抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程.pdf

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1、抛抛 物物 线线 的的 焦焦 点点 弦弦-经经 典典 性性 质质 及及 其其 证证 明明过过 程程(共共 5 5 页页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-有关抛物线焦点弦问题的探讨有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线y2 2px(p0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点结论结论 1 1：AB x1 x2 ppp)(x2)x1 x2 p222p结论结论 2 2：若直线：若直线 L L 的倾斜角为的倾斜角为，则弦长，则弦长AB sin2AB AF BF (x1证:(1)若(2)若2时,直线 L的斜率不存在

2、，此时 AB 为抛物线的通径,AB 2p结论得证2时,设直线 L 的方程为：y (x pp)tan即x ycot代入抛物线方程得22y22pycot p2 0由韦达定理y1y2 p2,y1 y2 2pcot由弦长公式得AB 1 coty1 y2 2p(1 cot)结论结论 3 3：过焦点的弦中通径长最小过焦点的弦中通径长最小222p2sinsin212p 2pAB的最小值为2p,即过焦点的弦长中通径长最短.sin2S2oABp3结论结论 4 4：(为定值)AB811OF BF sinOF AF sin22111p2pp2OF AF BFsinOF AB sinsin222 2 sin22sin

3、2SP3OABAB8SOAB SOBF S0AF2p2结论结论 5 5：(1)(1)y1y2 p(2)x(2)x1 1x x2 2=42y1y2(y1y2)2P2证x1,x2,x1x222p2p44P22结论结论 6 6：以：以 ABAB 为直径的圆与抛物线的准线相切为直径的圆与抛物线的准线相切证：设 M 为 AB的中点，过 A点作准线的垂线 AA1，过 B 点作准线的垂线BB1，过 M点作准线的垂线 MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM1AA1 BB12AF BF2AB2故结论得证结论结论 7 7：连接：连接 A A1 1F F、B B1 1 F F则则 A A1 1F FB B1

4、 1F F AA1 AF,AA1F AFA1 AA1/OFAA1F A1FOA1FO A1FA同理B1FO B1FBA1FB1 90A1FB1 F结论结论 8 8：（：（1 1）AMAM1 1BMBM1 1（2 2）MM1 1F FABAB（3 3）M1F2 AF BF（4 4）设）设 AMAM1 1与与 A A1 1F F 相交于相交于 H H，MM1 1B B 与与FBFB1 1相交于相交于 Q Q 则则 MM1 1，Q Q，F F，H H四点共圆四点共圆（5 5）AM12 M1B 4M1M22证：由结论（6）知 M1在以 AB为直径的圆上 AM1BM1A1FB1为直角三角形，M1是斜边

5、A1 B1的中点A1M1 M1FM1FA1 M1A1FAA1F AFA1AA1F FA1M1 AA1M1 90 AFA1 A1FM1 90M1FAB2 M1F AF BF AM1BM1AM1B 90又A1F B1F2A1FB1 90所以 M1，Q，F,H四点共圆，AM1 AF BF M1B AB22AA21 BB12MM1 4MM1222结论结论 9 9：（1 1）A、O O、B B1 1三点共线三点共线（2 2）B B，O O，A A1 1三点共线三点共线（3 3）设直线）设直线 AOAO与抛物线的准线的交点为与抛物线的准线的交点为 B B1 1，则，则 BBBB1 1平行于平行于 X X轴

6、轴（4 4）设直线）设直线 BOBO与抛物线的准线的交点为与抛物线的准线的交点为 A A1 1，则，则 AAAA1 1平行于平行于 X X轴轴证：因为koAy1yy2y2p12,koB12 2，而y1y2 p2px1y1py122p2y22p koB1所以三点共线。同理可征（2）（3）（4）2p py23所以koA结论结论 1010：112FAFBp证：过 A 点作 AR 垂直 X 轴于点 R，过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S，设准线与x轴交点为E,因为直线L的倾斜角为则ER EF FR P AF cos AF AF P11cos1cosAFP同理可得11 cos112BFPFAFBp

7、结论结论 1111：AFAE(1)线段EF平分角PEQ (2)(3)KAEKBE 0BFBE(4)当2时 AE BE,当2时 AE不垂直于BE证:BB1/EF/AA1B1EEA1BFFA BF B1B,FA A1A B1EEA1B1BA1AAA1E BB1E 90A1EA相似于B1EBA1EAB1EBAEFA1EABEFB1EB90AEFBEF即EF平分角PEQAFBFAEBE直线AE和直线BE关于X轴对称KAEKBE0(4)当当2时，AFEFFBAEB90p时，设直线L的方程为y kx-将其代入方程y2 2px2222k2p2p k2 2得k x-p(k 2)x 0 设A(x1,y1),B(

8、x2,y2)则x1 x24k22y1y2p2 1x1x2=假设AE BE则KAEKBE1pp4x1x222pppppp即y1y2-x1x2 kx1-kx2-x1x2222222pp22p22p2k2 2 k212 k 1 x1x2x1 x2k 1 k 1 0k 1 2422k222 0不可能假设错误结论得证4111|AB|CD|2p结论结论 1212：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD，则推广与深化：推广与深化：深化深化 1 1：性质 5中，把弦 AB过焦点改为 AB 过对称轴上一点 E（a,0），则有y1y2 2pa22证：设 AB方程为 my=x-a，代入y 2px得：y 2pm

9、y 2ap 0，y1y2 2pa深化深化 2 2：性质 12 中的条件改为焦点弦 AB 不垂直于 x 轴，AB的中垂线交 x 轴于|FR|1|AB|2点 R，则py tga(x)2，证明：设 AB的倾斜角为 a，直线 AB的方程为：p2tg a(x px)2px2y 2px4代入得：，22p2x x(p 2pctg a)04即：22由性质 1 得|AB|x1 x2 p 2p 2pctg2a 2psin2a，x1 x2ppctg2a22|FM|cosacosa又设 AB的中点为 M，则，pctg2ap|FM|FE|cosa|cos2asin2a，|FR|1|AB|2，则有深化深化 3 3：过抛物

10、线的焦点 F作 n 条弦A1B1、A2B2、AnBn，且它们等分周角 2（1）i1n1|AiF|FBi|为定值；（2）i1n1|AiBi|为定值5证明：（1）设抛物线方程为由题意A2Fx a p,A1Fx a1cos2n 1,A3Fx a AnFx a nnn，11 cosa 1 cos(a)1 cos2asin2a2|A F|FB|pppp2，1所以1n 1sin2(a)sin2(a)11nn,2|A F|FB|A F|FB|pp22nn同理22n 1nsin2a sin2(a)sin2(a)sin2(a)nnn2，易知i1nn 122sin(a)sin(a)1sin2annn|AiF|FBi|p2p2p22p2|A1B1|pp2p2p1 cosa1 cos(a)1 cos2asin2a，（2）1|A1B1|nsin a1,2p|AnBn|22sin2(a n 1)n2p，i1n 1sin2(a)sin2(a)1sin annn|AiBi|2p2p2p4p6