同济大学第六高等数学 .pptx

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1、11.函数的增量自变量称差为自变量在的增量;函数随着从称差为函数的增量.如图:一、函数的连续性 函数的连续性与间断点第1页/共28页2连续,2.连续的定义定义1设函数 f(x)在内有定义,若则称函数f(x)在x0处并称x0为函数f(x)的连续点.定义2若则称函数f(x)在x0处连续.把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法只需求出该点函数特定值.自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征.采用了无穷小定义法充分必要条件 函数的连续性与间断点第2页/共28页3连续性的三种定义形式不同,这三种定义中都含有但本质相同.f(x)在内有定义;(1)(

2、2)(3)三个要素:定义3 把极限定义严密化,便于分析论证.存在;第3页/共28页4例证都是连续的.类似可证,是连续的.即 函数的连续性与间断点第4页/共28页5例证定义2试证函数处连续.函数的连续性与间断点第5页/共28页63.左、右连续左连续(continuity from the右连续(continuity from theleft);right).左连续右连续第6页/共28页7定理1 此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.函数的连续性与间断点第7页/共28页8例解右不连续.所以左连续,函数的连续性与间断点第8页/共28页94.连续函数(continous function)与连续

3、区间上的或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数,称该区间在开区间右连续左端点右端点这时也称该区间为continuous左连续连续函数,连续区间.内连续第9页/共28页10定理2的一个邻域,使得在此邻域内是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.连续函数的图形 函数的连续性与间断点第10页/共28页11例如,有理整函数(多项式)内是连续的.因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数只要都有因此有理整函数在都是连续的.第五节中已证 函数的连续性与间断点第11页/共28页12定义4出现如下三种情形之一:二、函数的间断点及其分类无定义;不存在;间断点.函数的连续性与间断点第12页/共28页13

4、间断点分为两类:第二类间断点(discontinuity point of the second kind):第一类间断点(discontinuity point of the first kind):及均存在,及中至少一个不存在.若称 为可去间断点.若称 为跳跃间断点.若其中有一个为振荡,若其中有一个为称 为无穷间断点.称 为振荡间断点.第13页/共28页14可能是连续点,初等函数无定义的孤立点是间断点.分段函数的分段点可能是间断点,也需要判定.函数的连续性与间断点第14页/共28页15例由于函数无定义,故为f(x)的 间断点.且皆不存在.第二类第二类间断点:至少有且是无穷型间断点.一个不存

5、在.函数的连续性与间断点第15页/共28页16例有定义,不存在,故为f(x)的 间断点.第二类且是无穷次振荡型间断点.之间来回无穷次振荡,函数的连续性与间断点第16页/共28页17例有定义,故为f(x)的 间断点.第一类的第一类间断点.则点x0为函数 f(x)的且是跳跃间断点.跳跃型间断点(Jump discontinuity).及均存在,则点x0为 函数的连续性与间断点第17页/共28页18 函数的连续性与间断点例 讨论函数解为函数的 间断点.第一类 且是可去间断点(removable discontinuity).连续.处无定义,可去间断点.第18页/共28页19则可使x0变为连续点.注注

6、对可去间断点x0,如果于A,(这就是为什么将这种间断点称为使之等可去间断点的理由.)补充 x0的函数值,或改变 函数的连续性与间断点第19页/共28页20如补充定义:如但 函数的连续性与间断点第20页/共28页21总结两类间断点:第一类间断点:跳跃型,第二类间断点:无穷型,可去型无穷次振荡型极限与连续之间的关系:f(x)在x0点连续 f(x)在x0点存在极限 函数的连续性与间断点第21页/共28页22解函数无定义,是函数的间断点.由于所以是函数的第二类间断点,且是无穷型.由于所以是函数的第一类间断点,且是跳跃型.并指出其类型.函数的连续性与间断点第22页/共28页23设解 因为所以必需且只需即必需且只需即 函数的连续性与间断点第23页/共28页24(见下图)无穷型,无穷次振荡型三、小结1.函数在一点连续的三个定义、必须满足的2.区间上的连续函数;3.函数间断点的分类:间断点第一类间断点:跳跃型,可去型第二类间断点:函数的连续性与间断点 三个条件;第24页/共28页25可去型第一类间断点跳跃型无穷型无穷次振荡型第二类间断点 函数的连续性与间断点第25页/共28页26思考题(是非题)非如处处连续.但不连续.是 函数的连续性与间断点第26页/共28页27作业习题1-8(64页)2.(1)(2)(3)(4)3.函数的连续性与间断点第27页/共28页28感谢您的观看！第28页/共28页