极坐标与参数方程教案.pdf

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1、-极坐标与参数方程极坐标与参数方程【教学目标】【教学目标】1、知识目标：1掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程2掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法【教学重点】【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化【考点分析】【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在*高考中为二者选一考，一般是 5 分的比较容易的题，知识相比照拟独立，与其他章节联系不大，容易拿分根

2、据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定【根本要点】【根本要点】一、极坐标和参数方程：一、极坐标和参数方程：1.1.极坐标系的概念：极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点极点；自极点引一条射线叫做极轴极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧

3、度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系极坐标系2 2 点点 MM 的极坐标：的极坐标：设 M 是平面内一点，极点与点 M 的距离OM叫做点 M 的极径极径，记为；-.-word 资料-以极轴*为始边，射线 OM 为终边的*OM 叫做点 M 的极角极角，记为有序数对(,)叫做点点 MM 的极坐标的极坐标，记为 M(,).极坐标(,)与(,2k)(k Z)表示同一个点极点O 的坐标为(0,)(R).3 3极坐标与直角坐标的互化：极坐标与直角坐标的互化：4 4圆的极坐标方程：圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r；在极坐标系中，以C(a,0

4、)(a0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 2acos；在极坐标系中，以C(a,2)(a0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 2asin；5 5参数方程的概念：参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标*,y 都是*个变数 t 的x f(t),函数并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(*,y)都在这条曲线y g(t),上，则这个方程就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变数*,y 的变数 t 叫做参变数参变数，简称参数参数 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程普通方程6 6圆(x a)(y b)r的参数方程可表示为222x a

5、rcos,(为参数).y b rsin.x acos,x2y2椭圆221(ab0)的参数方程可表示为(为参数).aby bsin.x 2pt2,(t为参数).抛物线y2px的参数方程可表示为y 2pt.2x xo tcos,M(x,y)经过点Ooo，倾斜角为的直线 l 的参数方程可表示为t 为参y y tsin.o数【典型例题】【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用例例 1 1、1点 M 的极坐标(5,A(2)化为直角坐标为B355 355 35 5 35 5 3)D(,)B(,)C(,)22222222.z.-2点 M 的直角坐标为(3,1)化为

6、极坐标为BA(2,5711)B(2,)C(2,)D(2,)6666评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围2的极坐标为 变式变式 1 1：1点2，2在极坐标系中，圆心在A(1,4)，半径为 1 的圆的极坐标方程是_评注：评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系例例 2 2、1曲线的极坐标方程 4sin化 成直角坐标方程为A.*2+(y+2)2=4B.*2+(y-2)2=422C.(*-2)2+y2=4D.(*+2)2+y2=4【解析】【解析】将=x y，sin=22代入=4sin，得*2+y2=4y，x y即*2+(y-2)2=4.应选 B.2O1和O2的极坐标方程分别为=4cos,

7、=-4sin.把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程.y【解析】【解析】以极点为原点，极轴为*轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取一样的长度单位.1*=cos,y=sin,由=4cos,得2=4cos.所以*2+y2=4*.即*2+y2-4*=0 为O1的直角坐标方程.同理*2+y2+4y=0 为O2的直角坐标方程.22x1 0,x2 2,x y 4x 0,2由2解得或即O1，O2交于点0，0和2，-2.2y 0,y 2.12x y 4y 0,过交点的直线的直角坐标方程为y=-*.变式变式 1 1：极坐标=cos(A.双曲线4)表示的曲线是B.

8、椭圆C.抛物线 D.圆【解析】【解析】原极坐标方程化为=12(cos+sin)2 2=cos+sin，普通方程为2(*2+y2)=*+y，表示圆.应选 D.变式变式 2 2：在极坐标系中与圆 4sin相切的一条直线的方程为.z.-Acos 2Bsin 2C4sin()D 4sin()3322【解析】【解析】A 4sin的普通方程为x(y 2)4，cos 2的普通方程为x 2圆x2(y 2)2 4与直线x 2显然相切例例 3 3、在极坐标系中，两点P5，5，Q(1,)，求线段 PQ 的长度；44变式变式 1 1、在极坐标系中，直线sin(+)=2 被圆=4 截得的弦长为4变式变式2 2、在极坐标

9、系中，点1,0到直线cossin 2的距离为例例 4 4、极坐标方程分别为 2cos和 sin的两个圆的圆心距为_；变式变式 1 1、把极坐标方程cos()1化为直角坐标方程是6变式变式 2 2、在极坐标系中，圆心在(2,)且过极点的圆的方程为_.变式变式 3 3、在极坐标系中，假设过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 4cos于 A、B 两点，则|AB|_题型二：参数方程的互化和应用题型二：参数方程的互化和应用x 12t例例 1 1、假设直线t 为参数与直线4xky 1垂直，则常数k=.y 23tx 1t变式变式 1 1、设直线l1的参数方程为t 为参数，直线l2的方程为 y=3*+4

10、则l1与l2的y 13t距离为_x 13t变式变式 2 2、直线l1:(t为参数)与直线l2:2x4y 5相交于点B，又点A(1,2)，则y 24tAB _。1x 2t2变式变式 3 3、直线(t为参数)被圆x2 y2 4截得的弦长为_。y 11t2.z.-x 3tx 33cos,例例 2 2、经过曲线 C：(为参数)的中心作直线l:t 为参数的垂线，y 3siny 3t求中心到垂足的距离x 33cos,【解析】【解析】由曲线 C 的参数方程消去参数，y 3sin得(*-3)2+y2=9.曲线 C 表示以3，0为圆心，3 为半径的圆.x 3t由直线 l 的参数方程,消去参数 t,得 y=y 3

11、t表示经过原点，倾斜角为30的直线.3*.3如图,在直角三角形 OCD 中，OC=3，COD=30，所以 CD=，所以中心到垂足的距离为.2x 2sin变式变式 1 1、将参数方程(为参数)化为普通方程为2y sin3232Ay x2By x2Cy x2(2 x 3)Dy x2(0 y 1)x sin2变式变式 2 2、以下在曲线(为参数)上的点是y cossinA(,2)B(123 1,)C(2,3)D(1,3)4 2x sincos变式变式 3 3、P是曲线0,2)是参数上一点，P到点Q(0,2)距离y 1sin2的最小值是x 2cosy选讲选讲变式变式 4 4、点 P*,y在曲线(为参数

12、)上，则的取值范围为xy sinttx e e(t为参数)的普通方程为_。例例 4 4、参数方程tty 2(e e)变式变式1x t,tt 为参数的普通方程为_。1 1、参数方程y 1tt.z.-1x t t【解析】【解析】由2-2得，*2-y2=4,方程表示双曲线.y 1tt题型三：参数方程与圆锥曲线题型三：参数方程与圆锥曲线例例 1 1、参数方程x 4sin为参数的普通方程为_。y 5cosxsinx 4sin24x2【解析】【解析】,得+2，得16y 5coscosy5y2=1 表示椭圆.25x例例 2 2、选讲在平面直角坐标系*Oy 中，设 P(*,y)是椭圆+y2=1 上的一个动点，

13、求 S=*+y32的最大值.x 3cosx22【解析】【解析】由椭圆+y=1 的参数方程为(为参数)，3y sin可设动点 P 的坐标为3cos,sin,其中 02.31=2sin+.cossin因此，S=*+y=3cos+sin=2232所以当=时，S 取得最大值 2.6变式变式 1 1：2*2+3y2-6*=0*,yR，则*2+y2的最大值为.【解析】【解析】9题型四：综合运用题型四：综合运用例例 1 1、以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中x 12cos取一样的长度单位。直线的极坐标方程为(R)，它与曲线4y 22sin为参数相交于两点A 和 B，则|AB|=_

14、.例例 2 2、在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x cos,0,，以x轴的正半轴为极y sinb假设曲线C1与C2有两sincos轴建立极坐标系，曲线C2在极坐标系中的方程为.z.-个不同的交点，则实数b的取值范围是例例 3 3、在极坐标系下，圆O：cossin和直线l:sin(1求圆 O 和直线l的直角坐标方程；2当0,时，求直线l与圆 O 公共点的一个极坐标4)2，2x 4cost,x 8cos,例例 4 4、曲线 C1：t 为参数，C2：为参数。y 3sin,y 3sint,1化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；2假设 C1上的点 P 对应的参数为t 2，Q

15、为 C2上的动点，求PQ中点M到直线x 32t,t 为参数距离的最小值。C3:y 2t【稳固练习】【稳固练习】1直线：3*-4y-9=0 与圆：x 2cos，(为参数)的位置关系是y 2sinA.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心x 3t2 22曲线的参数方程为(t 是参数)，则曲线是2y t 1A、线段B、双曲线的一支C、圆D、射线2的极坐标为 3、点2，4、直线l经过点 P1，1，倾斜角=，直线l的参数方程为65、极坐标系中，圆=10cos的圆心坐标为36、点 P 的直角坐标为(1,-3),则点 P 的极坐标为，则|AB|=_，SAOB_7、假设 A3，B4，其中 O 是极点

16、368、极点到直线cossin3的距离是_.z.-52x 5cosx t9 2021*文两曲线参数方程分别为0 和，它4tRy siny t们的交点坐标为10 09*假设直线l1:则k 11 09*直线：3*-4y-9=0 与圆：x 12t,x s,t为参数与直线l2:s为参数垂直，y 12s.y 2 kt.x 2cos，(为参数)的位置关系是 y 2sinx 22t3距离等于2的点的坐标是12 09*直线t为参数上与点P2，y 32tx2y21上一点P与定点（13、求椭圆1，0）之间距离的最小值94【课后练习】【课后练习】1x t t1 1、曲线 C 的参数方程为,t为参数，t 0.求曲线

17、C 的普通方程。y 3(t 1)t02 2、曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos 3，4cos0，则曲线C1与C2交点的极坐标为3 3、直线l的参数方程：，2 x 2tt为参数，圆C 的极坐标方程：2 2sin，4y 1 4t试判断直线l与圆 C 的位置关系4 4、求曲线x sin过点(0,2)的切线方程为y cos25 5、在极坐标系中,设圆 3上的点到直线cos 3sin2的距离为d最大值为6 6、假设两条曲线的极坐标方程分别为1与 2cos，它们相交于A,B两点，求线3段AB的长.z.-x 1t7、求直线l1:(t为参数)和直线l2:x y2 3 0的交点P的坐标，及点P与y 53tQ

18、(1,5)的距离。【拓展练习】【拓展练习】1 1、2021*2021*英才学校英才学校极坐标与参数方程极坐标与参数方程求极坐标系中，圆 2上的点到直线cos3sin 6的距离的最小值2 2、20212021 通州第四次调研通州第四次调研求经过极点O(0,0),A(6,2),B(6 2,9)三点的圆的极坐标方程.4x 1 2cos,为参数，3 3、2021*2021*十中十中 极坐标与参数方程极坐标与参数方程圆 C 的参数方程为y 3 2sin假设 P 是圆 C 与*轴正半轴的交点，以原点O 为极点,*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点 P 的圆 C 的切线为l，求直线l的极坐标方程x2y21上找一点，使这一点到直线4 4、2007200720212021 泰兴市蒋华中学根底训练泰兴市蒋华中学根底训练 在椭圆1612x2y 12 0的距离的最小值。5 5、2007200720212021 泰兴市蒋华中学根底训练泰兴市蒋华中学根底训练点P(x,y)是圆x y 2y上的动点，221求2x y的取值范围；2假设x y a 0恒成立，*数a的取值范围。.z.