2017年全国高中数学联赛A卷精彩试题和问题详解.pdf

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1、20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷一试一试一、填空题f(x)是定义在R上的函数,对任意实数x有f(x 3)f(x 4)1.又当0 x 7时,f(x)log2(9 x),如此f(100)的值为_.x,y满足x2 2cos y 1,如此xcos y的取值 X 围是_.x2y21,F为C的上焦点,A为C的右顶点,P是C上位于xOy中,椭圆C的方程为:910第一象限内的动点,如此四边形OAPF的面积的最大值为_.4.假如一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,如此称其为平稳数.平稳数的个数是P ABC中,AB 1,AP 2,过AB的平面将其体积平分,如此棱PC与平面

2、所成角的余弦值为_.xOy中,点集K(x,y)x,y 1,0,1.在K中随机取出三个点,如此这三点中存在两点之间距离为5的概率为_.ABC中,M是边BC的中点,N是线段BMA AM AN的最小值为_.3,ABC的面积为3,如此an,bn满足：a10 b10 2017,对任意正整数n,有an2 an1 an,bn1 2bn,如此a1b1的所有可能值为_.二、解答题k,m为实数,不等式x2kxm 1对所有xa,b成立.证明：b a 2 2.x1,x2,x3是非负实数,满足x1 x2 x31,求(x13x25x3)(x1最大值.2)2其中Re(z)表示复数z的实z1,z2满足Re(z1)0,Re(z

3、2)0,且Re(z12)Re(z2x2x3)的最小值和35部.1求Re(z1z2)的最小值；.2求z1 2 z2 2 z1 z2的最小值.20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷二试二试一.如图,在ABC中,AB AC,I为ABC的内心,以A为圆心,AB为半径作圆1,以I为圆心,IB为半径作圆2,过点B,I的圆3与1,2分别交于点P,Q不同于点B.设IP与BQ交于点R.证明：BR CRan定义为a11,an1足ar r 32017an n,an n,ann,an n,n 1,2,.求满的正整数r的个数.3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.假如相邻连个小方格的颜色不同,如此称它们的公共边为分隔边.试求分隔边条数的最小值.m,n均是大于 1 的整数,m n,a1,a2,an是n个不超过m的互不一样的正整数,且a1,a2,an互素.证明：对任意实数x,均存在一个i(1 i n),使得aix 这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.2x,m(m 1)20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷一试答案一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷.二试答案一.二.三.四.