因式分解法解一元二次方程典型例题.pdf

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1、典型例题一典型例题一例 用因式分解法解下列方程：(1)y27y60；(2)t(2t1)3(2t1)；(3)(2x1)(x1)1解：（1）方程可变形为(y1)(y6)0y10 或y60y11，y26(2)方程可变形为t(2t1)3(2t1)0(2t1)(t3)0，2t10 或t30t1，t23(3)方程可变形为 2x23x0 x(2x3)0，x0 或 2x30 x10，x2说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了

2、(2)应用因式分解法解形如(xa)(xb)c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(xe)(xf)0 的形式，这时才有x1e，x2f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x11 或x11x11，x22(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t1)，请同学们思考典型例题二典型例题二例 用因式分解法解下列方程6x23 3x 2 2x63212解：把方程左边因式分解为：(2x3)(3x2)02x3 0或3x2 0 x1 32,x223说明:对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。典型例题三

3、典型例题三例 用因式分解法解下列方程。2y2 y 15解:移项得：2y2 y 15 0把方程左边因式分解得：(2y 5)(y 3)02y 5 0或y 3 05y1,y23.2说明:在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。典型例题四典型例题四例用因式分解法解下列方程（1）6x213x2 0；（2）3(2x1)29(3x2)2 0；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项

4、式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.解：（1）原方程可变形为(6x1)(x2)0,6x1 0或x2 0，1x1,x2 2.6（2）原方程可化为(2 3x3)2(3 3x6)2 0，即(2 3x3 3 3x6)(2 3x3 3 3x6)0，(5 3x3 6)(3 63x)0，5 3x3 6 0或3 63x 0，x12 3 1,x212 3.5说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也

5、是此法.典型例题五典型例题五例用因式分解法解方程：（1）x25x36 0；（2）2(2x3)23(2x3)0；（3）x2(22 2)x3 2 2 0；（4）y2(2 3 3 2)x6 6 0.分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为AB 0的形式，然后通过A 0或B 0，求出x1,x2.解：（1）(x9)(x4)0，x9 0或x4 0.x1 9,x2 4.（2）(2x3)(4x63)0，即(2x3)(4x9)0.2x3 0或4x9 0，39x1,x2.24（3）(x1)x(32 2)0，即x1 0或x(32 2)0.x1 1,x2 32 2.（4）(y 2 3)(y 3 2)0，即y

6、2 3 0或y 3 2 0，y1 2 3,y2 3 2.说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解.典型例题六典型例题六例用适当方法解下列方程：1（1）2x25 0；（2）5x22 2(1 x)x(x)；2（3）2(x3)22(x21)4x1；（4）x24 3x10 0（5）3x27x4 0（用配方法）解：（1）移项，得2x2 5，方程两边都除以 2，得x2解这个方程，得x 5，25，2x 即110，2x1（2）展开，整理，得1110，x2 10.224x2 x 0.方程可变形为x(4x1)0或4x1 0，1x1 0,x2.4（3）展开，整理

7、，得4x216x15 0，x 0方程可变形为(2x3)(2x5)02x3 0或2x5 035x1,x2.22（4）a 1,b 4 3,c 10,b24ac (4 3)24110 8 0，x(4 3)84 3 2 2 2 3 2.212x1 2 3 2,x2 2 3 2（5）移项，得3x27x 4，方程各项都除以 3，得74x2x .33配方，得7747x2x()2()2，363671(x)2636解这个方程，得x即71,664，x21.3说明:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式x1ax2bxc 0(a 0)，若b 0，a、c 异号时，可用直接开平方法求解，如（l）题若a 0

8、，b 0,c 0时，可用因式分解法求解，如（2）题若 a、b、c均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4）题配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程(x3)24 0可 用 直 接 开 平 方 法 或 因 式 分 解 法 求 解 又 如 方 程(x2)(4x1)(x1)(x2)也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得(x2)(4x1)(x1)0，用因式分解法求解，得2x1 2,x2，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以(x2)，这3会丢掉一个根x 2也就是方程两

9、边不能除以含有未知数的整式典型例题七典型例题七例解关于x的方程20m2x211mnx3n2 0（m 0）解法一：原方程可变形为(5mxn)(4mx3n)05mxn 0或4mx3n 0m 0，x1解法二：n3n,x2.5m4m，a 20m2b 11mn，c 3n2，b24ac(11mn)2420m2(3n2)361m2n2 0，又m 0，11mn36m2n211mn19mn.x 22220m40mn3n,x2.5m4m说明 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根

10、据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单典型例题八典型例题八x1例已知m2 1，试解关于x的方程mx(x2)2 (x1)(x1).分析由m2 1，容易 得到m 3或m 1整理 关干 x 的方程，得(m1)x22mx3 0题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当m-1 0时，方程是一元一次方程；当m1 0时，方程是一元二次方程。解：由m2 1，得m2 1,m1 3,m21.整理mx(x2)2 (x1)(x1)，得(m1)x22mx 3 0.当m 3时，原方程为2x26x3 0，解得x13333,x222当m 1时，原方程为2x3 0，解得3x.2

11、当m 3时，x13333,x2223当m 1时，x.2填空题填空题1方程(x2)2(x2)的根是2方程(x3)(x1)6x4的解是3方程(2y 1)23(2y 1)2 0的解是3答案：1x1 2，x2 32x112，x2123y1 1，y2.2解答题解答题1用因式分解法解下列方程：（1）(x2)2 2x4；（2）4(x3)2 x(x3)0；（3）10 x211x6 0；（4）9(x2)2 4(x1)2。（5）x2 x 0；（6）x22x35 0；（7）x27x10 0；（8）x29x18 0；（9）10 x211x6 0；（10）6x211x7 0.2.用因式分解法解下列方程：（1）(x3)(

12、x1)5；（2）14(x4)29(x4)65 0；11（3）3(x)25(x)2 0。223用因式分解法解下列关于x的一元二次方程：（1）x2 xk2x 0；（2）x22mxm2n2 0；（3）x23mx54m2 0；（4）15m2x217mx18 0(m 0)；（5）abx2(a2b2)xab 0(ab 0)4用适当的方法解下列方程：（1）4x249 0；（2）4x29x 0；（3）x2 x 2；（4）x22x 624；（5）x2 x1 0；（6）x2 2 5x 2 0.5已知三角形的两边分别是 1 和 2，第三边的数值是方程2x25x3 0的根，求这个三角形的周长.答案：1（1）x1 2，

13、x2 0；（2）x1 3，x2 4；324（3）x1，x2；（4）x18，x2.255（5）x1 0，x2 1（6）x1 5，x2 7（7）x1 2，x2 5（8）x1 3，x2 6（9）x13217，x2（10）x1，x2.25232.（1）x1 2，x2 4；34115（2）x1，x2；（3）x1，x2.27623（1）x1 0，x2 k21（2）x1 mn，x2 mn（3）x1 6m，x2 9m（4）29ba，x2（5）x1，x2.3m5mab7794（1）x1，x2（2）x1 0，x2（3）x1 2，x2 1（4）x1 26，224x1 x2 24（5）x11515，x2（6）x15

14、3，x25 3225提示：三角形两边之和大于第三边，三角形周长为4.5.因式分解的多种方法因式分解的多种方法编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。1 1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：2x2-3x=0解：x(2x-3)=0 x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结

15、：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例二：x2-4 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)2解：原式=(x+2)(x-2)3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数 a1,a2 的积 a1a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1,c2 的积 c1

16、c2，并使 a1c2+a2c1 正好是一次项 b，那么可以直接写成结果例三：把 2x2-7x+3 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：21221；分解常数项：3=13=31=(-3)(-1)=(-1)(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 12 313+21=51 32 111+23=71-12-31(-3)+2(-1)=-51-32-11(-1)+2(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等

17、于一次项系数 7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax2+bx+c(a0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即 a=a1a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把 a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数 b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1 与 a2x+c2 之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。4

18、】分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来需要可持续性！例四：x2+4x+4y2-y2可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式=（x+2）2-y2=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。5】换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上例五：（x+y）2-2(x+y)+1 分解因式考虑到 x+y 是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a 代替 x+y那么原式=a2-2a+1=(a-1)2回代原式=（x+y-1）26】主元法这种方法要难一些，多练即可即把一个字母作为主要的未知数

19、，另一个作为常数例六：因式分解 16y+2x2(y+1)2+(y-1)2x4分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y 为主元会使原式极其烦琐，而以 x 为主元的话，原式的难度就大大降低了。原式=(y-1)2x4+2(y+1)2x2+16y-【主元法】=(x2y2-2x2y+x2+8y)(x2+2)-【十字相乘法】可见，十字相乘十分重要。7】双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如ax2bxycy2dxeyf 的二次六项式在草稿纸上，将 a 分解成 mn 乘积作为一列，c 分解成 pq 乘积作为第二列，f 分解成 jk 乘积作为第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，

20、即第 1,2 列和 第 2,3 列 都 满 足 十 字 相 乘 规 则。则 原 式 （mx py j）（nx qy k）要诀：把缺少的一项当作系数为0，0 乘任何数得 0，例七：abb2ab2 分解因式解：原式 01a2abb2ab2（0ab1）（ab2）（b1）（ab2）8】待定系数法将式子看成方程，将方程的解代入这时就要用到 1】中提到的知识点了当一个方程有一个解 x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式例八：x2+x-2该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做，x2+x-2=0一眼看出，该方程有一根为x=1那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理，另一因

21、式的常数必为2（因为乘-1 要为-2）一次项系数必为 1（因为与 1 相乘要为 1）所以另一因式为（x+2）分解为(x-1)(x+2)9】列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上不足的项要用 0 补除的时候，一定要让第一项抵消例九：3x3+5x2-2 分解因式提示：x=-1 可以使该式=0，有因式（x+1）那么该式分解为（x+1）(3x2+2x-2)因式分解有 9 种方法，这么多？其实是不止的，还有很多很多。不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。(ab+b)2(a+b)2(a2x2)24ax(

22、xa)23a3b2c6a2b2c29ab2c3xy62x3y(3ab)24(3ab)(a3b)4(a3b)2(x2)(x3)(x2)(x4)12x229x15x(y2)xy14x24xyy24x2y32x413x320 x211x22x2-7xy-22y2-5x+35y-34m2+8mn+3n24n2+4n15x2+2x-8x2+3x-10.x2+x-62x2+5x-3x2+4x-2x2-2x-35ax+5bx+3ay+3byx-x+x-118a2-32b2-18a+24b初中数学因式分解的几种经典方法因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的

23、方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。【1 1】提取公因式】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：2x-3x=0解：x(2x-3)=02x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解 x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。【2 2】公式法】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例二：x2-4 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=22，适用平方差公式 a2-b

24、2=(a+b)(a-b)2解：原式=(x+2)(x-2)【3 3】十字相乘法】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数a1.a2的积a1.a2，把常数项 c 分解成两个因数c1.c2的积c1.c2，并使a c正好是一次项 b，那么可以直接写成结果例三：把2x2-7x+3 分解因式.1 2a2c1分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：21221；分解常数项：3=13

25、=31=(-3)(-1)=(-1)(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：112313+21=5132111+23=71-12-31(-3)+2(-1)=-51-32-11(-1)+2(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数 7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax2+bx+c(a0)，如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积，即a=a1.a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c=c1.c2，把a1,a2,c1,c2，排列如下：a1c1a2c2a1c2a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若

26、它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数 b，即a1c2a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1 与a2xc2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。【4 4】分组分解法】分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来需要可持续性！例四：x24x4 y2可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式=(x2)2 y2=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。【5 5】换元法】换元法整体代入，免

27、去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上例五：(x y)22(x y)1分解因式考虑到 x+y 是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a 代替 x+y那么原式=a2-2a+1=(a 1)2回代原式=(x y 1)2【6 6】主元法】主元法这种方法要难一些，多练即可即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数例六：16y 2x2(y 1)2(y 1)2x4分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y 为主元会使原式极其烦琐，而以x 为主元的话，原式的难度就大大降低了。原式=(y1)2x42(y1)2x216y-【主元法】=(x2y22x2y x28y)(x22)-【十字相乘法】可见，十字相乘十分重要。

28、【7 7】双十字相乘法】双十字相乘法难 度 较 之 前 的 方 法 要 提 升 许 多。是 用 来 分 解 形 如ax2bxy cy2 dxey f的二次六项式在草稿纸上，将 a 分解成 mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成 jk 乘积作为第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第 1,2 列和第 2,3 列都满足十字 相 乘 规 则。则 原 式 （mx py j）（nx qy k）要诀：把缺少的一项当作系数为0，0 乘任何数得 0，例七：abb2ab2分解因式解：原式 01a2abb2ab2（0ab1）（ab2）（b1）（ab2）【8 8】待定系数法】待定

29、系数法将式子看成方程，将方程的解代入这时就要用到【1】中提到的知识点了当一个方程有一个解 x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式例八：x2+x-2该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做，x2+x-2=0一眼看出，该方程有一根为x=1那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理，另一因式的常数必为 2（因为乘-1 要为-2）一次项系数必为 1（因为与 1 相乘要为 1）所以另一因式为（x+2）分解为(x-1)(x+2)【9 9】列竖式】列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上不足的项要用 0 补除的时候，一定要让第一项抵消例

30、九：3x35x22分解因式提示：x=-1 可以使该式=0，有因式（x+1）那么该式分解为（x+1）(3x2+2x-2)因式分解还有许多方法，只是不太常见，就不在此列举了。考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。(abb)2(ab)2(a2 x2)24ax(xa)23a3b2c6a2b2c29ab2c3xy62x3y(3ab)24(3ab)(a3b)4(a3b)2(x2)(x3)(x2)(x4)12x229x15x(y2)xy14x24xy y24x2y 32x413x320 x211x22x27xy 22y25x35y 34m28mn3n24n24n155ax+5bx+3ay+3by12a2b(xy)4ab(yx)(x1)2(3x2)(23x)x211x24y212y28x24x5y43y328y2蚊子与牛一样重从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。有一天，它找到了牛，并说出了体重一样的理由。它认为，可以设自己的体重为 a,牛的体重为 b，则有：a22abb2=b22aba2左右两边分别因式分解为：(ab)2=(ba)2从而就有：ab=ba移项，得：2a=2b,即 a=b蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？若不一样，那么蚊子的证明究竟错在哪里呢？讲这个例子的目的何在？