小学奥数之浓度问题.pdf

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1、小学奥数之浓度问题Revised on November 25,2020学科：情景数学动漫浓 度 三 角【知识网络】溶 液 的 质 量溶 质 的 质 量溶 剂 的溶度问题包括以下几种基本题型（1）溶剂的增加或减少引起浓度变化。面对这种问题，不论溶剂增加或减少，溶质是始终不变溶质是始终不变的的，据此便可解题。（2）溶质的增加引起浓度变化。面对这种问题，溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的溶剂是不变的，据此便可解题。（3）两种或几种不同溶度的溶液配比问题。面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与混合混合前各溶液的溶质和与混合后溶液的溶质质量相等后溶液的溶质质量相等，据此便可解题。质 量浓 度=溶

2、质 重 量 溶 液 重 量【情景故事】黄小鸭喝奶茶的故事黄小鸭领着三个鸭弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了奶牛开的奶茶店。只见店门口张贴着广告：“既甜又浓的奶茶每杯元。”黄小鸭便招呼弟弟们歇脚，一起来喝奶茶。黄小鸭从奶牛手中接过一杯奶茶，给最小的弟弟老四喝掉，加满水后给老三喝掉了，再加满水后，又给老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。奶牛开始收钱了，他要求黄小鸭最小的弟弟付出(元)；老三(元)；老二与黄小鸭付的一样多，(元)。兄弟四个一共付了元。兄弟们很惊讶，不是说，一杯奶茶元，为什么多付元肯定是奶牛再敲诈我们。不服气的黄小鸭嚷起来：“多收我们坚决不干。”“不给，休想离开。”现

3、在，大家说说为什么会这样呢1216131613浓 度 问 题 方 法 金 手 指保 持 浓 度：溶 质 溶 剂 齐加 减【自学指导】增 加 浓 度：加 溶 质 或 减浓度问题是围绕溶质、溶剂、溶液及浓度展开的。解题过程中我们要仔细分析题目，分清在变化前后，谁变了，谁没变，紧紧抓住不变量，这是解题的突破口，也是本节重点。第一类：稀释技巧：稀释前溶质重量稀释后溶质重量第二类：稀释技巧：加浓前溶剂重量加浓后溶剂重量第三类：溶液混合和互换技巧：溶质溶液溶质（溶质溶剂）浓度【方法指导】1、“浓度三角”法（改“十字交叉”法。）【解法范例】用浓度为 45和 5的两种盐水配制成浓度为 30的盐水 4 千克，需

4、要这两种盐水各多少千克2、权重法我们把，每份溶液所占全部溶液的份数称为权重，记为 q1，q2，q3，qn，我们知道qk=mmknk。则混合后，溶液的浓度等于，各自溶液的浓度乘以它的m1m2m3mkmnmii1权重的和，即：混合后浓度m1q1m2q2m3q3mnqnmiqi我们可以将纯溶质看成i1n浓度为 100，将纯溶剂看成 0。【解法范例】我们把 50的盐水 1 千克与 20的盐水 4 千克混合，求混合后溶液浓度一、简化的方法简化了的方法更容易被人接受和利用。我们先通过几道简单的问题了解一下新的方法。例 1 有浓度为 20的盐水 300 克，要配制成 40的盐水，需加入浓度为 70的盐水多少

5、克例 2 将 75的酒精溶液 32 克稀释成浓度为 40的稀酒精，需加入水多少克例 3 买来蘑菇 10 千克，含水量为 99，晾晒一会儿后，含水量为 98，问蒸发掉多少水份二、灵活的技巧“解题有法，但无定法”，解题方法的运用要讲究技巧，根据具体题目加以灵活运用，不要生搬硬套，形成定式。例 4 甲容器中有纯酒精 11 升，乙容器中有水 15 升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为，乙容器中纯酒精的含量为 40。那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升三、广泛的应用通过前面例题的讲解，我们发现，新的解法利用浓

6、度差的比与重量的比成反比的关系，把题目退到“份数”上考虑，数据也变简化了。这种方法应用较广泛，有些题目适合用这种方法解答。例 5 某班有学生 48 人，女生占全班的，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40，问转来几名女生用三角形解浓度问题例 6 服装厂出售 6000 件男女服装，男式皮衣件数占男衣的，女式皮衣件数占女衣的 25%，男女皮衣件数之和占这批服装件数的 1/5。这批服装中男式皮衣有多少件女式皮衣有多少件例 7 甲乙两个仓库共存放 420 吨货物，甲仓运出的货物相当于余下货物的 1/3，乙仓库运出的货物相当于余下货物的 1/4，这时两仓库共余下货物 327 吨，甲仓原有货

7、物多少吨乙仓原有货物多少吨例 8 小明到商店买红、黑两种笔共 66 支。红笔每支定价 5 元，黑笔每支定价 9 元。由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价 85付钱，黑笔按定价 80付钱，如果他付的钱比按定价少付了 18，那么他买了红笔多少支（北京市第 14 届迎春杯数学竞赛初赛试题）试一试：水果店购进苹果 1000 千克，运输途中碰坏了一些，没有碰坏的苹果卖完后，利润率为40%，碰坏的苹果只能降低出售，亏了 60%，最后结算时发现总的利润为 32%，问：碰坏_千克苹果。浓度三角形主要用于解决两种不同浓度糖水混合的问题出一道例题解释一下30%糖水和 1体积的水混合，浓度为 24%，那么再

8、和 1体积的水混合，浓度为多少引入浓度三角（4）0（1）（5）0（1）(6)已知两份液体的浓度（和 0）和混合后的浓度（）将他们摆出三角形的关系，用两个浓度分别减去混合后的浓度，这两个差之比就是体积的反比，这个就是浓度三角形怎样学好浓度问题怎样学好浓度问题6(6(组图组图)在浓度问题的解决中，我们经常可以使用在浓度问题的解决中，我们经常可以使用“浓度三角浓度三角”。什么是浓度三角呢浓度三角就是把混合前后。什么是浓度三角呢浓度三角就是把混合前后的不同浓度写成一种对称的三角形的形式。实质上是找混合前两种溶液的浓度与混合后溶液浓度的的不同浓度写成一种对称的三角形的形式。实质上是找混合前两种溶液的浓度

9、与混合后溶液浓度的差之比。这种方法简化了复杂的浓度问题，比较容易理解和使用。差之比。这种方法简化了复杂的浓度问题，比较容易理解和使用。例例 1.1.在在 100100 千克浓度为千克浓度为 50%50%的盐水中，再加入多少千克浓度为的盐水中，再加入多少千克浓度为 5%5%的盐水就可以配制成浓度为的盐水就可以配制成浓度为25%25%的盐水的盐水分析：混合前两种溶液的浓度与混合后溶液的浓度的差之比，与所需数量之比恰好是成反比例分析：混合前两种溶液的浓度与混合后溶液的浓度的差之比，与所需数量之比恰好是成反比例关系，即所需溶液重量之比等于浓度差的反比。我们可以写成浓度三角的形式（如下图）更直观地关系，

10、即所需溶液重量之比等于浓度差的反比。我们可以写成浓度三角的形式（如下图）更直观地反映三个浓度之间的大小关系。反映三个浓度之间的大小关系。解法一：（解法一：（50%-25%50%-25%）（25%-5%25%-5%）252520205 544混合前两种溶液的浓度与混合后溶混合前两种溶液的浓度与混合后溶液的浓度的差之比液的浓度的差之比所需浓度所需浓度 50%50%的溶液的溶液所需浓度所需浓度 5%5%的溶液的溶液4 45 5100100 44 5 5125125（千克）（千克）答：再加入答：再加入 125kg125kg 浓度为浓度为 5%5%的盐水。的盐水。解法二：方程解法分析。既然混合前后三种溶

11、液的浓度是已知的，只要设出加入的解法二：方程解法分析。既然混合前后三种溶液的浓度是已知的，只要设出加入的 5%5%浓度的浓度的盐水是盐水是 xkgxkg，那么混合后的盐水总量就是（，那么混合后的盐水总量就是（x x100100）千克。显然，混合前的两种溶液所含的纯盐等）千克。显然，混合前的两种溶液所含的纯盐等于混合后的溶液里的纯盐。于混合后的溶液里的纯盐。解：设再加入解：设再加入 xkgxkg 浓度为浓度为 5%5%的盐水。的盐水。50%50%盐水里的盐盐水里的盐5%5%盐水里的盐混合后盐水里的盐混合后 25%25%盐水的盐盐水的盐5%x5%x 100100 50%50%（x x100100）

12、2525%5%x%5%x505025%x25%x 25252525，x x125125答：再加入答：再加入 125kg125kg 浓度为浓度为 5%5%的盐水。的盐水。例例%的盐水与的盐水与 20%20%的盐水混合后，要配制成的盐水混合后，要配制成 25%25%的盐水的盐水 180180 克。求克。求 40%40%与与 20%20%盐水各需多少盐水各需多少克克解法一：（解法一：（40%-25%40%-25%）（25%-20%25%-20%）15155 53 31 1所需溶液重量之比等于浓度差的反比所需溶液重量之比等于浓度差的反比所需高浓度的溶液所需高浓度的溶液所需低浓度的溶液所需低浓度的溶液1

13、 13 3180180 45 45（克）（克）需要需要 40%40%高浓度的溶液高浓度的溶液180180135135（克）（克）需要需要 20%20%低浓度的溶液低浓度的溶液答：需要答：需要 40%40%的溶液的溶液 4545 克，需要克，需要 20%20%的溶液的溶液 135135 克。克。解法二：设需要解法二：设需要 40%40%的溶液的溶液 x x 克，需要克，需要 20%20%的溶液（的溶液（180-x180-x）克。）克。40%x40%x20%20%（180-x180-x）1801802525%45459 9x x4545需要需要 40%40%高浓度的溶液高浓度的溶液180-4518

14、0-45135135（克）（克）需要需要 20%20%低浓度的溶液低浓度的溶液答：需要答：需要 40%40%的溶液的溶液 4545 克，需要克，需要 20%20%的溶液的溶液 135135 克。克。通过以上例题，我们可以看出，解题时要善于抓住事物间的联系，进行适当转化，就能发现其通过以上例题，我们可以看出，解题时要善于抓住事物间的联系，进行适当转化，就能发现其中的规律，找到解决问题的巧妙方法。中的规律，找到解决问题的巧妙方法。第三讲第三讲浓浓 度度 问问 题（十字交叉相乘）题（十字交叉相乘）浓度问题常用公式：溶液溶质溶剂，浓度溶质100%溶剂2 2、浓度三角形：、浓度三角形：3 3、常用方法：

15、十字相乘法，浓度三角形，列方程、常用方法：十字相乘法，浓度三角形，列方程十字交叉相乘法与浓度三角形在本质上是相同的，本质上都是比例。（一）（一）补充练习。补充练习。1 1、（20072007 年第五届“希望杯”一试六年级）年第五届“希望杯”一试六年级）一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比为一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比为 15%15%，第二次又加入同样多的，第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为水，盐水的含盐百分比变为 12%12%；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为多少；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为多少解法抓住题目中的不变

16、量盐的数量。设这杯盐水中有盐 60 克。第一次加水后盐水的总量变为 6015%400 克。第二次加水后盐水的总量变为 6012%500 克。每次加入的水量为 500400100 克。第三次加入同样多的水后盐水的含盐百分比将变为：60（500100）10%解法 设第一次加水后盐水的重量变为千克。盐的重量是15%。第二次加水后盐水的总重量为12%每次加入的水量为第三次加入同样多的水后盐水的浓度为（）10%答：第三次加入同样多的水后盐水的浓度为 10%。2 2、（人大附中选拔入学考试题）（人大附中选拔入学考试题）有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中为奶

17、糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中中为酥糖。将两包糖混合后，水果糖占为酥糖。将两包糖混合后，水果糖占 7878，那么奶糖与酥糖的比例是多少，那么奶糖与酥糖的比例是多少本题是一道简单的浓度问题。我们以水果糖为突破口：第一包奶糖占；水果糖占1414153。4第二包酥糖占；水果糖占154。5将两包糖混合后，水果糖占 78，（相当于混合溶液）根据浓度三角形，列出等式：34第一包（78）第二包（78）4543第一包第二包 （78）（78）23，54 把第一包糖的数量看作 2 份，第二包 3 份。则奶糖与酥糖的比例是：11（2）（3）5645答：奶糖与酥糖的比例是

18、56。3 3、甲种酒精甲种酒精 4 4 千克，乙种酒精千克，乙种酒精 6 6 千克，混合成的酒精含纯酒精千克，混合成的酒精含纯酒精 62%62%。如果甲种酒精和乙种酒精一。如果甲种酒精和乙种酒精一样多，混合成的酒精含纯酒精样多，混合成的酒精含纯酒精 61%61%。甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少。甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少解：如果甲乙两种酒精各取 4 千克，因两种酒精取的一样多，所以混合在一起的酒精溶液的浓度为 61%。其中含纯酒精 4261%4.88 千克。甲种酒精 4 千克，乙种酒精 6 千克，混合成的酒精含纯酒精 62%。其中含纯酒精（46）62%6.2 千克，6.

19、2 千克比 4.88 千克多1.32 千克，多出的 1.32 千克纯酒精来自 642 千克的乙种酒精，因此乙种酒精的浓度为266%。4 千克甲种酒精中含纯酒精（46）62%666%2.24 千克，因此甲种酒精溶液的溶度为456%。答：甲种酒精溶液的溶度是 56%，乙种酒精溶液的溶度是 66%。4 4、（20082008 年“我爱数学夏令营”数学竞赛）年“我爱数学夏令营”数学竞赛）若干升含盐若干升含盐 70%70%的溶液与若干升含盐的溶液与若干升含盐 58%58%的溶液混合后得到含盐的溶液混合后得到含盐 62%62%的溶液，如果每种溶液各的溶液，如果每种溶液各多取多取 1515 升，混合后得到含

20、盐升，混合后得到含盐%的溶液，第一次混合时含盐的溶液，第一次混合时含盐 70%70%的溶液取了多少升的溶液取了多少升解 1：浓度 70%的溶液（70%62%）浓度 58%的溶液（62%58%）浓度 70%的溶液浓度 58%的溶液（62%58%）（70%62%）12每种溶液各取 15 升混合在一起得到浓度为（70%58%）264%的溶液 30 升。浓度 62%的溶液（%62%）30 升（64%）浓度 62%的溶液30 升（64%）（%62%）35浓度 62%的溶液 3053 18 升 这 18 升浓度 62%的溶液是由浓度 70%的溶液和浓度 58%的溶液混合而成，他们的数量比是12，所以浓度

21、70%的溶液取了：1816 升12答：浓度 70%的溶液取了 6 升。5 5、某商品按零售价、某商品按零售价 1010 元卖出元卖出 2020 件所得到的利润和按照零售价件所得到的利润和按照零售价 9 9 元卖出元卖出 3030 件所得到的利润相等，件所得到的利润相等，求该商品的进价。求该商品的进价。售价 10 元的利润20 售价 9 元的利润30售价 10 元的利润售价 9 元的利润302032按零售价 10 元所获得的利润是（109）33 元。所以该商品的进价是 1037 元。答：该商品的进价是 7 元。6 6、4 4 千克浓度为千克浓度为 30%30%的溶液和多少千克浓度为的溶液和多少千

22、克浓度为 10%10%的溶液能混合成的溶液能混合成 26%26%的溶液的溶液 4 千克（30%26%）浓度 10%溶液数量（26%10%）4 千克浓度 10%溶液数量（26%10%）（30%26%）41浓度 10%的溶液应该用 4411 千克。答：应该取浓度 10%的溶液 1 千克。7 7、有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 10%10%，盐浓度为，盐浓度为 30%30%，乙溶液中的酒精浓度为，乙溶液中的酒精浓度为 40%40%，盐浓度，盐浓度为为 0 0。现在有甲溶液。现在有甲溶液 1 1 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混合后得到的溶液的酒精浓千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混合后得到的溶液的酒精浓度和盐浓度相等度和盐浓度相等 要使混合后溶液的酒精浓度和盐浓度相等，那么混合溶液中含有的酒精的量和盐的量应该相等。1 千克甲溶液中含有酒精 110%千克；盐 130%千克。盐比酒精多了千克；在混合溶液中应该加入酒精千克。乙溶液不含盐只含有酒精。所需的千克酒精因该由乙溶液提供，乙溶液的酒精溶度是 40%，所以需要乙溶液40%千克。答：添加千克乙溶液就能使混合溶液中酒精和盐的浓度相等。