数学——正弦定理、余弦定理(1).pdf

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1、课课题题：正弦定理、余弦定理（正弦定理、余弦定理（1 1）教学目的：教学目的：使学生掌握正弦定理能应用解斜三角形，解决实际问题教学重点：教学重点：正弦定理教学难点：教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用授课类型：授课类型：新授课课时安排：课时安排：1 课时教教具具：多媒体、实物投影仪教学过程教学过程：一、引言：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理二、讲解新课：二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，abc即=2R（R 为ABC 外接圆半径）sin A

2、sin BsinC1直角三角形中：sinA=即c=ab，sinB=，sinC=1ccabc，c=，c=sin Asin BsinCabc=sin Asin BsinC2斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜ABC 当中SABC=absin C 1211acsin B bcsin A22C1abc两边同除以abc即得：=2sin Asin BsinCabAOBD证明二：（外接圆法）如图所示，caa CD 2Rsin Asin D同理bc=2R，2Rsin BsinC证明三：（向量法）过 A 作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB两边同乘以单位向量j得j(AC+CB)=jAB则jAC+jCB=jA

3、B|j|AC|cos90+|j|CB|cos(90C)=|j|AB|cos(90A)asinC csin Aac=sin AsinCcbabc=sinCsin Bsin Asin BsinC同理，若过 C 作j垂直于CB得：正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知 a,b和 A,用正弦定理求 B 时的各种情况:若 A 为锐角时:无解a bsin Aa bsinA一解(直角)bsinA a b 二解(一锐,一钝)a b一解(锐角)已知边a,b和ACbAHaCH=bsinA无解aAB

4、a=CH=bsinA仅有一个解baACbaB1HaB2ab仅有一个解AHBCbCaCH=bsinAab有两个解若 A 为直角或钝角时:三、讲解范例：三、讲解范例：a b无解一解(锐角)a b例例 1 1 已知在ABC中，c 10,A 45,C 30,求a,b和B解：c 10,A 45,C 30B 180(AC)105000000csin A10sin450ac10 2由得a sinCsin300sin AsinC由bc得sinBsinCcsinB10sin10506 20b 20sin75 20 5 6 5 20sinC4sin30例例 2 2 在ABC中，b 3,B 600,c 1,求a和A

5、,CbccsinB1sin6001,sinC 解：sinBsinCb23b c,B 600,C B,C为锐角，C 300,B 900a b2c2 2例例 3 3ABC中，c 6,A 450,a 2,求b和B,Caccsin A,sinC 解：sin AsinCacsin A a c,C 600或12006 sin450322csin B当C 60 时，B 75,b sinC00006sin7503 1，0sin60csin B6sin150当C 120 时，B 15,b 3 1sinCsin600b 3 1,B 750,C 600或 b 3 1,B 150,C 1200例例 4 4 已知ABC

6、，B为B的平分线，求证：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为ABADBCDC，再根据,sin ABDsin ABD sin BDCsin DBC相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论证明：在ABD内，利用正弦定理得：ABADABsin ADB即sin ADBsin ABDADsin ABD在BCD内，利用正弦定理得：BCDCBCsin

7、BDC,即.sin BDCsin DBCDCsin DBCBD是B的平分线ABDDBCsinABDsinDBCADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDCABsin ADBsin BDCBCADsin ABDsin DBCCDABADBCDC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用四、课堂练习四、课堂练习：abc k,则k为()sin Asin BsinC1A 2RBRC 4RDR(R为ABC外接圆半径)21 在ABC中，2 ABC中，sinA=sinB+sinC，则ABC为()222A 直角三角形 B等腰直

8、角三角形C等边三角形 D等腰三角形3 在ABC中，sinAsinB是AB的A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4 在ABC中，求证：cos2Acos2B112222abab3C参考答案：1A，2A4absin Asin Bsin A2sin B2)()(sin Asin Bababsin2Asin2B1cos2A1cos2B22a2b2abcos2Acos2B112222abab五、小结五、小结正弦定理，两种应用六、课后作业六、课后作业：1 在ABC中，已知sin Asin(A B)222，求证：a，b，c成等差数列sinCsin(B C)证明：由已知得 sin（BC）sin（BC）sin（AB）sin（AB）cos2Bcos2Ccos2Acos2B2cos2Bcos2Acos2C21cos2B1cos2A1cos2B2222222sinBsinAsinC222由正弦定理可得 2bac即a，b，c成等差数列七、板书设计七、板书设计（略）八、课后记：八、课后记：222