初中数学经典几何难题及答案2.pdf

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1、.经典难题（一）经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF（初二）CEAPDGADO第 1 题图2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA15 求证：PBC 是正三角形（初二）3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）AA2A1D1B1C1B2B第 3 题图交 MN 于 E、F求证：DENFC2CAM第 4 题图BDNCD2DEF0FBB第 2 题图C4、已知：如图，在四边形 ABC

2、D 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线经典难题（二）经典难题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；-优选.（2）若BAC60，求证：AHAO（初二）AGE0OCHEBODNBMD第 1 题图CMPA第 2 题图Q2、设MN 是圆 O 外一直线，过O 作 OAMN 于 A，自A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证：APAQ（初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN

3、的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证：APAQ（初二）ECMPAOQGNEBPAQ第 4 题图BFCDD第 3 题图P 是 EF 的中点4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半（初二）经典难题（三）经典难题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F-优选.求证：CECF（初二）AFDEBB第 1 题图求证：AEAF（初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，

4、CF 平分DCE求证：PAPF（初二）ADFPEBPCEC第 4 题图BOAC第 2 题图CEFAD2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 FDF第 3 题图求证：ABDC，BCAD（初三）4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D经典难题（四）经典难题（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB 的度数（初二）-优选.AAPDPBB第 1 题图CC第 2 题图2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA求证：

5、PABPCB（初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）ADFPADBB第 3 题图AECF求证：DPADPC（初二）CEC第 4 题图4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且经典难题（五）经典难题（五）1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPAPBPC，求证：APBCB第 2 题图AAL2DPC第 1 题图2、P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPBPC 的最小值3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长-E优选D.A

6、PDB第 3 题图0C第 4 题图04、如图，ABC 中，ABCACB80，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA30，EBA20，求BED 的度数0经典难题（一）经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF。（初二）证二：连接 OE，过 G 作 GHAB 于 H。EG证一：连接 OE。EGCO，EFAB，O、G、E、F 四点共圆，且 OE 为直径。GF=OE sinGOF。又OCD 中，CD=OCsinCOD。GOF+COD=180，OC=OE 为O 半径，CDGF。CO，EFAB，O、G、E、F 四点共圆，且OE 为直

7、径。GEO=HFG。又EGO=FHG=Rt ，GEO HFG。GF:OE=GH:OG。又 GHCD，GH:CD=OG:OC，即GH:OG=CD:OC，GF:OE=CD:OC，而OE=OC，CDGF。CECEGADOFBADGH OFBAPD2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA15 求证：PBC 是正三角形（初二）0E-优选BC.证明：3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）AA2A1D1B1C1B2BC2C4、已知：如图，在四边形 ABCD 中

8、，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F求证：DENFFENDACD2DMB经典难题（二）经典难题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC60，求证：AHAO（初二）OHE-BM DC优选0A.A AA AF FO OO OE EE EB BB BD DH HMMC CH HD DMMF FC C2、设MN 是圆 O 外一直线，过O 作 OAMN 于 A，自A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证：APA

9、Q（初二）GECBM3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：ODNPAQ设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证：APAQ（初二）ECMPAOQNBD-优选.4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半（初二）DGCEPAQBF经典难题（三）经典难题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF（初二）AF

10、DEB2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAF（初二）FADCBCE-优选.3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF（初二）ADFBPCE4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：ABDC，BCAD（初三）APEBODFC经典难题（四）经典难题（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB 的度数（初二）-优选.APB2、设 P 是平行四边形 ABCD

11、内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB（初二）APB3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）ACCDDB4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPADPC（初二）C-优选.AFPDBEC经典难题（五）经典难题（五）1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPAPBPC，求证：L2APBC-优选.2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPBPC 的最小值ADPBC3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边

12、长APDBC-优选.4、如图，ABC 中，ABCACB80，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA30，EBA20，求BED 的度数A000DEBC经典难题（一）经典难题（一）1.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得EOGOCO=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。GFGHCD2.如下图做DGC 使与ADP 全等，可得PDG 为等边，从而可得DGCAPDCGP,得出 PC=AD=DC,和DCG=PCG15所以DCP=30，从而得出PBC 是正三角形-优选00.3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F

13、 与 A2E 并延长相交于 Q 点，连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点，0111由 A2E=1A B=B C=FB，EB=AB=BC=FC，又GFQ+Q=90 和11112212222GEB2+Q=90,所以GEB2=GFQ 又B2FC2=A2EB2，0可得B2FC2A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又GFQ+HB2F=90 和GFQ=EB2A2,从而可得A2B2 C2=90，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。00-优选.4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得QMF=F，QNM=

14、DEN和QMN=QNM，从而得出DENF。经典难题（二）经典难题（二）1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OGAF,-优选.又F=ACB=BHD，可得 BH=BF,从而可得 HD=DF，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB，OC,既得BOC=1200，从而可得BOM=60,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。03.作 OFCD，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于ADABACAECDBE2FD2BGFD，BG由此可得ADFABG，从而可得AFC=AGE。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC

15、=AOP 和AGE=AOQ，AOP=AOQ，从而可得 AP=AQ。-优选.4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=由EGAAIC，可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。从而可得PQ=EG2FH。AI2BI=AB，从而得证。2-优选.经典难题（三）经典难题（三）1.顺时针旋转ADE，到ABG，连接 CG.由于ABG=ADE=900+450=1350从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得AGBCGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。AGB=30，既得EAC=30，从而可得A EC=75。又EFC=DFA=45+30=7

16、5.可证：CE=CF。0000002.连接 BD 作 CHDE，可得四边形 CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH，可得CEH=30，所以CAE=CEA=AED=15，又FAE=90+45+15=150，从而可知道F=15，从而得出 AE=AF。0000000-优选.3.作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y，BP=X,CE=Z,可得 PC=Y-X。tanBAP=tanEPF=X=YYZXZ，可得 YZ=XY-X+XZ，2即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z，得出ABPPEF，得到 PAPF，得证。-优选.经典难题（四）经典难题（四）1.顺时针旋

17、转ABP600，连接 PQ，则PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=150。02.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AEDC，BEPC.可以得出ABP=ADP=AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）。可得BAP=BEP=BCP，得证。-优选.3.在 BD 取一点 E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得：BEAD=，即 ADBC=BEAC，BCAC又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得ABDE=，即 ABCD=DEAC，ACDC由+可得:ABCD+ADBC=AC(BE+DE)=ACBD，得证。4.过 D 作 AQAE，AGCF，由SAE P

18、QAE PQ=，由 AE=FC。22可得 DQ=DG，可得DPADPC（角平分线逆定理）。ADE=SABCD2=SDFC，可得：-优选.经典难题（五）经典难题（五）1.（1）顺时针旋转BPC 600，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 L=；（2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。由于APDATP=ADP，推出 ADAP又 BP+DPBP和 PF+FCPC又 DF=AF由可得：最大LATP=ADP，推出 ADAP又 BP+DPBP和 PF+FCPC又 DF=AF由可得：最大

19、L 2；-优选.由（1）和（2）既得：L2。2.顺时针旋转BPC 600，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。既得 AF=14(321)2=23=42 32-优选.=2(31)2(31)=2262。=23.顺时针旋转ABP-优选900，可得如下图：.既得正方形边长 L=(222)2(22)a=522 2 a。4.在 AB 上找一点 F，使BCF=600，连接 EF，DG，既得BGC 为等边三角形，可得DCF=10 ,FCE=20 ,推出ABEACF，得到 BE=CF，FG=GE。推出：FGE 为等边三角形，可得AFE=80，既得：DFG=40 又 BD=BC=BG，既得BGD=80，既得DGF=40 推得：DF=DG,得到：DFEDGE，从而推得：FED=BED=30。0000000-优选.-优选