微积分、极限思想推导圆周长、面积公式1.pdf

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1、圆周长公式推导圆周长公式推导1.1.积分法积分法在平面直角坐标下圆的方程是 x2+y2=r2这可以写成参数方程x=r*Cos ty=r*Sin tt0,2于是圆周长就是C=(0 到 2）(（x(t)）2+（y(t）2)dt（Q Q：此处 x,y 对 t 为什么都要导？A A：将一个圆的周长分成 n 份，x（t)=x=xn-x（n1）,y(t）=y=yn-y(n-1).当 n,x,y0 时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度 C/n=（x2+y2)=（x（t)2+(y(t)2)。所以 C就是(x(t）)2+（y（t）)2)从 0 到 2的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了。

2、）=（0 到 2）（(-rSint)2+（rCost)2）dt =（0 到 2）r dt=2r2 2。极限法。极限法在圆内做内接等 n 边形,求等 n 边形周长：可以分割成 n 个以圆心为顶点的三角形，其底边长为 2r*sin（/n），所以等 n 边形周长为n*2r*sin（/n）这个周长对 n求极限limn*2rsin(/n)运用等价无穷小等价无穷小规则，当 x0 时，有 sinxx所以 limn*2*r*sin（/n)=limn2r*/n=2r。圆面积公式推导圆面积公式推导应用圆周长应用圆周长 C=2C=2 r r1.1.可以将圆分成两个半圆两个半圆,再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形并

3、展开，在拼接起来,底边可以以直代曲,那么就是一个底边长为r,高为 r的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。2.2.积分法积分法可将圆看成由无数个同心圆环环组成.设圆半径为 R，里面的同心圆环半径为 r，为自变量.设每个圆环厚度为 dr0，则圆环周长可看为 2r，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以 S=2r dr,从 0 积到 R.所以 S=21/2(R2-02）=R2。（球体积公式推导方法中的“球壳法 Shell Method”与此法是类似的.）不应用圆周长不应用圆周长 C=2C=2 r r 1.1.积分法积分法(1(1）圆方程为 x2+y2=r2.只需算出第一象限(0 积到 r

4、)，然后乘以 4.方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述.(2(2）我们回过头来看到上面周长推导中的 Q Q 和 A A.C/n=（x2+y2）=（(x(t)）2+(y(t）)2)，每份 C/n 与两条半径组成的扇形的底面曲边是可以以直代曲的，那每个小扇形可以看成以 C/n 为底、r 为高的等边三角形,每个面积就是 r*C/n1/2=1/2*r*（x2+y2)=1/2r(（x（t)2+（y(t）2).于是圆的面积就是S=（0 到 2）1/2r*（x(t）)2+(y(t）)2)dt=1/2r(0 到 2)（x（t）)2+（y（t）)2）dt=1/2rC=1/2*r2r=r2。2.2.极限法极限法类似于上面周长公式的极限法推导，在圆内做内接等 n 边形,求等 n 边形面积：可以分割成 n 个以圆心为顶点的三角形，根据正弦定理，其面积为 1/2*r*r*sin（2*/n）,所以等 n 边形面积为n*1/2*r2*sin（2*/n)这个面积对 n求极限limn1/2*r2*sin(2*/n)运用等价无穷小规则，当 x0 时，有 sinxx所以 limn*1/2r2*sin(2*/n)=limn*1/2*r22/n=r2*。