完整word版,初中最基本的尺规作图总结.pdf
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1、尺规作图尺规作图一、理解“尺规作图”的含义一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中,我们把只限定用直尺(无刻度)和圆规来画图的方法,称为尺规作图其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段;圆规用来作圆和圆弧由此可知,尺规作图与一般的画图不同,一般画图可以动用一切画图工具,包括三角尺、量角器等,在操作过程中可以度量,但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的2.基本作图:(1)用尺规作一条线段等于已知线段;(2)用尺规作一个角等于已知角.利用这两个基本作图,可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言:过点、点作直线;或作
2、直线;或作射线;连结两点;或连结;延长到点;或延长(反向延长)到点,使;或延长交于点;2.用圆规作图的几何语言:在上截取;以点为圆心,的长为半径作圆(或弧);以点为圆心,的长为半径作弧,交于点;分别以点、点为圆心,以、的长为半径作弧,两弧相交于点、.三、了解尺规作图题的一般步骤三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤:1.已知:当作图是文字语言叙述时,要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件;2.求作:能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件;3.作法:能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时,一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图,可先画出草图,使它同所要作的图大
3、致相同,然后借助草图寻找作法.在目前,我们只要能够写出已知,求作,作法三步(另外还有第四步证明)就可以了,而且在许多中考作图题中,又往往只要求保留作图痕迹,不需要写出作法,可见在解作图题时,保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义:尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图:五种基本作图:1 1、作一条线段等于已知线段;2、作一个角等于已知角;3、作已知线段的垂直平分线;4、作已知角的角平分线;5、过一点作已知直线的垂线;题目一:作一条线段等于已知线段。题目一:作一条线段等于已知线段。
4、已知:如图,线段 a.求作:线段 AB,使 AB=a.作法:(1)作射线 AP;(2)在射线 AP 上截取 AB=a.则线段 AB 就是所求作的图形。题目二:作已知线段的中点。题目二:作已知线段的中点。已知:如图,线段 MN.求作:点 O,使 MO=NO(即 O 是 MN 的中点).作法:()分别以 M、N 为圆心,大于的相同线段为半径画弧,两弧相交于 P,Q;()连接 PQ 交 MN 于 O则点 O 就是所求作的的中点。(试问:PQ 与有何关系?)题目三:作已知角的角平分线。题目三:作已知角的角平分线。已知:如图,AOB,求作:射线 OP,使AOPBOP(即 OP 平分AOB)。作法:(1)
5、以 O 为圆心,任意长度为半径画弧,分别交 OA,OB 于 M,N;(2)分别以 M、为圆心,大于的相同线段为半径画弧,两弧交AOB 内于;(3)作射线 OP。则射线 OP 就是AOB 的角平分线。题目四:作一个角等于已知角。题目四:作一个角等于已知角。(请自己写出“已知”“求作”并作出图形,不写作法)题目五:已知三边作三角形。题目五:已知三边作三角形。已知:如图,线段 a,b,c.求作:ABC,使 AB=c,AC=b,BC=a.作法:(1)作线段 AB=c;(2)以 A 为圆心 b 为半径作弧,以 B 为圆心 a 为半径作弧与前弧相交于 C;(3)连接 AC,BC。则ABC 就是所求作的三角
6、形。题目六:已知两边及夹角作三角形。题目六:已知两边及夹角作三角形。已知:如图,线段 m,n,.求作:ABC,使A=,AB=m,AC=n.作法:(1)作A=;(2)在 AB 上截取 AB=m,AC=n;(3)连接 BC。则ABC 就是所求作的三角形。题目七:已知两角及夹边作三角形。题目七:已知两角及夹边作三角形。已知:如图,线段 m.求作:ABC,使A=,B=,AB=m.作法:(1)作线段 AB=m;(2)在 AB 的同旁作A=,作B=,A 与B 的另一边相交于 C。则ABC 就是所求作的图形(三角形)。初中尺规作图典型例题归纳初中尺规作图典型例题归纳典型例题一典型例题一例例已知线段 a、b,
7、画一条线段,使其等于a2b分析分析所要画的线段等于a2b,实质上就是abb画法画法:1画线段AB a2在 AB 的延长线上截取BC 2b线段 AC 就是所画的线段说明说明1尺规作图要保留画图痕迹,画图时画出的所有点和线不可随意擦去2其它作图都可以通过画基本作图来完成,写画法时,只需用一句话来概括叙述基本作图典型例题二典型例题二例例如下图,已知线段 a 和 b,求作一条线段 AD 使它的长度等于 2ab错解错解如图(1),(1)作射线 AM;(2)在射线 AM 上截取 AB=BC=a,CD=b,则线段 AD 即为所求错解分析错解分析主要是作图语言不严密,当在射线上两次截取时,要写清是否顺次,而在
8、求线段差时,要交待截取的方向图(1)图(2)正解正解如图(2),(1)作射线 AM;(2)在射线 AM 上,顺次截取 AB=BC=a;(3)在线段 CA 上截取 CD=b,则线段 AD 就是所求作的线段典型例题三典型例题三例例求作一个角等于已知角MON(如图 1)图(1)图(2)错解错解如图(2),(1)作射线O1M1;(2)在图(1),以 O 为圆心作弧,交 OM 于点 A,交 ON 于点 B;(3)以O1为圆心作弧,交O1M1于 C;(4)以 C 为圆心作弧,交于点 D;(5)作射线O1D则CO1D即为所求的角错解分析错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言,在作出一条弧时,应表达为:以某
9、点为圆心,以其长为半径作弧正解正解如图(2),(1)作射线O1M1;(2)在图(1)上,以 O 为圆心,任意长为半径作弧,交OM 于点 A,交 ON 于点 B;(3)以O1为圆心,OA 的长为半径作弧,交O1M1于点 C;(4)以 C 为圆心,以 AB 的长为半径作弧,交前弧于点D;(5)过点 D 作射线O1D则CO1D就是所要求作的角典型例题四典型例题四例例如下图,已知及线段a,求作等腰三角形,使它的底角为,底边为a分析分析先假设等腰三角形已经作好,根据等腰三角形的性质,知两底角B=C=,底边 BC=a,故可以先作B=,或先作底边 BC=a作法作法如下图(1)MBN=;(2)在射线 BM 上
10、截取 BC=a;(3)以 C 为顶点作PCB=,射线CP 交 BN 于点 AABC 就是所要求作的等腰三角形说明说明画复杂的图形时,如一时找不到作法,一般是先画出一个符合条件的草图,再根据这个草图进行分析,逐步寻找画图步骤典型例题五典型例题五例例如图(1),已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C,过点 C 作 CDAB(写出作法,画出图形)分析分析根据两直线平行的性质,同位角相等或内错角相等,故作一个角ECD=EFB即可作法作法如图(2)图(1)图(2)(1)过点 C 作直线 EF,交 AB 于点 F;(2)以点 F 为圆心,以任意长为半径作弧,交FB 于点 P,交 EF 于点 Q;(3)以
11、点 C 为圆心,以 FP 为半径作弧,交 CE 于 M 点;(4)以点 M 为圆心,以 PQ 为半径作弧,交前弧于点D;(5)过点 D 作直线 CD,CD 就是所求的直线说明说明作图题都应给出证明,但按照教科书的要求,一般不用写出,但要知道作图的原由典型例题六典型例题六例例如下图,ABC 中,a=5cm,b=3cm,c=3.5cm,B=36,C=44,请你从中选择适当的数据,画出与ABC 全等的三角形(把你能画的三角形全部画出来,不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据)分析分析本题实质上是利用原题中的 5 个数据,列出所有与ABC 全等的各种情况,依据是 SSS、SAS、AAS、ASA解解
12、与ABC 全等的三角形如下图所示典型例题七典型例题七例例正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化拟从点A 出发,将ABC 分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草,请你帮助规划出图案(保留作图痕迹,不写作法)(2003 年,桂林)分析分析这是尺规作图在生活中的具体应用要把ABC 分成面积相等的三个三角形,且都是从 A 点出发,说明这三个三角形的高是相等的,因而只需这三个三角形的底边也相等,所以只要作出 BC 边的三等分点即可作法作法如下图,找三等分点的依据是平行线等分线段定理典型例题八典型例题八例例已知AOB,求作AOB 的平分线 OC错解错解如图(1)作法作法(1)以
13、 O 为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB 于 D、E 两点;(2)分别以 D、E 为圆心,以大于1DE 的长为半径作弧,两弧相交于C 点;2(3)连结 OC,则 OC 就是AOB 的平分线错解分析错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误作法(3)中连结 OC,则 OC 是一条线段,而角平分线应是一条射线图(1)图(2)正解正解如图(2)(1)以点 O 为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB 于 D、E 两点;(2)分别以 D、E 为圆心,以大于1DE 的长为半径作弧,两弧交于C 点;2(3)作射线 OC,则 OC 为AOB 的平分线典型例题九典型例题九例例如图(1)所示,已知线段
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