高考数学集合总复习-等差数列以及其前n项和.pdf

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1、等差数列及其前 n 项和答案自主梳理a 亠 ban+1-an=d(2)A=?厂 等差中项(2)na1+n(n1.(1)2 差2.(1)ai+(n 1)d(n m)dap+aqam+an=2ap(3)递增数列自我检测1)d(a1+an)n23.An+Bn 4.(1)am+an=2递减数列 常数列课堂活动区例 1 解题导引(1)等差数列an中，a1和 d 是两个根本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式，列方程组解 a1和 d,是解决等差数列 问题的常用方法；(2)由 a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用 恰当的公式，利用方程组观

2、点求解.解(1)由 an=a1+(n 1)d,a10=30,a20=50,a1+9d=30,得方程组a1+19d=50,所以 an=2n+10.，-、-n(n 1),_(2)由 Sn=na1+2 d,Sn=242.解得d=2.a1=12,n(n 1)得 12n+2=242.解得 n=11 或 n=22(舍去).变式迁移 1 解由题意，知10X9S10=10a1+2d=110,(a1+d)2=a1&+3d),x即2a1=22,a1d=d2.+9d-dz0,-a1=d.解得 a1=d=2,二 an=2n.例 2 解题导引1.等差数列的判定通常有两种方法：2an=an+第一种是利用定义，即an an

3、-1=d(常数)(n2)，第二种是利用等差中项，即1+an1(n 2).通项法：假设数列an的通项公式为 n 的一次函数，即 an=An+B，那么an是等差数列.前 n 项和法：假设数列 an的前 n 项和 3 是 Sn=An2+Bn 的形式A,B 是常数，那么an为等差数列.3假设判断一个数列不是等差数列，那么只需说明任意连续三项不是等差数列即可.1n2,n N,bn=an11an11*1an一 1证明Tan=21当 n?2 时,bn一 bn1=an1111an1 12 1an11=1.an11又 b1=1a1 1an1an1152.5数列bn是以一5为首项，以 1 为公差的等差数列.解 由

4、1知，bn=n?，贝Van=1+22=1+R，设函数fx=1+右，易知 fx在区间 一a,2 和 2+g内为减函数.当 n=3 时，an取得最小值一 1;，当n=4时an取得最大值 3.变式迁移 2 解1/a1=5,-a2=2a1+22 1=13,a3=2a2+23 1=33.a+入假设存在实数 人使得数列2 厂为等差数列.设 bn=玄2I由 bn为等差数列，那么有 2b2=b1+b3.a2+入 a+入 a3+入2x 2=-1-322 223-13+入 5+入 33+入+r,解得1.事实上，bn+1 bn=号 1 12ni(an+i 2an)+1=尹(2n 1-1)+1=1.+综上可知，存在实

5、数例 3 解题导引入=-1，使得数列岂2异为首项为 2、公差为 1 的等差数列.假设 m+n=p+q(m,此题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：n 1n,p,q N),那么 am+an=ap+aq,从中我们可以体会运用性质解决冋题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想(把 a1+厂 d 看作整体).解 方法一设此等差数列为an共 n 项，依题意有 a1+a2+a3+a4+a5=34,an+an1+an2+an3+an4=146.根据等差数列性质，得a5+an-4=a4+an-3=a3+an-2=a2+an-1=a1+an.将两式相加，得(a+an)+(a2+an1)+(a3+an2)+(

6、a4+an3)+(a5+an4)=5(a1+an)=180,二 a1+an=36.由 Sn=21=警=360,得 n=20.所以该等差数列有 20 项.方法二设此等差数列共有 n 项，首项为 a1,公差为 d,5x4贝 U S5=5a1+2d=34,n(n 1)dSi Si5=2-(n 5)(n 6)1 (n 5)a1+na?d=5a1+(5n 15)d=146.两式相加可得 10a1+5(n 1)d=180,+-2d n 1=18,n(n1).代入 Sn=nai+2dn 1=n a1+yd=360,得 18n=360,n=20.所以该数列的项数为 20 项.变式迁移 3 解(1)依题意，知

7、a1+a2+a3+a4=21,an3+an-2+an1+an=67,-a1+a2+a3+a4+an3+an2+an1+an=88.88 a1+an=4=22.乙丄n(a1=+286an,)/Sn=26.n=(2)/Sn,S2n Sn,S3n S2n成等差数列，S3n=3(S2n Sn)=54.设项数为 2n 1(n N*)，那么奇数项有 n 项，偶数项有 n 1 项，中间项为_S(a1+a2n1)n奇=2=n an=44,c5(a2+a2n-2)n(1)偶=2=(n 1)an=33,n=4n 1 3.n=4,an=11.数列的中间项为 11,项数为 7.例 4 解题导引假设an是等差数列，求前

8、 n 项和的最值时，(1)假设 aan 010,d0,且满足，前 n 项和 Sn最大；an+1 0anW0假设 a10，且满足,前 n 项和 Sn最小;an,那么ai(3)除上面方法外，还可将an的前 n 项和的最值问题看作-an=a9+(n9)d=3n63,题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n N*.an+1=3n60,解 方法一 2an+1=an+an+2,Aan是等差数列.an=3n63w0设d20，由 aW3=10,S6=72,令an的首项为 ai,公差为，得wn21,an+1=3n 60?0ai+2d=10ai=2得.S20=S21=630，,6ai+15d=72d=4A n2

9、0 或n21 时，Sn30最小且最小值为一 630.a=n=4nb=*an=2nSn关于的二次函数最值问31.由(1)知前 20 项小于零，第 21 项等于 0,以后各项均为正数.得 29 n 当 nw+21 时，Tn=Sn=n2+?n.0,Tn N*,A n=15.Abn前 15 项为负值.A S15最小.解2n31可知 b1=29,d=2,15X(29+2X15=225.31)2-S15=方法二同方法一求出 bn=2n 31.n(29+2n 31)22/Sn=2=n2 30n=(n 15)2 225,当 n=15 时，Sn有最小值，且最小值为一 225.变式迁移 4 解(1)设等差数列an

10、的首项为 a1,公差为 d,T a16+a17+a18=3a17=36,a17-a17=一 12,Ad=a917 9当 n21 时,Tn=Sn-2S21=|n21232门+1 260.32123-尹+-n(nw21,nN)综上，Tn=苏-罗n+1 260(n21,n N)_*课后练习区9.(1)证明 an是等差数列,2 a2a1+d,a4a1+3d,a4,于是(a1+d)10X9解 由条件 S10=110 和 S10=10a1+d，得到 10a1+45d=110.由1知，ai=d,代入上式得 55d=110,故 d=2,an=a1+(n-1)d=2n.因此，数列an的通项公式为 an=2n,n

11、 N*.10.解1设等差数列 an的首项为 a1,公差为 d，由于 a3=7,a5+a7=26,所以 ar+2d=7,2a1+10d=26,解得 a1=3,d=2.由于 an=a1+(n-1)d,Sn=血严,所以 an=2n+1,Sn=n(n+2).因为 an=2n+1,所以 an-1=4n(n+1),因此bn=in-出.故 Tn=b1+b2+bn=-1+1-知十1-丄4223n n+11_1_=41-n+14(n+1)所以数列bn的前n项和Tn=命.I,2又a2a(6 分)(12(4 分)(6 分)(8 分)(121 111.(1)证明 将 3anan-i+an an1=0(门?2)整理得一

12、一=3(n 2).an an11所以数列为以 1 为首项，3 为公差的等差数列.an解由(1)可得=1+3(n 1)=3n 2,所以an=13n 2.13解 假设入a+n?2 的整数恒成立,an+1即 一+3n+1入对 n 2 的整数恒成立.3n 2整理得疋(3n土1)(3n2).(9 分)3(n 1)令 C(3n+1)(3 nn=2)3(n 1)(3n+4)(3 n+1)(3n+1)(3 n 2)=(3n+1)(3 n 4)3n 3(n 1)=3n(n 1)因为 n?2,所以 Cn+1 Cno,即数列Cn为单调递增数列，所C2最28以小，所以入的取值范围为一2828.(4 分)(7(11 分)(14 分)