高考数学专题：解析几何新题型的解题技巧.pdf

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1、解析几何题型命题趋向：解析几何例命题趋势：1.注意考查直线的根本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以填空题的形式出现，每年必考2.考查直线与二次曲线的普通方程，属容易题，对称问题常以填空题出现3.考查圆锥曲线的根底知识和根本方法的题多以填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题考点透视一.直线和圆的方程1 理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，并能根据条件熟练地求出直线方程.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，

2、能够根据直线的方程 判断两条直线的位置关系.3.了解二元一次不等式表示平面区域.4.了解线性规划的意义，并会简单的应用.5.了解解析几何的根本思想，了解坐标法.6.掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.二.圆锥曲线方程1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.了解圆锥曲线的初步应用.考点1求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，构造方程解之2 2例 1.假设抛物线y2 2px的焦点与椭圆 匕1的右焦点重合，贝Up的值

3、为 _62 22考查意图：此题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的根本几何性质解答过程：椭圆丄6 21的右焦点为2,0，所以抛物线y 2px的焦点为2,0，那么p 4,考点2.求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一之.，其解法为从曲线的性质入手，找出点的坐标，利用距离公式解例 2.抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，那么|AB|等于 _考查意图：此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用y解：设直线AB的方程为yxb，由x23x2xb30XrX21，进而可求y x b1111出AB的中点M，b，又由M，b在直线x y 0上可求出

4、b 1,2 222 _ x2 x 2 0，由弦长公式可求出AB.1 12.124 2 3 2.例 3.如图，把椭圆乂y的长轴2516AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，那么RF|F2F|RF|RF|P5F|RF|.考查意图：此题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用解答过程：由椭圆兰丄i的方程知a22516.25,a 5.-|PF|F2F|RF吋|F5F RF|RF72a7 a 7 5 35.故填 35.考点3.曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一a，其解法为充分利用：(1)椭圆的离心率 e=(0

5、,1)(e 越大那么椭圆越扁);双曲线的 离心率 e=(1,+s)(e 越大那么双曲线开口越大).a结合有关知识来解题.例 4 双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)，那么双曲线方程为 _考查意图：此题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等根本概念 解答过程：十 e2,c 4,所以a 2,b212.a小结：对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等根本概念，要注意认真掌握焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会例 5双曲线3x2y2.尤其对双曲线的9,那么双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于考查意图：此题主要考查双曲线的性质和解答过

6、程：依题意可知离心率 e=(1,a)的有关知识的应用能力.a V3,c Va2 b2 vT9 2氈考点4.求最大(小)值求最大(小)值，是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大.A(X1,y1),B(X2,y2)两点，贝Uy12+y22的最小值(小)值的方法.(小)值:特别是，一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答例 6 抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于是_.解:设过点 P(4,0)的直线为y k X 4k2x28k24 x 16k22考查意图：此题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大k2 x2 8x 164x,0,4 1

7、62k1k22y2P4 为 X232.考占5圆锥曲线的根本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一练运用；常用的解题技巧要熟记于心.都是考试的重点内容，要能够熟例 7.在平面直角坐标系 xOy 中，圆心在第二象 限、半径为 O.椭22的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点10.圆匕 汀=1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为a291求圆 C 的方程；2试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.假设存 在，请求出点 Q 的坐标；假设不存在，请说明理由考查目的本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的根底知识，考

8、查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解答过程设圆 C 的圆心为(m,n)那么m nn 2,2 2,解得m2,n2.2(x2)(y 2)2 8所求的圆的方程为(2)由可得椭圆的方程为222a10,a 5.5右焦点为二仝125 9F(4,0)；假设存在 Q 点 22 2.2 cos 4整理22 2c(os,2 2 2sin2使QF|OF2 2.2sin2 2,得sin 3cos得:10cos212 2 cos2代入sincos4cos 1.12、2、8 12.2 2 210102“因此不存在符合题意的例&如图，曲线 G 的方程为2x(y0).以原点为圆心，以t(t0)为半径的圆分

9、别与曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于A 与点 B.直线AB 与 x 轴相交于点 C.I求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；设曲线 G 上点 D 的横坐标为a 2,求证：直线 CD 的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力解答过程I 丨由题意知，A(a,2a).因为|OA|t,所以由于 t0,故有 t由点 B0,a2 2a t2.a22a.1cc.2ar,1,C c,0的坐标知，直线 BC 的方程为t，又因点 A 在直线BC 上

10、,故有a将1代入上式，得ac2aa(a 2)解得 c a 22(a 2).II 丨因为D(akCD2 2(a 2)，所以直线CD 的斜率为Q(a 2)a 2(a 22(a2).2(a2)2(a 2)2(a 2)a 2 c所以直线 CD 的斜率为定值.2 2例.椭圆E:y 岭 1(a b 0)a b为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线双曲线离心率e1之间满足eei 1，求：1椭圆 E 的离心率；2双曲线 C 的方程.9X,AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦 AB 的中点，假设以点M(2,1)C 和直线 AB 交于点N(4,1)，假设椭圆离心率 e 和解答过程：1设 A、B 坐标分别为A

11、(x仆yj,B(x2,y2),222 _2那么xi V11,乞N 1，二式相减得：a2b2a2 b2两端平方且将N(4,1)代入得：c 1或c 3，24222222c,所以a2b2(ac),2当c 1时，双曲线方程为：(x 2)(y 1)2 0,不合题意，舍去；那么ec 2；22a 2当c 3时，双曲线方程为：(X 10)2(y 1)32(2c)，即为所求2椭E 的右准线为x2c，双曲线的离心率eic小结：1“点差法是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；圆c222|PM|(x 2)(y 1)yi上(XiX2)bk|x 2c|x 2c|y2)a2ABXiX2(yi-2b，2ak1 1k()MN考点

12、6利用向量求曲线方程和解决相关问题设P(x,y)是双曲线上任一点，那2求解圆锥曲线时，假设有焦点、准线，那么通常会用到第二定义么:利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算典型例题：2 2例 10.双曲线 C 与椭圆x_81有相同的焦点，直线 y=3x为 C 的一条渐近线.4(1)求双曲线 C 的方程；过点 P(0,4)的直线I，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点Q 点与 C 的顶点不重合当PQ1QA2QB，且8时，求 Q 点的坐标123考查意图：此题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力想,方程和转化的思想解决问题的能力解答过程：I设双曲

13、线方程为a2 b22 2，以及运用数形结合思2 21,由椭圆 1J 1,求得两焦点为(2,0),(2,0),843x为双曲线C的一条渐近线对于双曲线 C:c 2，又y-3解得a2ab1,b23,双曲线C的方程为X2匸13n解法一：由题意知直线I的斜率k存在且不等于零设I的方程：y kx 4,A(x,y1),B(X2,y2),那么TPQQA,(4kJ4)1(x14,w)k4444(X1-)kk41%X1y1k1k16(1141.A(X1,yJ在双曲线C上，21 2)兰1 0.116 321161同理有：(16 k2)；0.16,2k k2 23“022 2(16k)132 116162k0332

14、2163k0.假设16 k2 0,那么直线l过顶点，不合题意.16 k2 0,1,2是二次万程(16 k2)x232x 163k2.的两根328,k24，此时0 k 2.1 22所求Q的坐标为k 163(2,0).解法二：由题意知直线的方程，I的斜率k存在且不等于零设Iy kx 4,A(x,yi),B(X2,y2)，那么Q(4,0)kTPQ1QA，Q分PA的比为1.由定比分点坐标公式得41为X1各(11k 11k)1y411下同解法一3k20,否那么I与渐近线平行.解法三：由题意知直线设yI的斜率2k存在且不等于零11y224的方程：k2,yM48 3k3 k224y kx 4,A(x48 3

15、k21,yJ,B(%,y2)，那么Q(4,0).kPQ3 kQA2TV41(x4124 y2)Q(2,0).2QB，(,4)1(X2,解法四：由题意知直线41%44、2y2，1I 得斜率k 存在且不等于零，设I的方程:y?12y2又81 2，丄丄2,即3(y1y2)2yy23y1y23将 y kx 4 代入x2匸 1得(3 k2)y2 24y 48 3k20.3 y1).kTPQ1QA,(,4)44k1(x1k4.同理41kx141x k4kx2 4kx 4，A(x1,y1),B(x2,y2)，4那么Q(,0)k22-kx14 kx242k XtX25k(x1X2)y kx 422*Xy 彳3

16、18kx190.消去 y 得(3 k2)x2当 3 k2l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，那么直线8k0 时，由韦达定理有:代入*丨式得3 k219XX3k2k24,k2.3 k20.所求 Q 点的坐标为(例2,0)11.设动点 P 到点 A(-1,/APB=29，且存在常数.入(0v入v1=,使得 d1d2sin2B=入0)和.B(1,0)的距离分别为di和 d2,1证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程；2过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M、N 两点，试确定入的范围，使OM，ON=0,其中点 O 为坐标原点.考查目的本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的根底

17、知识，考查综合 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解答过程解法 1:1在PAB中，|AB 2，即4(d1d2)24d1d2sin2，即|d1 d|22 2 2d12d；2d1d2cos 2,-4d1d2 sin22 12常数，点P的轨迹C是以A,B为焦点，实轴长2 22a 21的双曲线.方程为：丄y_.12设M(X1,%),N(X2,y2)当 MN 垂直于X轴时，MN的方程为 X1,M(1,1),N(1,1)在双曲线上._55 1所以因为02即丄 12101 2当MN不垂直于X轴时，设MN的方程为2 2y k(x)k x(122i)-)(k2由&yi得:i)(1)k2(1)kX

18、2(122y k(x由题意知:0，所以X1X2k22k(1(1(1)(k2(1)k2)曰2疋y2k(x：因为OM ON21)(X21)且M,N在双曲线右支上,所以k2-(1)k2(12(1)k.X1X2y y2X1X20X1X20由知,解法 2:1同解2法%),2设N(X2,y)，MN的中点为E(Xo,y。当XiM(X人，21MB-2)-时,因为所以5 1 _?X21当XX21-1时,kXoX221-y2MN2yokky所以(1)yfX2又MNBEoXoXo1；MNMN22得X2y2o2由第二定义得2e(为 X2)2a11X2.厂 所Xo 11o(1)2Xo 以(1 2 2)yoXo2(1)X

19、(1)2于是由(1)yfX2ooXo，得(1)y2X2X(1)2o2(1)X(1)2，o2 3因为Xoo所以(1，又o2 3L解得：_L_i2.由知_LJ 0，那么直线l的方程为 y=x-xo,设直线l与椭圆相交于 Pxi,yi，Q解：设 Ay=x-xx0-可得3X2-4XOX+2X02-12=O,o,-x2+2y2=i2y2,由X4X0iX2-3xiX2x2。，那么3|X48iX4x2-22|(XiX2)2i6x。21x28x23一：.36 2X0.4 i4331 x2|XiX2|，即4143-36 2X02.X02=4,又 xo 0,X0=2,A 2,0.39.i；k|PFi|PE|(a

20、ex)(a ex)a2io.ii.解i设动点 P 的坐标为(x,y)，那么点Q(0,y),PQ(x,0),PA(12 x,y),PB(2 x,y),PA PB x2 2 y2,因为PA PB 2PQ2，所以x22 y2 2x2,即动点 P 的轨迹方程为：y2 x2 2；2设直线 m：y kx、.-0 k i,依题意，点 C 在与直线 m 平行，且与 m 之间的距离为2的直线上，设此直线为mi:y kxb，由g b|2,即b2:k2i2 2kb 2,2 2把y kxb代入y2x222,整理得：(k i)x2kbx(b 2)0,那么4k2b24(k2i)(b 2)20,即b2 2k22,.由得：k

21、2.5-?5i0 b5此时，由方程组2 5i05X5C(2 2,、i0).x2i2.解：i依题意得:42,所以3a 2,b 5,X2、2 2452设P(Xo,yo),M(X1,yJ,N(X2,y2)，那么A*A尸(Xo2,y),A2P(Xo2,yo)，(,yj，3因为A1P与A1M共线，故(Xo2)y1y。，10所求双曲线 C 的方程为-1;2,0),A2(2,0),A2N(23,y2)，,同理:2y o03yi10y3(xoy23(Xo2)2)-13、5那么FM(亍,y1)，F2N(严)，65,5(x2所以F6520 4)4JM&N=一y2=6520y0999(x04)99(x24)10解：

22、1因为|0F|2，那么,OF(2,0)，设Q(Xo,yo)，那么FQ(X。F(2,0)5OF FQ 2(Xo2)解得Xo21 1|y25 y由S 2OF|yo|olX 22o-，故;2)Q(-,，所以，PQ 所在直线方程为2设Q(xo,yo),因为|OF|c(c 2)，那么FQ(Xoc,yo),由OF FQ c(xoc)1得:X1oc13又S2c|y|c，那么yo134-Q(c)，|OQ|2c 2(c易知，当c 2时,|OQ|最小，此时Q(5,32)，a2 b222设椭圆方程为笃y_a210ab71,(ao)，那么259，解得4a24b21b 62，2所以，椭圆方程为X10.解:1设M(x,y

23、)3,由PM2MQ得:p(ox)，Q；o),3由HP PM o得:y、/轨,)(x,(3,即y2)4x,2 2由点 Q 在 x 轴的正半轴上，故X 0,(1,o)为焦点的抛物线，除去原点;即动点 M 的轨迹 C 是以(0,0)为顶点，以4x得：2设m:y k(x 1)(k0)，代入y22 2 2 2k x 2(k2)x k 0.2,y0),1314设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么x1,x2是方程的两个实根,那么x1 x22(k22)22 k2 2,X1X2所以线段AB的中点为(-匚)，2线段 AB 的垂直平分线方程为 yk0k，xk1,得E(彳1,0)k因为ABE为正三角形，那么点

24、E 到直线AB 的距离等于f|AB|,又|AB|(X!X2)2所以，23.1 kk2(y1y2)224 1 k2.1k2，1k2，解得:|k|CXobl.ac11315解:1：F(c,0),那么XMkAB，b2a-?yML,5M与AB是共线向量,ab=c,故e2ac2设2FQr,F Q r,F QF12212r 122a,RF222c,2cos124c(r212:22)2亿214c2122当 且 仅 2当1时,16.PI记解:x,PMMP(1 x,所以于是,2cos0=0,0丐.0N 1,y 丨，由 M-得1,0MNNM(2,0)y),PNNP(1 x,y),2 2P,NMX y 1MP MN 2(1x).PMNP2(1 x)NP是公差小于零的等差数列等MP MN,PMPN,NM N12xy1-2(1 x)22(2(1x)x)01价介于2(1x)2 2即x yx 03所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，3 为半径的右半圆.PN2)。PMn点 P 的坐标为(X0,yPM PN所以cosX02 2y122.4、.；(1 X0)2y j(1X0)2PM PNPM IPNy(4 2X0)(42x0)一2X0。X03,11 cos21,03,sin-1 cos211 c,tansincos4-2 x13XOy4 X0