点处的泰勒级数展开式：ans=-exp(-1-a-a2)-exp(-1-a-a2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a2)*(-2*a-1)*(y-a)第15页/共17页课本上例题每一类型各选一题，写出实验报告作业：P51:习题二，2.1，2.3P76:习题三，3.8（1），（2）。3.11（2）P91:例4.8（前4项），例4.9（前4项）。P132:5.2P132:5.7（2），5.8（2）。第16页/共17页感谢您的观看！第17页/共17页