第2讲：椭圆、抛物线、双曲线.pdf

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1、专题四专题四解析几何解析几何第第 2 2 讲讲椭圆、抛物线、双曲线椭圆、抛物线、双曲线考向预测考向预测1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点；2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题；3.数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d 为 M 点到准线的距离).2.圆锥曲线的标准方程x2y2y2x2(1)椭圆：221(ab0)(焦点在 x 轴上)或221(ab0)

2、(焦点在 y 轴上)；ababx2y2y2x2(2)双曲线：221(a0，b0)(焦点在 x 轴上)或221(a0，b0)(焦点在 y 轴上)；abab(3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为ce ace ab212.ab212.a在双曲线中：c2a2b2；离心率为(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标x2y2b双曲线221(a0，b0)的渐近线方程为 y x；焦点坐标 F1(c，0)，F2(c，0).abay2x2a双曲线221(a0，b0)的渐近线方程为 y x，焦点

3、坐标 F1(0，c)，F2(0，c).abb(3)抛物线的焦点坐标与准线方程pp，0，准线方程 x.抛物线 y22px(p0)的焦点 F22pp0，准线方程 y.抛物线 x22py(p0)的焦点 F224.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线p.y22px(p0)过焦点p2F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x24热点题型热点一

4、圆锥曲线的几何性质x2y2【例 1】(2017山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线221(a0，b0)的右支与焦点为 F 的抛物线abx22py(p0)交于 A，B 两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_.xya2b21，解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：消去 x 得 a2y22pb2ya2b20，x22py，2b2由根与系数的关系得 y1y22p，appp又|AF|BF|4|OF|，y1 y2 4，即 y1y2p，2222b2b21b22pp，即2.aa2a22双曲线渐近线方程为 yx.22答案yx2探究提高1.分析圆锥曲线中 a，b，c，e

5、 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式.建立关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.ba3.求双曲线渐近线方程关键在于求 或 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.abx2y2【训练 1】(1)(2017全国卷)已知椭圆 C：221(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为ab直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C

6、的离心率为()A.63B.33C.231D.322x2y2(2)(2016北京卷)双曲线221(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该ab双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为 2，则 a_.解析(1)以线段 A1A2为直径的圆是 x2y2a2，直线 bxay2ab0 与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离 da2b2ce aab1a22abb122a，整理为 a 3b，即.a3a2b21261.33(2)取 B 为双曲线右焦点，如图所示.四边形 OABC 为正方形且边长为 2，c|OB|2 2，又AOB，4b tan 1，即 ab.又 a2b2

7、c28，a2.a4答案(1)A(2)2热点二直线与圆锥曲线【例 2】(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求|OH|；|ON|(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.t解(1)如图，由已知得 M(0，t)，P2p，t，t又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 Np，t，22p故直线 ON 的方程为 y x，t将其代入 y22px 整理得 px22t2x0，2t22t2解得 x10，x2，因此 Hp，2t

8、.p|OH|所以 N 为 OH 的中点，即2.|ON|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下：p2t直线 MH 的方程为 yt x，即 x(yt).2tp代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其它公共点.探究提高1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定；2.弦长计算公式：直线 AB 与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|1k2（x1x2）24x1x2，其中 k 为弦

9、 AB 所在直线的斜率.3.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.10，作直线 l 与抛物线 C 交于不同的【训练 2】(2017北京卷)已知抛物线 C：y22px 过点 P(1，1)，过点2两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点.(1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段 BM 的中点.1解(1)把 P(1，1)代入 y22px，得 p，所以抛物线 C 的方程为 y2x，211，0，准线方程为

10、x.焦点坐标为44(2)证明当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线 l)斜率存在且不为零.1由题意，设直线 l 的方程为 ykx(k0)，l 与抛物线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2).21ykx2，由消去 y 得 4k2x2(4k4)x10.y2x，考虑(4k4)244k216(12k)，1由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k0，b0)的一条渐近线方程为 yx，且与椭圆 1 有公ab2123共焦点，则 C 的方程为()x2y2A.1810 x2y2B.145x2y2C.154x2y2D.1433.(2017全国

11、卷)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN的中点，则|FN|_.x224.(2017全国卷)设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C：y 1 上，过M 作 x 轴的垂线，垂足为N，点P 满2足NP 2NM.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且OPPQ1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.高频易错题k1.(2016全国卷)设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，曲线 y(k0)与 C 交于点 P，PFx 轴，则 k()x1A.2B.1C：x23C.2D.22.(20

12、17全国卷)已知 F 是双曲线(1，3)，则APF 的面积为()1A.31B.2y21 的右焦点，P 是 C 上一点，且PF 与 x 轴垂直，点A 的坐标是32C.33D.23.(2017邯郸质检)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点.若FP4FQ，则|QF|等于_.x2y224.(2017佛山调研)已知椭圆 E：221(ab0)的离心率为，右焦点为 F(1，0).ab2(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，若 OMON，求直线 l 的方程.精准预测题

13、x2y21.(2017新乡模拟)已知双曲线 C：221(a0，b0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴上的一个顶点，线段 BF 与ab双曲线 C 的右支交于点 A，若BA2AF，且|BF|4，则双曲线 C 的方程为()x2y2A.165x2y2B.1812x2y2C.184x2y2D.1462.(2017石家庄三模)已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的左右焦点 F1，F2，P 为椭圆 C1与双曲线 C2在第一象限e11内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线 C2的离心率分别为 e1，e2，且 ，若F1PF2，则双曲线C2的渐e233近线方程为()A.xy0B.x3y03C.x2y02D.x2y03.(

14、2017潍坊三模)已知抛物线 y22px(p0)上的一点x2y2M(1，t)(t0)到焦点的距离为 5，双曲线2 1(a0)的a9左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行.则实数 a 的值为_.x2y234.(2017郴州三模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：221(ab1)过点 P(2，1)，且离心率 e.ab2(1)求椭圆 C 的方程；1(2)直线 l 的斜率为，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求PAB 面积的最大值.2参考答案参考答案经典常规题xy21.【解题思路】方程221 表示双曲线，根据一元二次不等式可知m，n 之间的不等关系，进而分m n3m n别

15、确定 m2n 和 3m2n 的正负，当然也可以分类讨论处理.x2y2【答案】方程221 表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2.m n3m n由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中 c 是半焦距)，焦距 2c22|m|4，解得|m|1，1n0)，即 2，所以 k2.故选 D.x12.【解题思路】SAPF【答案】由1PF d(d为A到PF的距离).2高频易错题c2a2b24 得 c2，所以 F(2，0)，将 x2 代入 x2y21，得 y3，所以|PF|3.313又 A 的坐标是(1，3)，故APF 的面积为 3(21).故选 D.223.【解题思路】过点 Q 作

16、 l 的垂线，利用三角形相似，对应边成比例处理.【答案】过点 Q 作 QQl 交 l 于点 Q，因为FP4FQ，所以|PQ|PF|34，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以|QF|QQ|3.故填 3.4.【解题思路】(1)由离心率和焦点坐标联立方程求出 a，b，(2)OMONOMON0，结合韦达定理处理.12，x22a2【答案】解(1)依题意可得解得 a 2，b1.椭圆 E 的标准方程为 y 1.222a b 1，(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，当 MN 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x1，不符合题意；x2y21，当 MN 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为

17、yk(x1).联立得方程组yk（x1），消去 y 得(12k2)x24k2x2(k21)0，x1x22（k21）4k2，x x.12k21212k22y1y2k2x1x2(x1x2)1k2.OMON，OMON0.12k2k22x1x2y1y20，k 2.故直线 l 的方程为 y 2(x1).12k2精准预测题b.1.【解题思路】由BA2AF可确定 A 点坐标，A 点在双曲线上，又|BF|4 由勾股定理可得，列方程组解出a，【答案】设 A(x，y)，右焦点为 F(c，0)，点 B(0，b)，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，且BA2AF，2cb4c216ax，y，代入双曲线方程，得2

18、1，且 c2a2b2，b.339a92x2y222|BF|4，c b 16，a2，b 6，双曲线 C 的方程为 1.故选 D.46e112.【解题思路】共焦点相同，再 再可得椭圆与双曲线的 a，b，c 的关系，结合定义可得|PF1|，|PF2|.e23x2y2x2y2e11【答案】设椭圆 C1：221(ab0)，双曲线 C2：221，依题意 c1c2c，且 ，abmne23m1 ，则 a3m，a3由圆锥曲线定义，得|PF1|PF2|2a，且|PF1|PF2|2m，|PF1|4m，|PF2|2m.在F1PF2中，由余弦定理，得：4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos12m2，3

19、2c23m2，则 n2c2m22m2，因此双曲线 C2的渐近线方程为 y 2x，即 xy0.故选 C.23.【解题思路】利用抛物线定义求出点 M 的坐标，再两直线平行，斜率相等.p【答案】由题设 15，p8.不妨设点 M 在 x 轴上方，则 M(1，4)，243由于双曲线的左顶点 A(a，0)，且直线 AM 平行一条渐近线，则 a3.故填 3.1aa4.【解题思路】(1)列方程组求解，(2)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.【答案】解(1)e2c2a2b23412，a24b2.又221，a28，b22.2aa4abx2y2故所求椭圆 C 的方程为 1.821y xm，21(2)设 l 的方程为 y xm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立22消去 y 得 x22mx2m240，2xy 1，82判别式 164m20，即 m24.又 x1x22m，x1x22m24，则|AB|11 （x1x2）24x1x2 5（4m2），4|m|2|m|.1514点 P 到直线 l 的距离 dm2（4m2）112|m|222因此 SPAB d|AB|5（4m）m（4m）2，2225当且仅当 m22 时上式等号成立，故PAB 面积的最大值为 2.