江苏省高二上学期5月月考数学试卷(解析版).pdf

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1、江苏省南京市溧水高中高二（上）江苏省南京市溧水高中高二（上）5 5 月月考数学试卷月月考数学试卷一填空题（共一填空题（共 1414 题，每题题，每题 5 5 分，分，7070 分）分）1已知复数 z=（32i）2+2i（i 为虚数单位），则 z 虚部为2函数 f（x）=（32x）的定义域为3某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生 600 人，乙校有学生 700 人，现用分层抽样的方法在这 1300 名学生中抽取一个样本已知在甲校抽取了 42 人，则在乙校应抽取学生人数为4执行如图的伪代码，输出的结果是5为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在 6 场比赛中的得

2、分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的标准差为6抛物线 y2=16x 的焦点到双曲线渐近线的距离为7小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看书；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家帮忙做家务那么小明周末在家帮忙做家务的概率是8若实数 x，y 满足不等式组，则 z=x+2y 的最大值为9曲线 y=在 x=2 处的切线方程为10已知四棱锥 VABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，VA平面 ABCD，且 VA=4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是11在等比数列an中，已知 a3=4，a72a532=0，则

3、a5+a7=12在ABC 中，若 AB=1，AC=，|+|=|，则=13若斜率互为相反数且相交于点P（1，1）的两条直线被圆O：x2+y2=4 所截的弦长之比为，则这两条直线的斜率之积为14已知函数 f（x）=+2bx+c 在区间（0，1）内取极大值，在区间（1，2）内取极小值，则 z=（a+3）2+b2的取值范围为二解答题（共六大题，二解答题（共六大题，9090 分）分）15如图，已知平面 DBC 与直线 PA 均垂直于三角形 ABC 所在平面，（1）求证：PA平面 DBC；（2）若 ADBC，求证：平面 DBC平面 PAD16在ABC 中，a，b，c分别为角 A，B，C 所对的边长，且 c

4、=3bcosA（1）求的值；（2）若 tanC=试求 tanB的值17已知数列an满足：a1=1，a2=a（a0）数列bn满足 bn=anan+1（nN*）（1）若an是等差数列，且 b3=12，求 a 的值及an的通项公式；（2）当bn是公比为 a1 的等比数列时，an能否为等比数列？若能，求出 a的值；若不能，请说明理由18某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=，其中 k，b 均为常数当关税税率为 75%时，若市场价格为5 千元，则市场供应量均为1 万件；若市场价格为7 千元，则市场供应量约为 2 万件（1）试确定 k、b 的

5、值；（2）市场需求量 q（单位：万件）与市场价格 x 近似满足关系式：q=2xp=q时，市场价格称为市场平衡价格当市场平衡价格不超过 4 千元时，试确定关税税率的最大值19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：的左顶点为 A，与 x 轴平行的直线与椭圆 E 交于 B、C 两点，过B、C 两点且分别与直线 AB、AC 垂直的直线相交于点 D已知椭圆 E 的离心率为，右焦点到右准线的距离为（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）证明点 D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求BCD 面积的最大值20已知函数 g（x）=+lnx 在1，+）上为增函数，且（0，），f（x）=mxlnx

6、（mR）（）求 的值；（）若 f（x）g（x）在1，+）上为单调函数，求 m 的取值范围；（）设 h（x）=，若在1，e上至少存在一个 x0，使得 f（x0）g（x0）h（x0）成立，求 m 的取值范围三、解答题（共三、解答题（共 4 4 小题，满分小题，满分 4040 分）分）21已知变换 T 把平面上的点 A（2，0），B（0，）分别变换成点 A（2，2），B（，）（1）试求变换 T 对应的矩阵 M；（2）若曲线 C 在变换 T 的作用下所得到的曲线的方程为 x2y2=4，求曲线 C 的方程22设 S 是不等式 x2x60 的解集，整数 m、nS（1）求“m+n=0”的概率；（2）设=m2

7、，求 的分布列及其数学期望23如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，ABAC，M 是 CC1的中点，N 是 BC 的中点，点 P 在直线 A1B1上，且满足（1）当 取何值时，直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大？（2）若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45，试确定点 P 的位置24在（1+x+x2）n=Dn0+Dn1x+Dn2x2+Dnrxr+Dn2n1x2n1+Dn2nx2n的展开式中，把Dn0，Dn1，Dn2，Dn2n叫做三项式系数（1）当 n=2 时，写出三项式系数 D20，D21，D22，D23，D24的值；（2）类比二项式

8、系数性质 Cn+1m=Cnm1+Cnm（1mn，mN，nN），给出一个关于三项式系数 Dn+1m+1（1m2n1，mN，nN）的相似性质，并予以证明2016201720162017 学年江苏省南京市溧水高中高二（下）学年江苏省南京市溧水高中高二（下）5 5 月月月月考数学试卷考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一填空题（共一填空题（共 1414 题，每题题，每题 5 5 分，分，7070 分）分）1已知复数 z=（32i）2+2i（i 为虚数单位），则 z 虚部为10【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：z=（32i）2+2i=

9、9412i+2i=510i，则 z 虚部=10故答案为：102函数 f（x）=（32x）的定义域为1，）【考点】33：函数的定义域及其求法【分析】根据函数 f（x）的解析式，列出不等式组，求出解集即可【解答】解：函数 f（x）=（32x），解得 1x；f（x）的定义域为1，）故答案为：1，）3某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生 600 人，乙校有学生 700 人，现用分层抽样的方法在这 1300 名学生中抽取一个样本已知在甲校抽取了 42 人，则在乙校应抽取学生人数为49【考点】B3：分层抽样方法【分析】根据分层抽样原理，列方程计算乙校应抽取学生人数即可【解答】解：甲校有学生

10、 600 人，乙校有学生 700 人，设乙校应抽取学生人数为 x，则 x：42=700：600，解得 x=49，故在乙校应抽取学生人数为 49故答案为：494执行如图的伪代码，输出的结果是9【考点】EA：伪代码【分析】分析程序的功能，计算 S 的值，根据循环条件得出程序运行后输出的 I值【解答】解：模拟程序的运行过程，如下；S=1，I=3，S300；S=13=3，I=3+2=5，S300；S=35=15，I=5+2=7，S300；S=157=105，I=7+2=9，S300；S=1059=945300，终止循环；所以程序运行后输出 I=9故答案为：95为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度

11、，统计了该运动员在 6 场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的标准差为【考点】BC：极差、方差与标准差【分析】由茎叶图先求出该组数据的平均数，再求出该组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差【解答】解：由茎叶图知该组数据的平均数为：=（14+17+18+18+20+21）=18，方差 S2=（1418）2+（1718）2+（1818）2+（1818）2+（2018）2+（2118）2=5，该组数据的标准差为 S=故答案为：6抛物线 y2=16x 的焦点到双曲线渐近线的距离为2【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质【分析】先求出抛物线 y2=16x 的焦点，再求出双曲

12、线的渐进线，由此利用点到直线的距离公式能求出抛物线 y2=16x 的焦点到双曲线渐近线的距离【解答】解：抛物线 y2=16x 的焦点（4，0），双曲线的渐进线：，抛物线 y2=16x 的焦点到双曲线渐近线的距离为：d=故答案为：27小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看书；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家帮忙做家务那么小明周末在家帮忙做家务的概率是【考点】CF：几何概型【分析】根据题意，计算可得圆的面积为，点到圆心的距离大于的面积为=，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可【解答】解：设圆半径为 1，圆的面积

13、为，点到圆心的距离大于的面积为=，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型得小波周末在家看书的概率为 P=1=故答案为：8若实数 x，y 满足不等式组，则 z=x+2y 的最大值为6【考点】7C：简单线性规划【分析】作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线 l：z=x+2y 进行平移，z达到最大值并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，由此求出 A 点坐标，不难得到本题的答案【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于ABO 及其内部的阴影部分将直线 l：z=x+2y 进行平移，可知越向上平移，z 的值越大，当l 经过区域的右上顶点 A 时，z 达到最大值由解得 A

14、（2，2）zmax=F（2，2）=2+22=6故答案为：69曲线 y=在 x=2 处的切线方程为x8y+2=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程【解答】解：y=的导数为 y=，可得曲线在 x=2 处的切线斜率为 k=，切点为（2，），则在 x=2 处的切线方程为 y=（x2），即为 x8y+2=0故答案为：x8y+2=010已知四棱锥 VABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，VA平面 ABCD，且 VA=4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是8+4【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧

15、面积和表面积【分析】由线面垂直的判定与性质，可证出VAB、VAD、VBC、VCD 都是直角三角形由 VA=4 且 AB=AD=2，根据勾股定理算出 VB=VD=2，最后利用直角三角形的面积公式即可算出所有直角三角形的面积的和【解答】解：VA平面 ABCD，BC 平面 ABCD，VABC底面 ABCD 是正方形，可得 BCAB，VAAB=A，BC平面 VAB，结合 VB 平面 VAB，得 BCVB同理可得 CDVD，VA平面 ABCD，AB、AD平面 ABCD，VAAB 且 VAAD综上所述，四棱锥的四个侧面都是直角三角形，VA=4，AB=AD=2，VB=VD=2，由此可得，所有直角三角形的面积

16、的和为S=224+22=8+4故答案为：8+411在等比数列an中，已知 a3=4，a72a532=0，则 a5+a7=80【考点】88：等比数列的通项公式【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出 a5+a7【解答】解：在等比数列an中，a3=4，a72a532=0，4q48q232=0，解得 q2=4 或 q2=2（舍），a5+a7=4q2+4q4=44+416=80故答案为：8012在ABC 中，若 AB=1，AC=，|+|=|，则=【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算律【分析】根据题意，以 AB、AC 为邻边的平行四边形 ABDC 是矩形，由勾股定理求出

17、BC=2过 A 作 AEBC 于 E，算出 BE=，最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义，即可算出的值【解答】解：以 AB、AC 为邻边作平行四边形 ABDC，则=+=四边形 ABDC 是矩形过 A 作 AEBC 于 ERtABC 中，BC=2，可得斜边上的高 AE=因此，BE=，cosABC=1，可得=故答案为：13若斜率互为相反数且相交于点P（1，1）的两条直线被圆O：x2+y2=4 所截的弦长之比为，则这两条直线的斜率之积为9 或【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】设这两条直线的斜率分别为 k、k，利用点斜式求得两条弦所在的直线方程，求出各自的弦心距，再结合弦长之比为得到关于k

18、 的一元二次方程，求出 k 的值，即可求得方程的两根之积【解答】解：设这两条直线的斜率分别为 k、k，则这两条直线的方程分别为 m：y1=k（x1），n：y1=k（x1），即 m：kxy+1k=0，n：kx+y1k=0圆心 O 到直线 m 的距离为 d=，可得弦长为 2圆心 O 到直线 n 的距离为 d=，可得弦长为 2再由弦长之比为=，即=，可得 3k210k+3=0求得 k=3，或 k=，当 k=3 时，这两条直线的斜率之积为 3（3）=9；当 k=时，两条直线的斜率之积为（）=，故答案为：9 或14已知函数 f（x）=+2bx+c 在区间（0，1）内取极大值，在区间（1，2）内取极小值，

19、则 z=（a+3）2+b2的取值范围为（，9）【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】由题意可得 x1，x2是导函数 f（x）=x2+ax+b 的两根，由于导函数 f（x）=x2+ax+b 的图象开口朝上且 x1（0，1），x2（1，2）即，画出满足以上条件的实数对（a，b）所构成的区域，z=（a+3）2+b2的表示点（a，b）到点（3，0）的距离平方，即可求解【解答】解：设 f（x）的极大值点是 x1，极小值点是 x2，函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 在 x=x1处取得极大值，在 x=x2处取得极小值，x1，x2是导函数 f（x）=x2+ax+b 的两根，由于导函数 f（x）=x

20、2+ax+b 的图象开口朝上且 x1（0，1），x2（1，2），则满足以上条件的实数对（a，b）所构成的区域如图所示：由，得 A（3，2），z=（a+3）2+b2的表示点（a，b）到点（3，0）的距离平方，又因为 PA2=（33）2+（20）2=4，PB2=9，P 到直线 4+2a+b=0 的距离等于，则 z=（a+3）2+b2的取值范围为（），故答案为：（，9）二解答题（共六大题，二解答题（共六大题，9090 分）分）15如图，已知平面 DBC 与直线 PA均垂直于三角形 ABC 所在平面，（1）求证：PA平面 DBC；（2）若 ADBC，求证：平面 DBC平面 PAD【考点】LY：平面与平

21、面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）过点 D 作 DOBC，交 BC 于 O，则 DO平面 ABC，从而 PADO，由此能证明 PA平面 DBC（2）推导出 BCPA，ADBC，从而 BC平面 PAD，由此能证明平面 DBC平面 PAD【解答】证明：（1）在BDC 中，过点 D 作 DOBC，交 BC 于 O，平面 DBC 与直线 PA均垂直于三角形 ABC 所在平面，DO平面 ABC，PADO，PA 平面 DBC，DO 平面 DBC，PA平面 DBC解：（2）直线 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，BCPA，ADBC，ADPA=A，BC平面 PAD，BC 平面 DBC，

22、平面 DBC平面 PAD16在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边长，且 c=3bcosA（1）求的值；（2）若 tanC=试求 tanB 的值【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）由余弦定理得 c=3b，由此能求出的值（2）由正弦定理，得 sinC=3sinBcosA，从而 sinAcosB=4sinBcosA，进而 tanA=4tanB，由 tanC=tan（A+B）=，能求出 tanB【解答】解：（1）ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边长，且 c=3bcosAc=3b，整理，得：3（a2b2）=5c2，=（2）c=3bcosA，由正弦定理，得

23、 sinC=3sinBcosA，即 sin（A+B）=3sinBcosAsinAcosB+cosAsinB=3sinBcosA从而 sinAcosB=4sinBcosAcosAcosB0，=4tanA=4tanB，又 tanC=tan（A+B）=，=，解得 tanB=17已知数列an满足：a1=1，a2=a（a0）数列bn满足 bn=anan+1（nN*）（1）若an是等差数列，且 b3=12，求 a 的值及an的通项公式；（2）当bn是公比为 a1 的等比数列时，an能否为等比数列？若能，求出 a的值；若不能，请说明理由【考点】88：等比数列的通项公式；84：等差数列的通项公式【分析】（1）

24、推导出b3=a3a4=（a1+2d）（a1+3d）=（1+2d）（1+3d）=12，从而d=1或 d=，再由 a=a1+d=1+d0，得 d=1，由此能求出 a 的值及an的通项公式a2=a 得 a3=a2，（2）推导出=a1，从而 a3=a1，假设an为等比数列，由 a1=1，从而 a2=a1，此方程无解，从而得到数列an一定不为等比数列【解答】解：（1）an是等差数列 a1=1，a2=a，bn=anan+1，b3=12b3=a3a4=（a1+2d）（a1+3d）=（1+2d）（1+3d）=12即 d=1 或 d=，又a=a1+d=1+d0，得 d1d=1，a=2，an=n（2）an不能为等

25、比数列，理由如下：bn=anan+1，bn是公比为 a1 的等比数列=a1，a3=a1假设an为等比数列，由 a1=1，a2=a 得 a3=a2，a2=a1，此方程无解，数列an一定不为等比数列18某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=，其中 k，b 均为常数当关税税率为 75%时，若市场价格为5 千元，则市场供应量均为1 万件；若市场价格为7 千元，则市场供应量约为 2 万件（1）试确定 k、b 的值；（2）市场需求量 q（单位：万件）与市场价格 x 近似满足关系式：q=2xp=q时，市场价格称为市场平衡价格当市场平衡价格不超过

26、 4 千元时，试确定关税税率的最大值【考点】5D：函数模型的选择与应用（xb）2【分析】（1）根据“关系式：p=2（1kt），及市场价格为 5 千元，则市场供应量均为 1 万件；市场价格为 7 千元，则市场供应量约为 2 万件”，可得到从而求得结果（x5）2=2x，可求得 t=1+=1+，由双勾函数 f（x）=x+（2）当 p=q 时，可得 2（1t）在（0，4上单调递减，可知当 x=4 时，f（x）有最小值【解答】解：（1）由已知可得：，解得：b=5，k=1（x5）2=2x（2）当 p=q 时，2（1t）（1t）（x5）2=xt=1+=1+，而 f（x）=x+在（0，4上单调递减，当 x=4

27、 时，f（x）有最小值，此时 t=1+取得最大值 5；故当 x=4 时，关税税率的最大值为 500%19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：的左顶点为 A，与 x 轴平行的直线与椭圆 E 交于 B、C 两点，过B、C 两点且分别与直线 AB、AC 垂直的直线相交于点 D已知椭圆 E 的离心率为，右焦点到右准线的距离为（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）证明点 D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求BCD 面积的最大值【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）利用，计算即可；（2）通过设 B、C 点坐标、写出直线 AB、AC、BD、CD 的斜率，联立直线 BD、

28、CD 的方程，计算即可；（3）通过计算可得点 D 的纵坐标，进而可得点 D 到直线 BC 的距离，利用三角形的面积公式及基本不等式即得结论【解答】（1）解：由题意得，解得，b2=a2c2=4，椭圆 E 的标准方程为（2）证明：设B（x0，y0），C（x0，y0），显然直线 AB，AC，BD，CD 的斜率都存在，设为 k1，k2，k3，k4，则，直线 BD，CD 的方程为：消去 y 得：，化简得 x=3，故点 D 在定直线 x=3上运动（3）解：由（2）得点 D 的纵坐标为，又，则，点 D 到直线 BC 的距离 h=，将 y=y0代入，得，BCD 面积=，当且仅当，即时等号成立，故时，BCD 面

29、积的最大值为20已知函数 g（x）=+lnx在1，+）上为增函数，且（0，），f（x）=mxlnx（m R）（）求 的值；（）若 f（x）g（x）在1，+）上为单调函数，求 m 的取值范围；（）设 h（x）=，若在1，e上至少存在一个 x0，使得 f（x0）g（x0）h（x0）成立，求 m 的取值范围【考点】3F：函数单调性的性质；3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性，【分析】（1）由题意可知由（0，），知 sin0再由 sin1，结合（0，），可以得到 的值（2）由题设条件知mx22x+m0 或者 mx22x+m0 在1，+）恒成立由此知，由此可知 m 的取值范围（3）构造F

30、（x）=f（x）g（x）h（x），由此入手可以得到m 的取值范围是【解答】解：（1）由题意，0 在1，+）上恒成立，即（0，），sin0故 sinx10 在1，+）上恒成立，只须sin110，即 sin1，只有 sin=1结合（0，），得（2）由（1），得 f（x）g（x）=f（x）g（x）在其定义域内为单调函数，mx22x+m0 或者 mx22x+m0 在1，+）恒成立mx22x+m0 等价于 m（1+x2）2x，即，而，（）max=1，m1mx22x+m0 等价于 m（1+x2）2x，即在1，+）恒成立，而（0，1，m0综上，m 的取值范围是（，01，+）（3）构造 F（x）=f（x）g（

31、x）h（x），当 m0 时，x1，e，所以在1，e上不存在一个 x0，使得 f（x0）g（x0）h（x0）成立当 m0 时，因为 x1，e，所以 2e2x0，mx2+m0，所以（F（x）0 在 x1，e恒成立故 F（x）在1，e上单调递增，只要，解得故 m 的取值范围是三、解答题（共三、解答题（共 4 4 小题，满分小题，满分 4040 分）分）21已知变换 T 把平面上的点 A（2，0），B（0，）分别变换成点 A（2，2），B（，）（1）试求变换 T 对应的矩阵 M；（2）若曲线 C 在变换 T 的作用下所得到的曲线的方程为 x2y2=4，求曲线 C 的方程【考点】OC：几种特殊的矩阵变换

32、【分析】（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；（2）先设 P（x，y）是曲线 C 上的任一点，P1（x，y）是 P（x，y）在矩阵 T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出 P 与 P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可【解答】解：（1）设矩阵 M=，根据题意得=，则，A（2，0），变换为 A（2，2），得：a=1，c=1，B（0，）变换为 B（，），得：b=1，d=1，矩阵 M=；（2）变换 T 所对应关系，代入 x2y2=4，得：xy=1，若曲线 C：xy=1，在变换 T 的作用下所得到的曲线的方程为 x2y2=4，曲线 C 的方程 xy=1

33、22设 S 是不等式 x2x60 的解集，整数 m、nS（1）求“m+n=0”的概率；（2）设=m2，求 的分布列及其数学期望【考点】CF：几何概型；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）根据题意首先求出不等式的解集，进而根据题意写出所有的基本事件（2）根据所给的集合中的元素并且结合题意，列举出所有满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到概率，即可得到离散型随机变量 m 的分布列，进而求出其期望【解答】解：（1）由 x2x60 得2x3，即 S=x|2x3，由于整数 m，nS 共有 66=36 个有序实数对，满足 m+n=0，所以 A 包含的基本事件为（2，2），（2，2），（1，1），

34、（1，1），（0，0）共有 5 个，由古典概型的公式得到 m+n=0”的概率为：（2）由于 m 的所有不同取值为2，1，0，1，2，3，所以=m2的所有不同取值为 0，1，4，9，且有 P（=0）=，P（=1）=，P（=4）=，P（=9）=，故 的分布列为P0149所以 E=0+1+4+9=23如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，ABAC，M 是 CC1的中点，N 是 BC 的中点，点 P 在直线 A1B1上，且满足（1）当 取何值时，直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大？（2）若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45，试确定点 P

35、的位置【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；MQ：用空间向量求直线与平面的夹角【分析】（1）以 AB、AC、AA1分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，可得向量的坐标关于 的表示式，而平面 ABC 的法向量，可建立 sin 关于 的式子，最后结合二次函数的性质可得当时，角 达到最大值；（2）根据垂直向量的数量积等于0，建立方程组并解之可得平面PMN 的一个法向量为，而平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角等于向量、所成的锐角，由此结合已知条件建立关于 的方程并解之，即可得到 的值，从而确定点 P 的位置【解答】解：（1）以 AB、AC、AA1分别为 x 轴、y 轴

36、、z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，则，易得平面 ABC 的一个法向量为则直线 PN 与平面 ABC 所成的角 满足：（*），于是问题转化为二次函数求最值，而，当 最大时，sin 最大，所以当时，同时直线 PN 与平面 ABC 所成的角 得到最大值（2）已知给出了平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45，即可得到平面 ABC 的一个法向量为，设平面 PMN 的一个法向量为，由得，解得令 x=3，得，于是平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45，解之得：，故点 P 在 B1A1的延长线上，且24在（1+x+x2）n=Dn0+Dn1x+Dn2x2+Dnrxr+Dn2n1x2

37、n1+Dn2nx2n的展开式中，把Dn0，Dn1，Dn2，Dn2n叫做三项式系数（1）当 n=2 时，写出三项式系数 D20，D21，D22，D23，D24的值；（2）类比二项式系数性质 Cn+1m=Cnm1+Cnm（1mn，mN，nN），给出一个关于三项式系数 Dn+1m+1（1m2n1，mN，nN）的相似性质，并予以证明【考点】DB：二项式系数的性质；F3：类比推理【分析】（1）由（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1，即可得出（2）类比二项式系数性质 Cn+1m=Cnm1+Cnm（1mn，mN，nN），三项式n+1=1 x x2n 1 x x2=+系数有如下性质：（1m2n1

38、）由于（1+x+x2）（+）（+），即（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）（Dn0+Dn1x+Dn2x2+Dnrxr+Dn2n1x2n1+Dn2nx2n）比较上式左边与右边 xm+1的系数即可得出【解答】解：（1）因为（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1，三项式系数 D20=1，D21=2，D22=3，D23=2，D24=1（2）（2）类比二项式系数性质 Cn+1m=Cnm1+Cnm（1mn，mN，nN），三项式系数有如下性质：=+（1m2n1）因为（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）n（1+x+x2），所以（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）（Dn0+Dn1x+Dn2x2+Dnrxr+Dn2n1x2n1+Dn2nx2n）上式左边 xm+1的系数为，而上式右边 xm+1的系数为+（1m2n1）因此=+（1m2n1）