导数的基本概念及性质应用.pdf

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1、勺基本概念及性质应用Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、知识点总结：导数的基本概念与运算公式1、导数的概念函数y=/(x)的导数/(%),就是当xfo时，函数的增量与自变量的增量式的比言的极限，即fx)=lim 言=limAxil,乂Axil说明：分子和分母中间的变量必须保持一致2、导函数函数y=/(x)在区间(a.b)内每

2、一点的导数都存在，就说在区/*)间(a.b)内可导，其导数也是(a b)内的函数，叫做f(x)的导函数，记作一(X)或,函数/(X)的导函数fx)在X=X。时的函数值/Vo),就是/(-)在凡处的导数。3、导数的几何意义设函数y=/(A)在点/处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(x,yO)处的切线斜率。4、求导数的方法(1)基本求导公式c =O(x y=nix-meQ)(sinx)*=cosx(cosx)/=-siiixr,nn(e =e ay=a lnxxxx(Inx)T(bg：)=就(2)导数的四则运算(w P)=u M(z/v)=uv+uvrf)=限(。)(3)复合函

3、数的导数设=g(X)在点X处可导，y=在点/(X)处可导，则复合函数/g*)J在点X处可导，于；(P(x)=f(x)导数性质：1、函数的单调性(1)设函数 y=/在某个区间内可导，若广0,则/为增函数；若八刈0 则 为减函数。(2)求可导函数单调区间的一般步聚和方法。1 确定函数/*)的定义区间求/(X),令尸(幻=0,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。把函数/*)的间断点(即/*)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小 到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数/*)的定义区间分成若干个小区 间。确定/)在各小开区间内的符号，根据/)的符号判定函数 f(x)在各个相应 小开区间内的增减

4、性。说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2.可导函数的极值极值的概念设函数/(刈在点 Xo 附近有定义，且对 3 附近的所有点都有 f(x)/(.%),则称而)为函数的一个极大(小)值点。称.为极大(小)值点。求可导函数极值的步骤。求导数/（X）求方程/）二 0 的根检验（X）在方程广*）二。的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y=X）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为 负，右侧为正，那么函数 y=/*）在这个根处取得极小值。说明：极值点的导数为 0,导数为。的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点 是极值点，相当于给出了一个/）=0 的

5、方程3.函数的最大值与最小值设 y=x）是定义在区间a,b上的函数，y=/（,在（a,b）内有导数,求函数 y 二在a,b上的最大值与最小值，可分两步进行。(1)=力在（a,b）内的极值。将 y=/（x）在各极值点的极值与。）、”加比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。若函数 y=/（x）在a,b上单调增加，则/S）为函数的最小值，/S）为函数的最大值；若函数在a,b上单调减少，则为函数的最大值，/S）为函数的 最小值 n说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、例题讲解题型一导数的概念则【例 1】设 f（x）在点 X。处可导，a 为常数,小/（等于（Xo）（Xo）（Xo

6、）Ar-04V【变式】设/（X）在与处可导 limAvfO一一2题型二导数的几何意义、物理意义【例 2】(1)求曲线 y=d 在点(1.1)处的切线方程；厂+1(2)运动曲线方程为 5=+2/，求 t=3 时的速度。r分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数 y=f(x)在人处的导数就是曲线 y=f(x)在点*。,九)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对 时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例 3】求下列函数单调区间y=f(x)=A3-x2-2x+5 2(3)y=x+x 0)(k(4)y=2x2-Intz题型四:利用导数求函数的最(极)值【例 4】求函数=-3x+l 在闭

7、区间-3,0上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像2、函数的定义域为开区间(/),导函数广(x)在伍力)内的图象如图所示，则函数在开区间(a/)内有极小值点()C.3 个D.4 个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例 6】已知函数/*)=父+底一 3 大在 x=l 处取得极值。(I)讨论/和/(-1)是函数/*)的极大值还是极小值；(II)过点 40,16)作曲线)，=/*)的切线，求此切线方程。【例 7】已知函数/卜)=加+加+5 在点/处取得极大值 5,其导函数)，=广(力的图象经过点(1,0),(2,0)如图所示.求：(1)的值;。、b、c 的值.【例 8】已知函数

8、 f W=xax1+hx+c,当 1 时，取得极大值 7；当 m3 时，取得极小值.求这个极小值及、仄。的值【例 9】已知/(x)=a/+*+c 的图象经过点(o i),且在 x=l 处的切线方程是y=x-2(1)求 y=/(的解析式；(2)求)，=/*)的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例 10(1)如果函数.)=/+”的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数的取值范围是()A.(0,+?)B.0,+?)C.(3,+?)D.3,+?)(2)如果函数 4、)=/+御的图象上有平行于 x 轴的切线，则实数。的取值范围是【例 11已知函数/次+2(也 cwR 且工 0)在区间(上都是增函数,在(

9、0,4)上是减函数.(I)求的值；(2)求的取值范围题型八：综合应用【例 平面向量之=(6-1)；=(1 乎)，若存在不同时为 0 的实数 k 和，使1=1+(产-3)反 5=-%+区，且元_L ,试确定函数 k=/)的单调区间例题答案：【例 1】解：/（%+处）-/（%一 处）1zkr11m_/（与+处）一/1%）+/（/）一/（X0 一公）-uni-*T）Av=a Hm/。+心.）一/（入。）+hm/（”&）-/（%）心 D4 Ax-aalO aX=2x0）故选【变式】：-12（x+1）2A*,2.x 2 2x（厂+1 广（厂+1）-2-21=二二=0,即曲线在点(1,1)处的切线斜率 k

10、=o0 V因此曲线 y=f 在(L 1)处的切线方程为尸 1广+1【例 2】(2)S=(?)+(2f2)=2_27T)+4/=_:+J+4/26272【例 3】(1)yf=3x2-x-2=(3x+2)(x-l)x e(-00,-)U(1,+s)时yf 0 22 2xe(-pl)/o x e(-攵，o)U(o,攵)y o(s,-k),(攵，+s)T9f(k,0),(0,k)J14r2-1(4)y=4x-=-定义域为(。，+8)x xx e(0,)yr 0 J x e(,+)yr 0 T22【例 4】略，注意强调学生的步骤完整性【例 5】1、C 2、A【例 6】分析：分析工=1 处的极值情况，关键

11、是分析 41 左右/3 的符号.(2)要分清点 4(0,16)是否在曲线上.解：(1)f(x)=3a+2bx-3,依题意，f1(1)=f(-1)=0,即3a+26-3=0,3a 2Z-3=0.解得=0.(x)=x -3x,f(x)=3AT-3=3(x+1)(x-1).令广(X)=0,得 hl,x=l.若 xE(-co,-1)u(1,+co),则:(x)0,3故/(x)在(-8,-1)上是增函数，f M在(1,+00)上是增函数.若 xE(-1,1),则/(X)0,-XI31010单调递增区间为（-蜉,0）,（3?，+S）A(2)(-?,0【例 10】解：由条件知 x=0 是函数 y=/（x）的

12、极值点./(1)=3 加一 2%+R 令,(0)=0,得=0.已求=。，.r（x）=3aF_2x.令 r（力=0,得”0,2.由条件知 x=03a为极大值点，则 X=3 应为极小值点.又知曲线在区间 9 4）上是减函数.3a246。一 1 八/日=丁的得_1/3.【例 解：由“=（6,一 1）,3=（5，）得 5。=0,同=2./?=1 +(r2-3)b(-ka+th)=0,kd?+tab-kit1-3)t74?+r(/2-3)b2=0-4A+f 3-3/=0,攵=_L(/-3r),/(r)=!(产 3r)443333/=一二 0,得，1；二 一二 0 B./(xo)0B.a0J(2)0,4+

13、，-2WaW2.80所以 a 的取值范围为-2,2.解法二:令 r（幻=0 即 3/_ 2 戊-4=0,由求根公式得：a Ja2+12大=-（内）所以/（X）=3,一 2ax-4.在（一 s,xJ 和昆，）上非负.由题意可知，当 x2 时，/（x）K）,从而 xi-2,X22,即 隹卫+6 解不等式组得2Wa2.J2+12 6-67.，a 的取值范围是-2,2.四、课堂小结：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数 的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考 察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的

14、应用.也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的 单调性、极值、最值,知识点需要熟悉，但是更重要的是掌握其本质，并能灵活应用于各种题型。五、课下作业：1、函数)，=/+工的递增区间是()A.(0,+s)B.(-oo,l)C.(00,4-00)D.(l,+8)2、/(-)=谒+3/+2,若八-1)=4 测。的值等于()19A.3 16B.3 13C.3-10D.33、函数，=-以+3 在区间卜 2,3上的最小值为()A.72 B.36 C.12 D.04、曲线 y=1-4x 在点(1,-3)处的切线倾斜角为；5、函数了=/+/-5-5 的单调递增区间是_35答案：1、C；2、D；3、D；4、/r；5、(8,),(1,+s)