同济大学概率论与数理统计.pptx

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1、主要内容数学期望方差与标准差协方差和相关系数两个不等式中心极限定理第1页/共91页一、数学期望（均值）期望定义常见分布的期望随机变量函数的期望期望的性质第2页/共91页引例：某校有3个学生英语考试成绩分别为85、70、70，求平均成绩。第3页/共91页第4页/共91页第5页/共91页常见分布的期望第6页/共91页第7页/共91页例1.设随机变量XB（5，p），已知 E（X）=1.6，求参数p.例2.设随机变量 ，已知 P=0.32E(X)=4第8页/共91页随机变量函数的期望第9页/共91页第10页/共91页例3试分别求下列分布的 第11页/共91页第12页/共91页第13页/共91页第14页

2、/共91页第15页/共91页第16页/共91页重新计算例5中两个分量的期望。第17页/共91页第18页/共91页第19页/共91页第20页/共91页 性质（性质（3),（4）可以推广到任意有限个）可以推广到任意有限个随机变量上去。随机变量上去。（1）设随机变量 ，则 （2）设随机变量 ,则 第21页/共91页例6证明二项分布的数学期望 证:且相互独立,第22页/共91页例7.设X，Y相互独立，X参数为2的指数分布，Y参数为3的指数分布，求E（2X+3Y），E（XY）。答：E（2X+3Y）=2E(X)+3E(Y)=2*1/2+3*1/3=2 E（XY）=E(X)E(Y)=1/6第23页/共91页

3、例8.设X，Y相互独立，XR（2，6），YR（-1,3）求E（2X-3Y+3），E（2XY），E(X2).答：由已知可得 E（X）=4，E（Y）=1，E（2X-3Y+3）=2E（X）-3E（Y）+3=8；E（2XY）=2E(X)E(Y)=8；E(X2).=（a2+ab+b2)/3 =（4+12+36）/3=52/3第24页/共91页第25页/共91页第26页/共91页二、方差与标准差定义常见分布方差性质第27页/共91页定义第28页/共91页第29页/共91页第30页/共91页常见分布方差第31页/共91页第32页/共91页方差性质第33页/共91页第34页/共91页一般的，有第35页/共91

4、页第36页/共91页第37页/共91页 设 相互独立，则第38页/共91页XB（n,p）,则X=X1+X2+XnXiB(1,p)且相互独立。由性质得D（X）=D X1+DX2+DXn =np(1-p)第39页/共91页 例12 设X，Y相互独立，XR（0，3），Y参数为2的指数分布，求D（X+Y）,E(X2Y2).解：D(X+Y)=D(X)+D(Y)=3/4+1/4=1 由X，Y相互独立可推得X2，Y2相互独立，因此 E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)=D(X)+E(X)2 D(Y)+E(Y)2 =3/4+9/4 1/4+1/4=3/2第40页/共91页例13 设X，Y相互独立，XN（1,4

5、），YN(0,1)，1).求E(X-2Y),D（X-2Y）,2).求Z=X-2Y的密度函数解：E(X-2Y)=1 D（X-2Y）=D(X)+4D(Y)=4+4=8 Z=X-2YN(1,8)第41页/共91页第42页/共91页三、协方差和相关系数协方差定义协方差性质相关系数定义相关系数性质第43页/共91页协方差定义第44页/共91页第45页/共91页第46页/共91页 E（X）=0，E（Y）=1，E（XY）=-1/3，可以推出Cov（X,Y）=-1/3求Cov（X，Y）第47页/共91页第48页/共91页 例16 试证cov(X+Y,X-Y)=D(X)-D(Y)证：cov(X+Y,X-Y)=c

6、ov(X,X)-cov(X,Y)+cov(Y,X)-cov(Y,Y)=D(X)-D(Y).第49页/共91页相关系数定义第50页/共91页第51页/共91页第52页/共91页第53页/共91页第54页/共91页第55页/共91页第56页/共91页第57页/共91页第58页/共91页第59页/共91页第60页/共91页第61页/共91页第62页/共91页第63页/共91页第64页/共91页第65页/共91页第66页/共91页四、两个不等式第67页/共91页第68页/共91页第69页/共91页第70页/共91页五、中心极限定理第71页/共91页大数定律中心极限定理第72页/共91页（一）大数定律依概率收敛定义独立同分布情形下的大数定律第73页/共91页依概率收敛第74页/共91页第75页/共91页独立同分布情形下的大数定律 第76页/共91页第77页/共91页第78页/共91页第79页/共91页第80页/共91页（二）中心极限定理第81页/共91页第82页/共91页进一步说明：第83页/共91页第84页/共91页第85页/共91页第86页/共91页第87页/共91页第88页/共91页第89页/共91页第90页/共91页感谢您的观看！第91页/共91页