高中数学必修《直线与方程》知识点总结与练习.pdf

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1、第八章平面解析几何第一节程知识能否忆起一、直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角直线的倾斜角与斜率、直线的方(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角 当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围为0，)_2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan_，倾斜角是 90的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：y2y1y1y2经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 k.x2x1x1x2二、直线方程的形式及适用条件名称点斜式斜截式两点式几何条件过点

2、(x0，y0)，斜率为 k斜率为 k，纵截距为 b过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2，y1y2)在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b(a，b0)方程yy0k(xx0)ykxbyy1xx1y2y1x2x1xy 1ab局限性不含垂直于 x 轴的直线不含垂直于 x 轴的直线不包括垂直于坐标轴的直线不包括垂直于坐标轴和过原点的直线截距式AxByC0(A，B 不全为 0)小题能否全取1(教材习题改编)直线 x 3ym0(mk)的倾斜角为()A30B60C150D1203，0，)得 150.3一般式解析：选 C由 ktan 32(教材习题改编)已知直线 l 过点 P(2,5)，且斜率为，

3、则直线 l 的方程为()4A3x4y140C4x3y140B3x4y140D4x3y1403解析：选 A由 y5(x2)，得 3x4y140.43过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为()A1B4D1 或 4C1 或 34m解析：选 A由 1，得 m24m，m1.m24(2012长春模拟)若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则 a 的值为_53a3解析：kAC1，kABa3.6454由于 A，B，C 三点共线，所以 a31，即 a4.答案：45若直线 l 过点(1,2)且与直线 2x3y40 垂直，则直线 l 的方程为_3解析：由已知得直线 l

4、 的斜率为 k.23所以 l 的方程为 y2(x1)，2即 3x2y10.答案：3x2y101.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论直线的倾斜角与斜率典题导入3例 1(1)(2012岳阳模拟)经过两点 A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则 y4()A1C0B3D2(2)(2012苏州模拟)直线 xcos 3y20 的倾斜角的范围是_32y132y4自主解答(1)tany2，因此 y21.y3.424

5、2(2)由题知 k3333cos，故 k，结合正切函数的图象，当 k0，时，3333530，当 k，0时，直线倾斜角，故直线的倾斜角的直线倾斜角 66350，.范围是6650，答案(1)B(2)66由题悟法1求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率 ktan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角 的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在以题试法1(2012哈尔滨模拟)函数 yasin xbcos x 的一条对称轴为 x，则直线 l：axby4c0 的倾斜角为()A45C120B60D135解析：选 D由函数 yf(x)asin xbcos x 的一条

6、对称轴为 x 知，f(0)f2，即b4a，则直线 l 的斜率为1，故倾斜角为 135.2(2012金华模拟)已知点 A(1,3)，B(2，1)若直线 l：yk(x2)1 与线段 AB相交，则 k 的取值范围是()1，A.2B(，212，D.21，C(，22解析：选 D由题意知直线 l 恒过定点 P(2,1)，如右图若 l 与线段AB 相交，则 kPAkkPB.1kPA2，kPB，212k.2直 线 方 程典题导入例 2(1)过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是_(2)(2012东城模拟)若点 P(1,1)为圆(x3)2y29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为_自

7、主解答(1)设所求直线方程为 x2ym0，由直线经过点(1,0)，得 1m0，m1.则所求直线方程为 x2y10.10(2)由题意得，kMN1，所以 kMN2，故弦 MN 所在直线的方程为 y12(x131)，即 2xy10.答案(1)x2y10(2)2xy10由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程以题试法3(2012龙岩调研)已知ABC 中，A(1，4)，B(6,6)，C(2,0)求：(1)ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式

8、方程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程解：(1)平行于 BC 边的中位线就是 AB，AC 中点的连线71因为线段 AB，AC 中点坐标分别为2，1，2，2，1xy22所以这条直线的方程为，127122xy整理一般式方程为得 6x8y130，截距式方程为1.131368y4x1(2)因为 BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为，即3421xy一般式方程为 7xy110，截距式方程为1.11117直线方程的综合应用典题导入例 3(2012开封模拟)过点 P(3,0)作一直线，使它夹在两直线 l1：2xy20 与 l2：xy30 之间

9、的线段 AB 恰被点 P 平分，求此直线的方程自主解答法一：设点 A(x，y)在 l1上，点 B(xB，yB)在 l2上xx23，由题意知yy20，BB则点 B(6x，y)，2xy20，解方程组6xy30，得16y3，11x，31603则 k8.1133故所求的直线方程为 y8(x3)，即 8xy240.法二：设所求的直线方程为 yk(x3)，点 A，B 的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，3k2x k2，解得4ky.k2AAykx3，由2xy20，ykx3，由解得xy30，6ky k1.xBB3k3，k1P(3,0)是线段 AB 的中点，4k6kyAyB0，即0，k2k1k28k0，

10、解得 k0 或 k8.若 k0，则 xA1，xB3，xAxB13此时3，k0 舍去，22故所求的直线方程为 y8(x3)，即 8xy240.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值以题试法4(2012东北三校联考)已知直线 l 过点 M(2,1)，且分别与 x 轴，y 轴的正半轴交于 A，B 两点，O 为原点(1)当AOB 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当|MA|MB|取得最小值时，求直线 l 的方程解：(1)设直线 l 的方程为 y1k(x2)(k0)，12，0，B(0，12k)，Ak1

11、12AOB 的面积 S(12k)k2111(44)4.44kk2211当且仅当4k，即 k 时，等号成立k21故直线 l 的方程为 y1(x2)，即 x2y40.2(2)|MA|MA|MB|11，|MB|k244k2，1k222224，k1144k222k1当且仅当 k22，即 k1 时取等号，k故直线方程为 xy30.典例(2012西安模拟)设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围尝试解题(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和 y 轴上的截距为零，此时截距相等故 a2，方程即为 3xy

12、0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，a2得a2，即 a11，a1故 a0，方程即为 xy20.综上，l 的方程为 3xy0 或 xy20.(2)将 l 的方程化为 y(a1)xa2，a10，a10，则或a20，a20.a1.综上可知，a 的取值范围是(，1易错提醒1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x 轴与 y 轴上的截距为零时也满足.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.针对训练过点 M(3，4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方

13、程为_4解析：当过原点时，直线方程为y x；3xy当不过原点时，设直线方程为 1，aa即 xya.代入点(3，4)，得 a7.即直线方程为 xy70.4答案：y x 或 xy7031若 k，1，b 三个数成等差数列，则直线ykxb 必经过定点()A(1，2)C(1,2)B(1,2)D(1，2)解析：选 A因为 k，1，b 三个数成等差数列，所以 kb2，即 b2k，于是直线方程化为 ykxk2，即 y2k(x1)，故直线必过定点(1，2)2直线 2x11y160 关于点 P(0,1)对称的直线方程是()A2x11y380C2x11y380B2x11y380D2x11y160解析：选 B因为中心

14、对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x11yC0，由点到直线的距离公式可得|011C|，解得 C16(舍去)或 C38.221123(2012衡水模拟)直线 l1的斜率为 2，l1l2，直线 l2过点(1,1)且与 y 轴交于点 P，则 P 点坐标为()A(3,0)B(3,0)D(0,3)|01116|22112C(0，3)解析：选 Dl1l2，且 l1斜率为 2，l2的斜率为 2.又 l2过(1,1)，l2的方程为 y12(x1)，整理即得 y2x3.令 x0，得 P(0,3)4(2013佛山模拟)直线 axbyc0 同时要经过第一、第二、第四象限，

15、则a，b，c应满足()Aab0，bc0Cab0，bc0Bab0，bc0Dab0，bc0解析：选 A由于直线 axbyc0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将acac方程变形为 y x，易知 0 且 0，故 ab0，bc0.bbbb5将直线y3x 绕原点逆时针旋转 90，再向右平移1 个单位，所得到的直线为()11Ay x33Cy3x31By x131Dy x131解析：选 A将直线 y3x 绕原点逆时针旋转 90得到直线 y x，再向右平移 1 个3111单位，所得直线的方程为y(x1)，即 y x.3336已知点 A(1，2)，B(m,2)，且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x2y

16、20，则实数 m 的值是()A2C3B7D11m2，0代入直线 x2y20 中，得 m3.解析：选 C线段 AB 的中点7(2013贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是_2解析：设直线 l 的斜率为 k，则方程为 y2k(x1)，在 x 轴上的截距为 1，令3k211 3，解得 k1 或 k.k21，答案：(，1)28(2012常州模拟)过点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_33解析：直线 l 过原点时，l 的斜率为，直线方程为yx；l 不过原点时，设方程为22xy 1，将点(2,3)代入，得 a1，直

17、线方程为 xy1.aa综上，l 的方程为 xy10 或 2y3x0.答案：xy10 或 3x2y09(2012天津四校联考)不论 m 取何值，直线(m1)xy2m10 恒过定点_解析：把直线方程(m1)xy2m10 整理得(x2)m(xy1)0，x20，x2，则得xy10，y3.答案：(2,3)10求经过点(2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1 的直线 l 的方程xy解：设所求直线方程为 1，abab1，由已知可得12|a|b|1，22a1，a2，解得或b2b1.故直线 l 的方程为 2xy20 或 x2y20.11(2012莆田月考)已知两点 A(1,2)，B(m,3)(1)求直线

18、AB 的方程；(2)已知实数 m31，31，求直线 AB 的倾斜角 的取值范围3解：(1)当 m1 时，直线 AB 的方程为 x1；1当 m1 时，直线 AB 的方程为 y2(x1)m1(2)当 m1 时，；2当 m1 时，m13，0(0，3，313k(，3，3m126，22，3.2综合知，直线 AB 的倾斜角 6，3.12.如图，射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点，当 AB 的中点 C 恰好1落在直线 y x 上时，求直线 AB 的方程2解：由题意可得 kOAtan 451，kOBtan(18030)3

19、，33x.3所以直线 lOA：yx，lOB：y设 A(m，m)，B(3n，n)，所以 AB 的中点 Cm 3nmn，22n1m 3nm，2221由点 C 在 yx 上，且 A、P、B 三点共线得2m0n0，m1 3n1解得 m 3，所以 A(3，3)3 33又 P(1,0)，所以 kABkAP，2313 3所以 lAB：y(x1)，2即直线 AB 的方程为(3 3)x2y3 30.1若直线l：ykx 3与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是()A.6，3C.3，2B.6，2D.6，2ykx 3，解析：选 B由2x3y60，32 3x23k，解得6k2 3y23

20、k.x0，3两直线交点在第一象限，解得 k.3y0，直线 l 的倾斜角的范围是6，2.2(2012洛阳模拟)当过点 P(1,2)的直线 l 被圆 C：(x2)2(y1)25 截得的弦最短时，直线 l 的方程为_解析：易知圆心 C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点 P 的连线与直线 l 垂直时，直线l 被圆 C 截得的弦最短由C(2,1)，P(1,2)可知直线 PC 的斜率为21121，设直线l 的斜率为 k，则k(1)1，得k1，又直线l 过点 P，所以直线l 的方程为xy10.答案：xy103已知直线 l：kxy12k0(kR R)(1)证明：直线 l 过定点；(2)若

21、直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设AOB 的面积为 S，求 S 的最小值及此时直线 l 的方程解：(1)证明：法一：直线 l 的方程可化为 yk(x2)1，故无论 k 取何值，直线 l 总过定点(2,1)法二：设直线过定点(x0，y0)，则 kx0y012k0 对任意 kR R 恒成立，即(x02)ky010 恒成立，x020，y010，解得 x02，y01，故直线 l 总过定点(2,1)(2)直线 l 的方程为 ykx2k1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k1，k0，要使直线 l 不经过第

22、四象限，则12k0，解得 k 的取值范围是0，)12k12k(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，0，kkB(0,12k)12k又0，k0.k1112k故 S|OA|OB|(12k)22k1114k4(44)4，k2211当且仅当 4k，即 k 时，取等号k2故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x2y40.1(2012郑州模拟)已知直线 l1的方向向量为 a a(1,3)，直线 l2的方向向量为 b b(1，k)若直线 l2经过点(0,5)且 l1l2，则直线 l2的方程为()Ax3y50Cx3y50Bx3y150Dx3y150解析：选 Bkl13，kl

23、2k，l1l2，11k，l2的方程为 y x5，即 x3y150.332(2012吴忠调研)若过点 P(1a,1a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是_2a1aa1解析：ktan.31aa2a1 为钝角，0，即(a1)(a2)0，a2故2a1.答案：(2,1)3.已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于 A，B两点如图，求ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程xy解：设 A(a,0)，B(0，b)，(a0，b0)，则直线l 的方程为 1，ab32l 过点 P(3,2)，1.ab321 2ab6，即 ab24.ab132SABOab1

24、2.当且仅当，即 a6，b4 时，2abABO 的面积最小，最小值为 12.xy此时直线 l 的方程为 1.64即 2x3y120.第二节知识能否忆起一、两条直线的位置关系方程相交垂直平行重合斜截式yk1xb1yk2xb2k1k21k1 或k2k1k21k1k2且 b1b2k1k2且 b1b2两直线的位置关系一般式2A1xB1yC10(A21B10)2A2xB2yC20(A22B20)A1B2A2B10A1A2B1B20A1B2A2B10，A1B2A2B10，B2C1B1C20 或A1C2A2C10A1A2，B1B2，C1C2(0)二、两条直线的交点设两条直线的方程是 l1：A1xB1yC10

25、，l2：A2xB2yC20，两条直线的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20 的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立三、几种距离1两点间的距离平面上的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)|AB|x1x22y1y22.2点到直线的距离|Ax1By1C|点 P(x1，y1)到直线 l：AxByC0 的距离 d.A2B23两条平行线间的距离两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离 d小题能否全取1(教材习题改编)已知 l1的倾斜角为 45，l2经过点 P

26、(2，1)，Q(3，m)若 l1l2，则实数 m 为()A6B6C5D5|C1C2|A2B2.m1解析：选 B由已知得 k11，k2.5l1l2，k1k21，m111，即 m6.52(教材习题改编)点(0，1)到直线 x2y3 的距离为()A.55B.51D.5C5|0213|解析：选 Bd 5.53点(a，b)关于直线 xy10 的对称点是()A(a1，b1)C(a，b)B(b1，a1)D(b，a)解析：选 B设对称点为(x，y)，则解得 xb1，ya1.4l1：xy0 与 l2：2x3y10 的交点在直线 mx3y50 上，则 m 的值为()A3C5B5D8解析：选 D由 xy0，2x3y

27、10，得 l1与 l2的交点坐标为(1,1)所以 m350，m8.5 与 直 线 4x 3y 5 0 平 行，并 且 到 它 的 距 离 等 于 3 的 直 线 方 程 是_|m5|4322解析：设所求直线方程为4x3ym0，由 3答案：4x3y100 或 4x3y200，得 m10 或20.1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑2在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为AxByC0 的形式，否则会出错两直线的平行与垂直典题导入例 1(2012浙江高考)设 aR，则“a1”是“

28、直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的()A充分不必要条件C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件自主解答由 a1，可得 l1l2；反之，由 l1l2，可得 a1 或 a2.答案A在本例中若 l1l2，试求 a.解：l1l2，a12(a1)0，2a.3由题悟法1充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1和 l2，l1l2?k1k2，l1l2?k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意2(1)若直线 l1和 l2有斜截式方程 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则直线l1l

29、2的充要条件是 k1k21.(2)设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.则 l1l2?A1A2B1B20.以题试法1(2012大同模拟)设 a，b，c 分别是ABC 中角 A，B，C 所对的边，则直线xsin Aayc0 与 bxysin Bsin C0 的位置关系是()A平行C垂直B重合D相交但不垂直sin Ab解析：选 C由已知得 a0，sin B0，所以两直线的斜率分别为k1，k2，asin Bsin Ab由正弦定理得 k1k21，所以两条直线垂直asin B两直线的交点与距离问题典题导入例 2(2012浙江高考)定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线

30、 C 到直线 l 的距离已知曲线 C1：yx2a 到直线 l：yx 的距离等于曲线 C2：x2(y4)22 到直线 l：yx 的距离，则实数 a_.自主解答因曲线 C2：x2(y4)2204到直线 l：yx 的距离为 22 222 2，所以曲线 C1与直线 l 不能相交，故 x2ax，即 x2ax0.设 C1：yx2a|x0y0|x0 x20a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线 l 的距离 d229 2，所以 a.44 2x012a1244a129答案4由题悟法1点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求注意直线方程为一般式2点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解也可用如下

31、方法去求解：(1)点 P(x0，y0)到与 y 轴垂直的直线 ya 的距离 d|y0a|.(2)点 P(x0，y0)到与 x 轴垂直的直线 xb 的距离 d|x0b|.以题试法2 132(2012通化模拟)若两平行直线 3x2y10,6xayc0 之间的距离为，则 c13的值是_6ac解析：由题意得，321得 a4，c2，c则 6xayc0 可化为 3x2y 0，2则c122 131313，解得 c2 或6.答案：2 或6对 称 问 题典题导入例 3(2012成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线 O

32、B 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是()A2 10C3 3B6D2 5自主解答如图，设点 P 关于直线 AB，y 轴的对称点分别为D，C，易求得 D(4,2)，C(2,0)，由对称性知，D，M，N，C 共线，则PMN 的周长|PM|MN|PN|DM|MN|NC|CD|402 10即为光线所经过的路程答案A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称 点 A(a，b)关 于 直 线 Ax By C 0(B0)的 对 称 点 A(m，n)，则 有nbA 1，m

33、aBambnABC0.22直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决以题试法3(2012南京调研)与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为()A3x4y50B3x4y50C3x4y50D3x4y50解析：选 A与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程是 3x4(y)50，即3x4y50.典例(2012银川一中月考)求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂直于直线 l3：3x5y60 的直线 l 的方程常规解法解方程组 3x2y10，5x2y10，得 l1，l2的交点坐标为(1,2)35由 l3的斜率得 l 的斜率为.535则由点斜式方程可

34、得 l 的方程为 y2(x1)即 5x3y10.3高手支招运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR R 且 mC)；(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAym0(mR R)；(3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R R)，但不包括 l2.巧思妙解由于 l 过 l1，l2的交点，故可设l 的方程为 3x2y1(5x2y1)0 将3551其整理，得(35)x(22)y(1)0，其斜率，得 .3522代入直线系

35、方程得 l 方程 5x3y10.针对训练求与直线 2x6y110 平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6 的直线方程b解：由题意，设所求直线方程为2x6yb0.令 x0，得 y；令 y0，得 x6bbb0，0.，则直线 2x6yb0 与坐标轴的交点坐标分别为6221b b1 b26，所以 b2144，所以 b又所围成的三角形面积 S12.26 22 12故所求直线方程为 2x6y120 或 2x6y120.即为 x3y60 或 x3y60.1(2012海淀区期末)已知直线 l1：k1xy10 与直线 l2：k2xy10，那么“k1k2”是“l1l2”的()A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条

36、件D既不充分也不必要条件解析：选 C由 k1k2,11，得 l1l2；由 l1l2知 k11k210，所以 k1k2.故“k1k2”是“l1l2”的充要条件12当 0k 时，直线 l1：kxyk1 与直线 l2：kyx2k 的交点在()2A第一象限C第三象限B第二象限D第四象限解析：选 B解方程组kxyk1，kyx2k，得两直线的交点坐标为k，2k1，因为 0k1，所以k0，2k10，故交点在第二象限k1k12k1k13(2012长沙检测)已知直线 l1的方程为 3x4y70，直线 l2的方程为 6x8y10，则直线 l1与 l2的距离为()8A.53B.2D8C4解析：选 B直线 l1的方程

37、为 3x4y70，直线 l2的方程为 6x8y10，即为133x4y 0，直线 l1与直线 l2的距离为2.23 4224若直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，则直线 l2恒过定点()A(0,4)B(0,2)D(4，2)172C(2,4)解析：选 B由于直线 l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)又由于直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，故直线 l2恒过定点(0,2)5已知直线 l1：y2x3，若直线 l2与 l1关于直线 xy0 对称，又直线 l3l2，则 l3的斜率为()A21C.21B2D2解析：选 A依题

38、意得，直线 l2的方程是x2(y)3，131即 y x，其斜率是，222由 l3l2，得 l3的斜率等于2.6(2012岳阳模拟)直线 l 经过两直线 7x5y240 和 xy0 的交点，且过点(5,1)则l 的方程是()A3xy40Cx3y80B3xy40Dx3y40解析：选 C设 l 的方程为 7x5y24(xy)0，即(7)x(5)y240，则(7)55240.解得 4.l 的方程为 x3y80.7(2012郑州模拟)若直线 l1：ax2y0 和直线 l2：2x(a1)y10 垂直，则实数a的值为_1解析：由 2a2(a1)0 得 a.21答案：28已知平面上三条直线 x2y10，x10

39、，xky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数 k 的所有取值为_解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时 k0或 2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k1，故实数 k 的所有取值为 0,1,2.答案：0,1,29(2013临沂模拟)已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是_|443a1|153a|153a|解析：由题意得，点到直线的距离为.又3，即|155553a|15，解得，0a10，所以 a0,10答案：0,101110(2013舟山模拟)已知 1(a0，b0)，求点(0，b)到直线 x2ya0 的距离ab的

40、最小值a2b11112ba解：点(0，b)到直线 x2ya0 的距离为 d(a2b)ab53ab553 52 102 2122(32 2)，当且仅当 a 2b，abab，即 a1 2，b时取5253 52 10等号所以点(0，b)到直线 x2ya0 的距离的最小值为.511(2012荆州二检)过点 P(1,2)的直线 l 被两平行线 l1：4x3y10 与 l2：4x3y60 截得的线段长|AB|2，求直线 l 的方程解：设直线 l 的方程为 y2k(x1)，由ykx2k，4x3y10，3k75k8，解得 A；3k43k43k12810k，由ykx2k，4x3y60，解得 B.3k43k4|A

41、B|2，525k23k43k4 2，整理，得 7k248k70，1解得 k17 或 k2.7因此，所求直线 l 的方程为 x7y150 或 7xy50.12已知直线 l：3xy30，求：(1)点 P(4,5)关于 l 的对称点；(2)直线 xy20 关于直线 l 对称的直线方程解：设 P(x，y)关于直线 l：3xy30 的对称点为 P(x，y)yykPPkl1，即31.xx又 PP的中点在直线 3xy30 上，xxyy330.224x3y9x5，由得3x4y3y.5(1)把 x4，y5 代入得 x2，y7，P(4,5)关于直线 l 的对称点 P的坐标为(2,7)4x3y9(2)用分别代换 x

42、y20 中的 x，y，得关于 l 的对称直线方程为53x4y320，5化简得 7xy220.1点 P 到点 A(1,0)和直线 x1 的距离相等，且点P 到直线 yx 的距离为的点 P 的个数是()A1C3B2D42，这样2解析：选 C点 P 到点 A 和定直线距离相等，P 点轨迹为抛物线，方程为y24x.设 P(t2,2t)，则2|t22t|，解得 t11，t21 2，t31 2，故 P 点有三个222(2012福建模拟)若点(m，n)在直线 4x3y100 上，则 m2n2的最小值是()A2C4B2 2D2 3解析：选 C设原点到点(m，n)的距离为 d，所以 d2m2n2，又因为(m，n

43、)在直线 4x3y100 上，所以原点到直线 4x3y100 的距离为 d 的最小值，此时 d2，所以 m2n2的最小值为 4.3在直线 l：3xy10 上求一点 P，使得 P 到 A(4,1)和 B(0，4)的距离之差最大解：如图所示，设点 B 关于 l 的对称点为 B，连接 AB并延长交 l 于 P，此时的 P 满足|PA|PB|的值最大设 B的坐标为(a，b)，则 kBBkl1，b4即 31.a则 a3b120.|10|4232b4又由于线段 BB的中点坐标为a，且在直线 l 上，22ab4则 3 10，即 3ab60.22解，得 a3，b3，即 B(3,3)y1x4于是 AB的方程为，

44、即 2xy90.3134解3xy10，2xy90，得 x2，y5，即 l 与 AB的交点坐标为 P(2,5)11 点(1，cos)(其中 0)到直线 xsin ycos 10 的距离是，那么 等于()45A.6C.65B.或667D.或66|sin cos21|1解析：选 B由已知得，sin2cos241即|sin sin2|，44sin24sin 10 或 4sin24sin 10，1 21sin 或 sin .220，0sin 1，15sin ，即 或.2662已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线 l2与 l1关于 l 对称，则l2的方程是()Ax2y10Cxy10Bx2y10D

45、x2y10解析：选 Bl1与 l2关于 l 对称，则 l1上任一点关于 l 的对称点都在 l2上，故 l 与 l1的交点(1,0)在 l2上又易知(0，2)为 l1上一点，设其关于 l 的对称 点(x，y)，则x0y210，22y211，得x1，y1.即(1,0)，(1，1)为 l2上x两点，可得 l2方程为 x2y10.3光线沿直线 l1：x2y50 射入，遇直线l：3x2y70 后反射，求反射光线所在的直线方程解：法一：由 x2y50，3x2y70，得x1，y2.即反射点 M 的坐标为(1,2)又取直线 x2y50 上一点 P(5,0)，设 P 关于直线 l 的对称点 P(x0，y0)，由

46、 PP2y0l 可知，kPP.3x05而 PP的中点 Q 的坐标为x05y0即 3270.222y0，由x 530317x05y070.得x，0213x05y0，Q 点在 l 上，2，232y0.13根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.法二：设直线 x2y50 上任意一点 P(x0，y0)关于直线 l 的对称点为 P(x，y)，则2，3又 PP的中点 Qy0yx0 xxx0yy0在 l 上，2，2xx0yy0即 3270，22y0yxx02，3yy070.由32x x0可得 P 点的坐标为5x12y4212x5y28x0，y0，1313代入方程 x2y50 中，化简得 29x2y330，故所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.