高等数学上重要知识点归纳.pdf

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1、高等数学（上）重要知识点归纳高等数学（上）重要知识点归纳第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续一、极限的定义与性质一、极限的定义与性质1 1、定义（以数列为例）、定义（以数列为例）limxn a 0,N,当当n N时，时，|xna|n2 2、性质、性质(1)(1)limf(x)A f(x)A(x)，其中，其中(x)为某一个无穷小。为某一个无穷小。xx0f(x)A0，则则 0,当当xU(x0,)时时，(2)(2)(保号性）若保号性）若limxx0of(x)0。(3)*(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。无穷小乘以有界函数仍为无穷小。二、求极限的主要方法与工具二、求极限的主要方法与工具1

2、 1、*两个重要极限公式两个重要极限公式(1)(1)lim0sin11(2)(2)lim(1)e2 2、两个准则、两个准则(1)*(1)*夹逼准则夹逼准则(2)(2)单调有界准则单调有界准则3 3、*等价无穷小替换法等价无穷小替换法常用替换：当常用替换：当 0时时（1)1)sin （2 2）tan （3 3）arcsin （4)4)arctan （5 5）ln(1)（6 6）e1（7 7）1cos 2（8 8）n1 112n4 4、分子或分母有理化法、分子或分母有理化法5 5、分解因式法分解因式法6 6 用定积分定义用定积分定义三、无穷小阶的比较三、无穷小阶的比较*高阶、同阶、等价高阶、同阶、

3、等价四、连续与间断点的分类四、连续与间断点的分类1 1、连续的定义连续的定义*f(x)在在a点连续点连续 limy 0 lim f(x)f(a)f(a)f(a)f(a)x0 xa可去型（极限存在）第一类跳跃型（左右极限存在但不相等）2 2、间断点的分类、间断点的分类无穷型（极限为无穷大）第二类震荡型（来回波动）其他3 3、曲线的渐近线、曲线的渐近线*(1)水平渐近线：若lim f(x)A,则存在渐近线：y Ax(2)铅直渐近线：若lim f(x),则存在渐近线：x axa五、闭区间连续函数性质五、闭区间连续函数性质1 1、最大值与最小值定理、最大值与最小值定理2 2、介值定理和零点定理、介值定

4、理和零点定理第二章第二章 导数与微分导数与微分一、导数的概念一、导数的概念1 1、导数的定义、导数的定义*y|xa f(a)dyyf(a x)f(a)f(x)f(a)|xa lim limlimx0 x0 xadxxxxa2 2、左右导数、左右导数左导数左导数f(a)limx0yf(x)f(a)limxaxxa右导数右导数f(a)limx0yf(x)f(a)limxaxxa3 3、导数的几何意义、导数的几何意义*y|xa曲线f(x)在点（a,f(a)处的切线斜率k4 4、导数的物理意义、导数的物理意义若运动方程：s s(t)则s(t)v(t)(速度）,s(t)v(t)a(t)(加速度）5 5、

5、可导与连续的关系、可导与连续的关系:可导 连续，反之不然。二、导数的运算二、导数的运算1 1、四则运算、四则运算(u v)uv(uv)uvuv()uvuv uv2vdydy duu2 2、复合函数求导、复合函数求导 设设y f(x)，一定条件下，一定条件下 yuxdxdu dx3 3、反函数求导、反函数求导 设设y f(x)和x f1(y)互为反函数，一定条件互为反函数，一定条件下：下：yx1xy4 4、求导基本公式求导基本公式*（要熟记）（要熟记）5 5、隐函数求导隐函数求导*方法：方法：在在F(x,y)0两端同时对两端同时对x求导，求导，其中其中要注意到：要注意到：y是中间变量，然后再解出

6、是中间变量，然后再解出yx x(t)6 6、参参数数方方程程确确定定函函数数的的求求导导*设，一一定定条条件件下下y y(t)y(t)tdyytdyytxt ytxtxxt（可以不记）（可以不记）y,y xx3dxxtdxxt(xt)7 7、常用的高阶导数公式、常用的高阶导数公式（1 1）sin(n)x sin(x),(n 0,1,2.)n(n)cosx cos(x),(n 0,1,2.)（2 2）2n2（3 3）ln(1 x)(1)(n)n1(n1)!,(n 12.)n(1 x)1n(1)nn!),(n 0,1,2.)（4 4）(n11 x(1 x)（5 5）（莱布尼茨公式）（莱布尼茨公式）

7、(uv)Cnku(nk)v(k)(n)k0n三、微分的概念与运算三、微分的概念与运算1 1、微分定义、微分定义*若若y Ax o(x)，则，则y f(x)可微，记可微，记dy Ax Adx2 2、公式：、公式：dy f(x)x f(x)dx3 3、可微与可导的关系可微与可导的关系*两者等价两者等价y dy，f(x)f(x x)f(x)x4 4、近似计算、近似计算 当当|x|较小时，第三章第三章 导数的应用导数的应用一、微分中值定理一、微分中值定理*1 1、柯西中值定理柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在a,b上连续(2)f(x)、g(x)在(a,b)内可导（3）g(x)0,则：f()f(b

8、)f(a)（a,b),使得：g()g(b)g(a)当取当取g(x)x时，定理演变成：时，定理演变成：2 2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理*（a,b),使得：f()f(b)f(a)f(b)f(a)f()(ba)ba当加上条件当加上条件f(a)f(b)则演变成：则演变成：3 3、罗尔定理罗尔定理*（a,b),使得：f()04 4、泰勒中值定理、泰勒中值定理在一定条件下：在一定条件下：f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(x x0).(x x0)n Rn(x)n!f(n1)()(x x0)n1 o(x x0)n),介于介于x0、x之间之间.其中其中Rn(x)(n1)!当公式中当公式中 n

9、=0n=0 时，定理演变成拉格朗日定理时，定理演变成拉格朗日定理.当当x00时，公式变成时，公式变成:f(n)(0)n5 5、麦克劳林公式、麦克劳林公式f(x)f(0)f(0)x.x Rn(x)n!6 6、常用麦克劳林展开式、常用麦克劳林展开式x21（1 1）e 1 x.xno(xn)2!n!xx3x5(1)n12n1xo(x2n)（2 2）sinx x.3!5!(2n1)!x2x4(1)n2nxo(x2n1)（3 3）cosx 1.2!4!(2n)!x2x3(1)n1n（4 4）ln(1 x)x.x o(xn)23n二、罗比达法则二、罗比达法则*记住：记住：法则仅能对法则仅能对,型直接用，型

10、直接用，对于对于0,1,00,0,转化转化后用后用.幂指函数恒等式幂指函数恒等式*fgegln f三、单调性判别三、单调性判别*1 1、y0 y,y0 y 2 2、单调区间分界点：驻点和不可导点、单调区间分界点：驻点和不可导点.四、四、极值求法极值求法*1 1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.2 2、求出可疑点后再加以判别、求出可疑点后再加以判别.3 3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小变正为极小.4 4、第二判别法：、第二判别法：一阶导等于一阶导等于 0 0，二阶导不为二阶

11、导不为 0 0 时，时，是极值点是极值点.正为极小，负为极大正为极小，负为极大.0 0 五、闭区间最值求法五、闭区间最值求法*找出区间所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小找出区间所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.六、凹凸性与拐点六、凹凸性与拐点*1 1、y0 y,y0 y2 2、拐点：曲线上凹凸分界点、拐点：曲线上凹凸分界点(x0,y0).横坐标横坐标x0不外乎不外乎f(x0)0,或f(x0)不存在，找到后再加以判别找到后再加以判别x0附近的二阶导数是否变号附近的二阶导数是否变号.七、曲率与曲率半径七、曲率与曲率半径1 1、曲率公式、曲率公式K 2 2、曲率半径、曲率半径R|y|(1

12、y2)321K第四章第四章 不定积分不定积分一、不定积分的概念一、不定积分的概念*若在区间若在区间I上，上，F(x)f(x),亦dF(x)f(x)dx，则称则称F(x)为f(x)的原函数.称全体原函数称全体原函数 F(x)+cF(x)+c 为为 f(x)f(x)的不定积分，记为的不定积分，记为f(x)dx.二、微分与积分的互逆关系二、微分与积分的互逆关系1 1、f(x)dx f(x)df(x)dx f(x)dx2 2、f(x)dx f(x)c df(x)f(x)c三、积分法三、积分法*1 1、凑微分法、凑微分法*2 2、第二类换元法、第二类换元法3 3、分部积分法分部积分法*udv uv vd

13、u4 4、常用的基本积分公式、常用的基本积分公式(要熟记要熟记).).第五章第五章 定积分定积分f(i)xi一、定积分的定义一、定积分的定义af(x)dx limx0i1bn二、可积的必要条件二、可积的必要条件有界有界.三、可积的充分条件三、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或连续或只有有限个第一类间断点或单调单调.四、几何意义四、几何意义定积分等于面积的代数和定积分等于面积的代数和.五、五、主要性质主要性质*1 1、可加性、可加性aacbcb2 2、估值、估值 在在a,ba,b上，上，m(ba)af(x)dx M(ba)b3 3、积分中值定理、积分中值定理*当当 f(x)f(x)在在

14、a,ba,b上连续时：上连续时：af(x)dx f()(ba),a,bb4 4、函数平均值：、函数平均值：baf(x)dxba六、变上限积分函数六、变上限积分函数*1 1、若f(x)在a,b连续，则F(x)af(t)dt可导，且af(t)dtf(x)xxa2 2、若f(x)在a,b连续，(x)可导，则：（x）f(t)dtf(x)(x)七、牛七、牛-莱公式莱公式*若f(x)在a,b连续，则af(x)dx f(x)dx|b F(b)F(a)ab八、定积分的积分法八、定积分的积分法*1 1、换元法、换元法牢记：换元同时要换限牢记：换元同时要换限2 2、分部积分法分部积分法audv uv|baavdu

15、bb3 3、特殊积分、特殊积分（1 1）aa0,当f(x)为奇函数时f(x)dx a20f(x)dx,当f(x)为偶函数时（2 2）当）当 f(x)f(x)为周期为为周期为 T T 的周期函数时：的周期函数时：anTaf(x)dx n0f(x)dx,nZT（3 3）一定条件下）一定条件下:0 xf(sin x)dx 0f(sin x)dx2(n1)!，n是正奇数时（4 4）02sinnxdx 02cosnxdx n!(n1)!，n是正偶数时!2n！（5 5）0sin xdx 202sinnxdxn九、九、反常积分反常积分*1 1、无穷区间上、无穷区间上af(x)dx xlimf(t)dt F(

16、x)|a F()F(a)其他类似其他类似ax2 2、p p 积分积分：ap 1时收敛1dx(a 0):pxp 1时发散3 3、瑕积分：若、瑕积分：若 a a 为瑕点：为瑕点：则则abf(x)dx limxaxbf(t)dt F(x)|b F(b)F(a)其他类似处理其他类似处理a第六章第六章定积分应用定积分应用一、几何应用一、几何应用1 1、面积、面积（1 1）A（y上-y下）dxaA（x右-x左）dyax x(t),(t),则则A|y(t)x(t)|dt（2 2）C:y y(t)bb（3 3）C:(),与，（)围成图形面积12A（）d22 2、体积、体积*（1 1）旋转体体积旋转体体积*Vx

17、ay2dxVycx2dy或或Vy 2axy dxbdb（2 2）截面面积为）截面面积为A A(x)的立体体积为的立体体积为V aA(x)dxb3 3、弧长、弧长（1 1）s a1 y2dx(a x b)b（2 2）s x2(t)y2(t)dt,(t)（3 3）s 22d,()二、物理应用二、物理应用1 1、变力作功、变力作功dw F(x)dx,xa,b，一般地：一般地：先求功元素：先求功元素：再积分再积分w aF(x)dxb克服重力作功的功元素克服重力作功的功元素 dw=dw=体积体积 g 位移位移2 2、水压力、水压力dP=dP=水深水深面积面积 g第七章第七章微分方程微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dy形式：形式：f(x)g(y)dx二二、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程*1 1、线性齐次：、线性齐次：y p(x)y 0通解公式通解公式*：y Cep(x)dx2 2、线性非齐次线性非齐次y p(x)y q(x)通解公式通解公式*：y ep(x)dxep(x)dxq(x)dx C)