北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳.pdf

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1、圆章节知识点复习圆章节知识点复习一、圆的概念一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行

2、线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1、点在圆内d r点C在圆2、点在圆上d r点B在圆3、点在圆外d r点A在圆外；内；上；三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r无交点；2、直线与圆相切d r有一个交点；3、直线与圆相交d r有两个交点；四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点d Rr；外切（图 2）有一个交点d Rr；相交（图 3）有两个交点Rr d Rr；内切（图 4）有一个交点d Rr；内含（图 5）无交点d Rr；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（

3、不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径ABCDCE DE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述

4、四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；AB DE；OC OF；弧BA 弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB 2ACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角C D推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或C 90C 90AB是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是

5、直角三角形。即：在ABC中，OC OAOBABC是直角三角形或C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形CBAD180BD180DAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线

6、的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PA PBPO平分BPA十一、圆幂定理十一、圆幂定理（1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PAPB PCPD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，CE2 AEBE（3）切割线定理切割线定理：

7、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线PA2 PCPB（4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线PCPB PDPE十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分AB。即：O1、O2相交于A、B两点O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；（2）外公切线长

8、：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和。十四、十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在O中ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：OD:BD:OB 1:3:2；（2）正四边形同 理，四边 形的有 关 计 算在RtOAE中 进行，OE:AE:OA1:1:2：（3）正六边形同 理，六 边 形 的 有 关 计 算 在RtOAB中 进 行，AB:OB:OA 1:3:2.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：l nR；180nR21lR（2）扇形面积公式：S 3602n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图S表 S侧 2S底=2rh 2r2（2）圆柱的体积：V r2h（2）圆锥侧面展开图（1）S表 S侧 S底=Rr r2（2）圆锥的体积：V 13r2h