土壤水动力学基本方程.pptx

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1、2.1 2.1 土壤水流概述土壤水流概述2.1.1 2.1.1 毛细管中的毛细管中的层流层流运动运动单位面积切应力Poiseuill(普氏）定律：取流股流股圆柱面压力为作用流股侧面积的切应力为负号出现是由于 随 的增长而减少。液体质点作有条不紊的线性运动，彼此互不混杂。图2-1 圆管中的层流运动第1页/共78页2.1 2.1 土壤水流概述土壤水流概述2.1.1 2.1.1 毛细管中的层流运动毛细管中的层流运动由此积分得积分常数 ：求得得在 处，单位时段通过细管的流量通过细管的平均流速细管形状参数压力梯度第2页/共78页2.1 2.1 土壤水流概述土壤水流概述2.1.2 2.1.2 土壤水流简化

2、模型土壤水流简化模型为什么需要简化模型简化平均“流速”实际流量横截面面积通量（L/T)：水流并不是在整个横截面 上进行；真实水流通道大于表观长度。压力势或基质势与实际土壤孔隙中的势能相等。第3页/共78页2.2 2.2 饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 饱和流：水分充满土壤孔隙的水流。2.2.1 Darcy 定律通量 ：1-1和2-2之间产生一个力Darcy研究：引进一个比例常数 ，称作土壤导水率（soilwaterconductivity)水力传导度第4页/共78页2.2.2 Darcy 2.2.2 Darcy 定律的适用范围定律的适用范围Darcy定律只适应土壤水流为层流的

3、情况。水流的两种流动形态对颗粒极细的土壤，如粘土，水流表现出非Newton流(Bingham流)性质。屈服点临界梯度实际上，Darcy定律在绝大多数情况下可应用于土壤水流计算，只是在粗砂或粘质土壤情况下要注意Darcy定律的限定。2.2 2.2 饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 第5页/共78页2.2.3 2.2.3 导水率导水率导水率 综合反映了多孔介质和流体的某些物理性质。（1）计算导水率 的公式（2）实验室测定实验室测定仪器的基本原理与Darcy原始实验装置大致类似，只是多采用自下而上的水流。定水头法：Why?2.2 2.2 饱和土壤水动的达西定律饱和土壤水动的达西定律

4、第6页/共78页2.2 2.2 饱和土壤水运动饱和土壤水运动 的达西定律的达西定律 2.2.3 2.2.3 导水率导水率（2）实验室测定变水头法：示意图 时刻立管水柱深 ，时刻为 ，时刻为 。通量土柱底部土柱顶部第7页/共78页2.22.2饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 2.2.3 2.2.3 导水率导水率（2）实验室测定变水头法：整理得：积分得：变更立管水深，可求得一系列 ，在误差范围内求其平均值。无论定水头法还是变水头法必须考虑土样的代表性。第8页/共78页2.2.3 2.2.3 导水率导水率（3）田间现场测定双环法：入渗量(cm3)测定时段内环横截面积双环法一般只能测定

5、地表土壤导水率，用其他仪器，如Guelph仪可测其他深度土壤的导水率。导水率大致范围6cm/d 很小 616cm/d低1640cm/d中40100cm/d高100cm/d很高外环的作用？2.22.2饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 第9页/共78页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 绝大多数田间和植物根区的土壤水流过程都处在非饱和状态。非饱和流研究为土壤物理学最活跃的研究领域之一。2.3.1 非饱和流与饱和流的比较（1）土壤水流驱动力不同（2）导水率的差别（3）土壤孔隙对饱和水流和非饱和水流影响的差别第10页/共78页非饱和流与饱和流的比较：共同之

6、处：都服从热力学第二定律，都是从水势高的地方向水势低的地方运动。不同之处：土壤水流的驱动力不同。饱和流的驱动力是重力势和压力势；非饱和流的是重力势和基质势。导水率差异非饱和导水率远低于饱和导水率；当基质势从0降低到-100kpa时，导水率可降低几个数量级，只相当于饱和导水率的十万分之一。土壤空隙的影响土壤。在高吸力下，粘土的非饱和导水率比砂土高。第11页/共78页饱和流与非饱和流（1）饱和流：土壤空隙全部充满水时的流动。v发生情形：1.大量持续降水和稻田淹灌时，垂直向下；2.地下泉水涌出，垂直向上；3.平原水库库底周围，水平方向。推动力：重力势梯度和压力势梯度v影响因素：soil textur

7、e and structure第12页/共78页饱和流与非饱和流（2）非饱和流：土壤空隙未全部充满水时的流动。v发生情形：大多数情况v推动力：基模势梯度和重力势梯度第13页/共78页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.2 Buckingham-Darcy2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律通量定律Buckingham对Darcy定律描述土壤非饱和流提出修正的两个基本假设：土壤非饱和流驱动力是基质势与重力势之和的梯度；非饱和土壤水流的导水率是土壤含水量或基质势的函数。以水势头为单位，Buckingham-Darcy通量定律可写成：符号相同,向

8、上为正难点第14页/共78页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.2 Buckingham-Darcy2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律通量定律Buckingham-Darcy通量定律也可写成：问题：两种写法是否会影响计算结果？基质势 是土壤深度 和时间 的函数，所以用偏微分 表示：偏微分方程用以对非稳态流的数学描述，如是稳态流，上式变为常微分方程。符号相反,向下为正第15页/共78页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达在饱和含水量附近，砂质土壤的

9、导水率高于粘质土壤。随着吸力的发展，砂质土壤大孔隙排空，流径增加，由此其导水率低于粘质土壤。几个非饱和导水率经验公式：第16页/共78页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达毛细管模型将土壤概化为一束不同数量和尺寸的毛细管，并假定毛管束的特征曲线与所代表的实际土壤的特征曲线相同。以下几方面与实际土壤不同：毛细管有相同长度；水流边界与实际土壤不同；毛细管半径完全控制着水膜厚度；水流是稳态的。每根毛细管都是连通的；第17页/共78页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.3

10、2.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达由普氏定律：半径为 毛细管的流量模型的毛细管长度，实际土壤表观长度为 ，。通过模型的总流量毛管束中半径为 的毛管数量。毛管束中不同尺寸毛细管的数量。通过毛管束的通量 ，毛管中半径为 的毛细管单位面积的数量。第18页/共78页用于计算非饱和导水率的毛细管模型2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达如图，将实际土壤水特征曲线 分成等宽为 的若干份。于是有假定：当 时，的毛管都排空。毛管半径由确定。如假定毛管横截面面积 ，则单位长度毛管排水量为：如此，代入毛

11、管通量计算式第19页/共78页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达设为弯曲度。第20页/共78页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达含水量为 ，最大半径为 的毛管排空。对一般情况又例题2.1第21页/共78页 一个重要概念：通量不随时间变化的土壤水流称做稳态流，或恒定流；通量随时间变化的土壤水流称作非稳态流，或非恒定流，或瞬态流。讨论：如Darcy实验示意图。当土壤水流达到稳态水流后，哪些土壤水运动要素不随时

12、间发生变化？水位在这种情况下，土壤水流是否能达到稳态流？2.3.4 稳定状态下的非饱和流问题2.3非饱和土壤水运动的达西定律 第22页/共78页2.3.4稳定状态下的非饱和流问题非饱和流在大多数情况下都处在非稳定状态，只有在一些理想条件下才可近似将非饱和流看作稳态流。当基质势差 在土柱两端（）保持不变，则土柱水流最终达到稳态。Buckingham-Darcy定律可写成：Buckingham-Darcy通量定律 为常微分，因为只取决于 ，而与 无关。2.3非饱和土壤水运动的达西定律 第23页/共78页（1）Darcy定律的积分形式当2.3非饱和土壤水运动的达西定律 第24页/共78页（2）地下水

13、稳定时的土壤蒸发虽然田间水分蒸发不是一个稳态过程，但稳定的地下水位向裸地土壤表面蒸发，在一段时间，大气蒸发条件相对稳定，可近似看作稳态蒸发。例题2.2（3）稳态向下的土壤水流向下的稳态水流在田间几乎不会出现，但在某些情况下，如频繁灌水或降雨，可近似地将向下的田间水流看作向下运动的稳态流问题。例题2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律 第25页/共78页（3）稳态向下的土壤水流对任何通量，当地下水位不太浅时，接近地表的基质势趋于常数。重要结论：当水流以常量下渗时，趋于0，水流只在重力梯度下运动。可得：（4）非饱和导水率的稳态实验室测定例题2.42.3非饱和土壤水运动的达西定律 第26页/共78页

14、2.3.52.3.5测定非饱和导水率的瞬时剖面法实验室测定：如图，土柱进水底面为参照面，向上为正。2.3非饱和土壤水运动的达西定律 第27页/共78页2.3.5测定非饱和导水率的瞬时剖面法在每次测定间隔 确定情况下：实际是图中两条曲线的面积。由供水的Mariotte瓶刻度读出2.3非饱和土壤水运动的达西定律 第28页/共78页2.3.5测定非饱和导水率的瞬时剖面法田间测定：田间测定一般不会有实验室测定那样的通过Mariotte瓶测得的，因此计算水流通量的公式写成更一般形式。式中，为测定点的编号，即张力计（或TDR）埋设根数。瞬时剖面法测定关键是要事先确定一个截面的通量，可通过地表辅膜或零通量面

15、法确定。由 确定 ，在得到足够数据后，可选线型拟合。与毛管模型法比较2.3非饱和土壤水运动的达西定律 第29页/共78页2.4 2.4 非饱和土壤水运动的基本方程非饱和土壤水运动的基本方程如图，取一块长，宽，高为 微小土体。根据物质守恒原理。对一维垂直流：在 时段进入土体的水量=在 时段离开土体的水量+在 时段储存在土体中水容量的增量+在 时段由植物根系吸收而失去的水量2.4.1质量守恒与基本方程的推导第30页/共78页2.4.12.4.1质量守恒与基本方程的推导质量守恒与基本方程的推导进入土体的水容量=离开土体的水容量=储存在土体中水容量的增量=土体中由植物吸收的水容量=源汇项第31页/共7

16、8页2.4.12.4.1质量守恒与基本方程的推导质量守恒与基本方程的推导由物质守恒原理可得：两边同除以2.4 非饱和土壤水运动的基本方程第32页/共78页2.4.12.4.1质量守恒与基本方程的推导质量守恒与基本方程的推导当有：对更一般的三维情况，有：分别是方向三个单位矢量。当土体中无植物根系存在，。以上推导两个基本假设：水是不可压缩的；土壤基质在水流过程中保持不变。2.4 非饱和土壤水运动的基本方程第33页/共78页2.4.22.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式（1 1）以含水率为因变量的基本方程（2 2）以基质势h h为因变量的基本方程（3 3）RichardsRichards方

17、程的柱坐标形式2.4 非饱和土壤水运动的基本方程第34页/共78页2.4.2基本方程的各种形式(1)Richards方程的含水量形式（方程）Darcy定律的变量形式：可以直接写成 的函数：由微分变换比水容量代入连续性方程：第35页/共78页 方程，又称扩散型方程。上式是一个二阶非线性偏微分方程。非线性是指所求函数 又是 和 的变量。注意：土壤水运动不是扩散运动，的引入只是一种数学处理方式。扩散运动的驱动力是浓度梯度，而土壤水运动的驱动力是土水势梯度。扩散型方程的优点是，与 相比，的变化范围要小得多；其缺点是扩散型方程只能用在均质土壤剖面上。Why?(1)Richards方程的含水量形式（方程）

18、2.4.2基本方程的各种形式第36页/共78页(2)Richards方程的基质势形式（方程）由导数性质，有：也是比水容量，代入连续性方程：上式称作Richards方程的基质势形式，又称方程。也是一个二阶非线性偏微分方程。从理论上讲，可以用在非均质土壤剖面的水流问题。无论 方程还是 方程，一般都忽略土壤水的滞后作用。2.4.2基本方程的各种形式第37页/共78页(3)Richards方程的柱坐标形式如图，以 为垂直轴的Darcy定律可表示为：基本假设：水是不可压缩的；土壤基质在水流过程中不变形；土壤是各向同性的（isotropic）。2.4.2基本方程的各种形式第38页/共78页 方向：在 时段

19、，流入流出的水量差：在 时段，流入单元体的水量：入流面积流出水量：出流面积(3)Richards方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式第39页/共78页 方向：时段流入水量：入流面积流出水量：出流面积在 时段，流入流出的水量差：方向：在 时段，流入流出的水量差：面积(3)Richards方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式第40页/共78页在 时段流入和流出单元体总的水量差：单元体体积为：略去高阶无穷小量后为：单元体内水分增量为：由物质守恒原理，得连续性方程：(3)Richards方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式第41页/共78页将柱坐标系Darcy定律代入连续性方程

20、，得：柱坐标Richards方程常写成：(3)Richards方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式第42页/共78页同样，柱坐标下的Richards方程也可写出 方程和 方程：方程：方程：对 在 方向无变化，同时具有轴对称特点，方程可以简化为：或 例题2.5(3)Richards方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式第43页/共78页2.4.3土壤水运动方程的定解条件基本方程定解问题初始条件定解条件边界条件(1)初始条件（initialcondition）表示所研究问题的初始状态：梁昆淼，数学物理方法，人民教育出版社，1979对于方程：对于方程：用角标“0”表示初始已知量第44页

21、/共78页(2)边界条件（boundaryconditions）边界条件一般分为三种：一、二、三类边界。一类边界条件(Dirichlet)：变量已知边界对于方程：对于方程：用角标“1”表示第一类边界上的值。在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生：(1)压力入渗（地表有薄层积水）；(2)强烈蒸发（表土达到风干含水率）。第45页/共78页 二类边界条件(Neumann)：水流通量已知边界对于方程：对于方程：用角标“”表示第二类边界。在一维垂向土壤水分运动中，二类边界的情况发生：(1)降雨、灌水入渗、蒸发强度已知的边界；(2)不透水边界和无蒸发入渗的边界，此时=0。第46页/共78页 三类边界

22、条件(Cauchy)：水流通量随边界上的变量或 而变化的情况。对于方程：用角标“”表示第三类边界。通式：其中，fVariable(,)对于方程：第47页/共78页1.试推导垂直一维土壤水流的基本方程，并写出如右图所示情况AB剖面土壤水分运移的定解问题。（地表入渗强度为q(t)，B点地下水位保持不变，AB剖面土壤均质）。B Azq(t)第2章作业第48页/共78页2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量通量法法=简化为积分得=对上式积分得 确定某一断面处的通量，主要应用达西定律，其方法有零通量法，表面通量法和定位通量法，统称为土壤水分运动通量法。定义第49页/共78页零通量

23、面（ZFP-ZeroFluxPlane）在土壤较为潮湿情况下，剖面上部由于蒸发水分向上运动；而剖面下部水分在重力作用下向下运动。在水分向上和向下运动交接处，必然会出现零通量面。由Darcy定律：ZFP如图，ZFP处切线斜率垂直于 轴，即 ZFP是一个复杂问题，有许多这方面的研究。例题2.62.5土壤水运动其它求解方法-通量法第50页/共78页2.5.12.5.1零通量面与零通量法零通量面与零通量法2.5土壤水运动其它求解方法-通量法零通量面的类型单一聚合型零通量面(该情况下土壤水分由上下两侧向零通量面迁移)单一发散型零通量面(该情况下土壤水分由零通量面向上下两侧迁移)具有多个零通量面(发生在间

24、隔降雨，入渗和蒸发交替出现的情况下)第51页/共78页2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量通量法法2.5.1零通量面与零通量法(a)单一聚合型(b)单一发散型(c)多零通量面第52页/共78页零通量面位置不变时水势与含水率的分布=即图中abcd的面积。当含水率减少时，0，表示通量向上，土壤水分蒸发；反之，0，表示通量向下，水分向下层土壤入渗。2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量通量法法2.5.1零通量面与零通量法第53页/共78页 即图中ade的面积。当土壤含水量减少时，表示通量向下，即潜水接受补给；反之，0，表示通量向上，意味着蒸发时潜水有

25、消耗。2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量通量法法2.5.1零通量面与零通量法第54页/共78页2.5.2.1表面通量法 表面通量法是以地表处的入渗量或蒸发量作为已知条件的。2.5.2.2定位通量法2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量通量法法2.5.2表面通量法第55页/共78页2.6 2.6 土壤中溶质运移的基本方土壤中溶质运移的基本方程程 土壤中的溶质处在一个物理，化学和生物的相互联系和连续变化的系统中。本节侧重分析溶质运移的物理作用，并认为溶质运移主要是通过对流和水动力弥散两种作用实现的。第56页/共78页2.6土壤中溶质运移的基本方程

26、2.6.1 土壤溶质的形成形式土壤溶质的形成形式 严格而言，自然界中的土壤水分都是以溶液形式存在的。以溶液中的溶质为考察对象，考察某一深度土体土壤溶质的形成形式：进入溶液的溶质：1.以降水，灌溉和径流形式从土壤表层进入土壤；2.原先在土壤颗粒上的物质会被土壤溶液所溶解或解吸附而进入土壤溶液；3.土壤空气中的一些物质也会进入土壤溶液。离开溶液的溶质：1.溶质会从研究土体的下界面离开研究土体；2.溶液中一部分溶质会沉降到土壤颗粒上，也可能被土壤颗粒吸附而脱离土壤溶液；3.一些溶质挥发脱离土壤溶液而进入土壤空气中。还有一个重要形成过程是溶液中的溶质与周围环境中的某些物质或自身发生各种化学或生物反应，

27、使土壤溶液中的溶质增加或减少。第57页/共78页2.6土壤中溶质运移的基本方程2.6.2 溶质质量守恒公式溶质质量守恒公式取一个六面单元土体，单元体的体积，从时刻到时刻，有：在 时段进入单元体的溶质质量=在 时段离开单元体溶质的质量+在 时段单元体储存的溶质质量的增加+在时段 单元体由于化学、生物反应或植物吸收从单元 体消失的溶质如果我们假设溶质只在 方向流动，则上式四项可写成：第58页/共78页2.6土壤中溶质运移的基本方程总的溶质通量（单位时间单位面积流过的溶质质量）总的溶质浓度（单位容积土壤的溶质质量）单位容积的溶质的反应速率（单位时间单位土壤容积溶质的损失）上式除以 ，整理可得：取，得

28、上式称作一维溶质守恒方程。第59页/共78页2.6.3溶质运移的对流和水动力弥散2.6 2.6 土壤中溶质运移的基本方土壤中溶质运移的基本方程程2.6.3.1溶质的对流运移 对流是指在土壤水分运动的过程中，同时携带着溶质运移。单位时间内通过土壤单位横截面积的溶质质量称为溶质通量，溶质的对流通量记为 。单位体积土壤水溶液中所含有的溶质质量，称为溶质的浓度，记为 。第60页/共78页2.6.1溶质运移的对流和水动力弥散2.6.3.2溶质的分子扩散溶质的分子扩散是由于分子的不规则热运动引起的，其趋势是溶质由浓度高处向浓度低处运移，以求最后浓度的均匀。自由水中溶质的分子扩散通量符合Fick第一定律，即

29、在土壤中，溶质的分子扩散规律同样符合Fick第一定律,第61页/共78页若将土壤孔隙设想为均匀的圆形毛管，半径为 ，管轴线与土水势梯度方向一致，此时，管内半径为的任一点的流速 可表示为2.6.1溶质运移的对流和水动力弥散2.6.3.3溶质的机械弥散及水动力弥散以上两式即为Poiseuille方程 第62页/共78页由于土壤颗粒和孔隙在微观尺度上的不均匀性，溶液在流动过程中，溶质不断被分细后进入更为纤细的通道，每个细孔中流每个细孔中流速的方向和大小都不一样速的方向和大小都不一样，正是这种原因使溶质在流动过程中逐渐分散并占有越来越大的渗流区域范围。溶质的这种运移现象称为机械弥散。2.6.1溶质运移

30、的对流和水动力弥散2.6.3.3溶质的机械弥散及水动力弥散第63页/共78页由机械弥散引起的溶质通量可写成类似的表达式:分子扩散和机械弥散的机理是不同的，但上式与 的表达相似，而且一般都同时存在，实际上难以区分，因此，将分子扩散与机械弥散结合，称为水动力弥散。水动力弥散所引起的溶质通量可表示为:2.6.1溶质运移的对流和水动力弥散2.6.3.3溶质的机械弥散及水动力弥散第64页/共78页2.6.4溶质运移的基本方程 2.6 2.6 土壤中溶质运移的基本方土壤中溶质运移的基本方程程溶质运移的对流和水动力弥散作用，决定了溶质的总通量 为对流通量 和水动力弥散通量 之和。由和得一维的溶质运移基本方程

31、 第65页/共78页 当太阳辐射能源源源不断地到达地表，除一部分加热近地面空气外，大部分均被土壤所吸收。随着表土温度的提高，热量逐渐流入土壤深层，称为正值交换。在冬季或夜间，很少辐射能到达地面时，突土壤深层储存的热量流向土表，称为负值交换。土壤的正值和负值交换统称为土壤的热量交换，它是决定土壤温度的基本因素。2.7 2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程第66页/共78页在 方向进入单元体内的热量：流出的热量为：在 方向流进和流入的热量差为：接下页0将Fourie公式代入：2.7 土壤中热流基本方程2.7.1 土壤热流基本方程第67页/共78页同时考虑 和 方向上的热量变化，单元体总的热

32、量变化可表示为：根据热量平衡式，单位时间内单元体热量的变化为：如假设，两式相等，即可得到下式：接下页2.7 土壤中热流基本方程2.7.1 土壤热流基本方程第68页/共78页重写上式：如只考虑一维情况，则：用土壤热扩散率表示，则有：以上三式为非稳定条件下土壤热运动偏微分方程，也就是土壤热流的基本方程。2.7 土壤中热流基本方程2.7.1 土壤热流基本方程第69页/共78页2.7.2 土壤热流基本方程的解（1）解析解年平均温度 波的振幅 右图示为土表10深度多年月平均温度的观测值与正弦模型曲线。土壤表层温度和时间的正弦模型曲线如下式：时间正弦波周期 2.7 土壤中热流基本方程第70页/共78页2.

33、7.2 土壤热流基本方程的解土壤热流基本方程的解（1）解析解定解问题：对定解问题作Laplace变换，得：由由Laplace变换2.7 土壤中热流基本方程第71页/共78页（1）解析解解析解由Laplace变换后的定解问题得：上式为一个二阶线性非齐次常微分方程，其通解是：由由2.7 土壤中热流基本方程第72页/共78页（1）解析解解析解将下边界条件用于通解，有将上边界条件用于通解，有故求得常微分方程的解为：逆变换后可求得原方程之解：Laplace逆变换是一个较为复杂的数学过程，但可以通过查Laplace变换表求得。2.7 土壤中热流基本方程第73页/共78页（1）解析解解析解土壤中任何深度的温

34、度变化都呈现周期的正弦波形，正弦波的振幅为。相对于表层的正弦波，深 度为 的正弦波向后推移 个步长，。所有深度的正弦波都有相同的周期 ,。所有深度的年平均温度都是。求解过程有几点基本限制条件：1.只有热传导；2.热扩散率为常数；3.土壤表面的温度近似于正弦波型变化。问题：为什么正弦模型用于年温度变化要比用于日温度变化更接近实际观测值？2.7 土壤中热流基本方程第74页/共78页2.7.2.22.7.2.2数值数值解解 如上所述，土壤热流基本方程的解析解只能如上所述，土壤热流基本方程的解析解只能在特定的基本条件下求得。对大多数实际情况，像在特定的基本条件下求得。对大多数实际情况，像水流基本方程一

35、样，方程可用数值法求解。水流基本方程一样，方程可用数值法求解。2.7.2土壤热流基本方程的解2.7.2.3水、热耦合问题 一个思路是将热和水的问题在较小步长情况下分别单独求解，再回过头来作一定修正，这样反复交替进行，直到求得较满意的结果。第2章结束第75页/共78页第76页/共78页2.7.2.22.7.2.2数值解 如上所述，土壤热流基本方程的解析解只能在特定的基本条件下求得。对大多数实际情况，像水流基本方程一样，方程可用数值法求解。2.7.2土壤热流基本方程的解2.7.2.3水、热耦合问题 一个思路是将热和水的问题在较小步长情况下分别单独求解，再回过头来作一定修正，这样反复交替进行，直到求得较满意的结果。第77页/共78页感谢您的观看！第78页/共78页