幂的知识点.pdf

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1、幂的知识点Last revision on 21 December 2020幂的运算（基础）幂的运算（基础）【要点梳理】【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质要点一、同底数幂的乘法性质aman amn(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即a a a a（m,n,p都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即a（m,n都是正整数）.

2、要点二、幂的乘方法则要点二、幂的乘方法则(a)amnmnmnpmnpmn aman(其中m,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnpmnp要点诠释：要点诠释：（1）公式的推广：(a)a（2）逆用公式：amnn(a 0，m,n,p均为正整数)maman，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则要点三、积的乘方法则(ab)n anbn (其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.nnnn要点诠释：要点诠释：（1）公式的推广：(abc)a b c(n为正整数).（2）逆用公式：a b ab逆用公式适当的变形

3、可简化运算过程，尤其是遇到nnn11底数互为倒数时，计算更简便.如：21021.22要点四、注意事项要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为 1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）4 4 4；（

4、2）2a a a a 2a a；（3）(x y)(x y)【答案与解析】【答案与解析】解：（1）原式 4234nn1234345261010(x y)m1(x y)2n1(x y)m1 493452617777（2）原式 2aa2a 2a a 2a ann1m1(x y)2n1m1(x y)2nm(x y)2nm 2(x y)2nm（3）原式(x y)【总结升华】【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则在第（2）小题中a的指数是1在第（3）小题中把x y看成一个整体举一反三：举一反三：【变式

5、】计算：（1）3 (3)(3)；（2）x(x)p2 p2n532(x)2 p1（p为正整数）；（3）32(2)(2)（n为正整数）【答案】【答案】解：（1）原式 3 (3)3 3 3 3 3（2）原式 x x（3）原式 2 22、已知2x25p2 p2n532532532 310(x2 p1)xp2p2p1 x5p1(2)252n1 262n 20，求2x的值x2x2【思路点拨】【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：2 2 2【答案与解析】【答案与解析】x2x2解：由2 20得2 2 202 5【总结升华】【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力（2）同底数幂的乘法x a

6、a法则的逆运用：a类型二、幂的乘方法则类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）(a)；（2）(m)；（3）(a)【思路点拨】【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a，（2）题中的底数是m，（3）题中的底数a的指数是3m，乘方以后的指数应是2(3m)62m【答案与解析】【答案与解析】2m解：（1）(a)am2m2mnmn3 43m2（2）(m)(m)m3 41212 a（3）(a)a【总结升华】【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知x2m3m22(3

7、m)62m1 5，求x6m5的值5【答案与解析】【答案与解析】111 5，x6m5(x2m)35 535 20555mnmnnm【总结升华】【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：a(a)(a)（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力举一反三：举一反三：ab3a2b【变式 1】已知x 2，x 3求x的值【答案】【答案】3a2b x3ax2b(xa)3(xb)2 233289 72解：x解：x2m【变式 2】已知8 4，8 5，求8【答案】【答案】解：因为83mmn3m2n的值(8m)3 43 64,82n(8n)2 52 25.3m2n88所以8类型三、积的乘方法则类型三、积的乘方法则3m2n

8、 6425 1600.5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）(ab)ab；（2）(4ab)64a b；（3）(3x)9x【答案与解析】【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：(ab)a b（2）对（3）错，系数应为 9，应为：(3x)9x【总结升华】【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方（2）注意系数及系数符号，对系数1 不可忽略32622222333326【典型例题】【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)(b 2)3(b 2)5(b 2)；(2)(x2y)2(2y x)3【答案与解

9、析】【答案与解析】解：（1）(b2)3(b 2)5(b 2)(b 2)351(b 2)9（2）(x2y)2(2y x)3(x2y)2(x2y)3(x2y)5【总结升华】【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：nna(n为偶数),(ba)(n为偶数)n(a)n(ab)na(n为奇数),(ba)(n为奇数)类型二、幂的乘方法则类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）(ab)23；（2）(y3)2(y2)32yy5；（3）(x2m2)4(xm1)2；（4）(x3)2(x3)4【答案与解析】【答案与解析】解：（1）(ab)23(ab)23(a

10、b)6（2）(y3)2(y2)32y y5 y6 y62y6 2y62y6 0n（3）(x2m2)4(xm1)2 x4(2 m2)x2(m1)x8m8 x2m2 x10m6（4）(x3)2(x3)4 x6x12 x18【总结升华】【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式3、已知8m 4，8n 5，求83m2n的值【思路点拨】【思路点拨】由于已知8m,8n的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把83m2n变成83m82n(8m)3(8n)2，再代入计算.【答

11、案与解析】【答案与解析】解：因为83m(8m)3 43 64,82n(8n)2 52 25.所以83m2n83m82n 6425 1600.【总结升华】【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8m,8n当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：举一反三：【变式】已知a3m 2,b2m 3，则a2mbma2bbm363m【答案】【答案】5；提示：原式a类型三、积的乘方法则类型三、积的乘方法则3m2bab2m33m22m2 原式223322325.4、计算：（1）(2xy2)4（2）a2(a4b3)33【思路点拨】【思

12、路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】【答案与解析】解：（1）(2xy2)4(1)24 x4(y2)4 16x4y8（2）a2(a4b3)33(a2)3(a12b9)3 a6(a36)b27 a42b27【总结升华】【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方（2）注意系数及系数符号，对系数1 不可忽略举一反三：举一反三：【变式】下列等式正确的个数是()2x2y3 6x6y9a2m a6m3a6 3a9333510571073510350.510021010.521002 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】【答案】A；提

13、示：只有正确；2x2y3 8x6y9；a2m a6m；3a6 27a18；333510710351057123.51013同底数幂的除法同底数幂的除法【要点梳理】【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即aman amn（a0，m、n都是正整数，并且m n）要点诠释：要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂要点二、零指数幂任何不等于 0

14、 的数的 0 次幂都等于 1.即a01（a0）要点诠释：要点诠释：底数a不能为 0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母 0 次方的积.因此常数项也叫 0 次单项式.要点三、负整数指数幂要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即an1（a0，n是正整数）.an引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.aman amn（m、n为整数，a 0）；mab ambm（m为整数，a 0，b 0）am amn（m、n为整数，a 0）.n要点诠释：要点诠释：ana 0是an的倒数，a可以是不等于 0 的数

15、，也可以是不等于0 的代数式.例如2xy1115（xy 0），ab（ab 0）.52xyab要点四、科学记数法的一般形式要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于 10 的数表示成a10n的形式，其中n是正整数，1|a|10（2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即a10n的形式，其中n是正整数，1|a|10.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】【典型例题】类型一、同底数幂的除法类型一、同底数幂的除法1、计算：11（1）x x；（2）(a)a；（3）(2xy)(2xy)；（4）33【思路点拨】【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算(2)、(4)两小题要

16、注意符号【答案与解析】【答案与解析】解：（1）x8 x3 x83 x5（2）(a)3a a31 a2（3）(2xy)5(2xy)2(2xy)52(2xy)38x3y3833525311111（4）33339【总结升华】【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号535322、计算下列各题：（1）(x y)5(x y)（2）(5a 2b)12(2b5a)5（3）(3106)4(3106)2（4）(x2y)33(2y x)24【思路点拨】【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如(

17、5a2b)12(2b5a)12（2）注意指数为 1 的多项式如x y的指数为 1，而不是 0【答案与解析】【答案与解析】解：（1）(x y)5(x y)(x y)51(x y)4（2）(5a2b)12(2b5a)5(2b5a)12(2b5a)5(2b5a)7（3）(3106)4(3106)2(3106)42(3106)2 91012（4）(x2y)33(2y x)24(x2y)9(x2y)8(x2y)98 x2y【总结升华】【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算3、已知3m 2，3n 4，求9m12n的值【答案与解析】【答案与解析】9m1(32)m1

18、32m232m3232m32(3m)232m12n2n22n4n解：94nn4n49(3)33(3)(3)22329当3 2，3 4时，原式4464【总结升华】【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m，3n的式子，再代入求值本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式举一反三：举一反三：【变式】已知25m 52m，求m的值【答案】【答案】mn解：由25 52得5底数mmm1 2m1，即5m12m1 51，2m11，5不等于 0 和 1，20 5，即m1 0，m 12类型二、负整数次幂的运算类型二、负整数次幂的运算24、计算：（1）；（2）a2

19、b3(a1b)3(ab)13【答案与解析】【答案与解析】1192；解：（1）2434293（2）a2b3(a1b)3(ab)1 a2b3a3b32 52m12ab a0b b【总结升华】【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义举一反三：举一反三：1【变式】计算：2521232(3.14)02【答案】【答案】1解：2521232(3.14)021 15、已知3m，16，则mn的值_272【答案与解析】【答案与解析】11解：3m3 33，m 3273n441 2n，16 24，2n 24，n 4211mn(3)4(3)48111【总结升华】【总结升华】先将变形为底数为 3 的幂，2n，16 24，

20、然后确定m、n的272值，最后代值求mn举一反三：举一反三：nn 1【变式】计算：（1）(a b c)；（2）b cb2c3；2【答案】【答案】1232323b4解：（1）原式 a b c26a c246（2）原式 b c8b c8b c类型三、科学记数法类型三、科学记数法23698128b812c6、用科学记数法表示下列各数：（1）；（2）；（3）；（4）【答案与解析】【答案与解析】解：（1）105；（2）2.03107；（3）1.35104；（4）6.7104.n【总结升华】【总结升华】注意在a10中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）【巩固练习】【巩

21、固练习】一一.选择题选择题1.cc的值是()A.c8B.c1535C.c15D.c82anan2的值是()A.an3B.ann2C.a2n2D.a83下列计算正确的是()A.x2 x2 x4 B.x3xx4 x7C.a4a4 a16 D.aa2 a34下列各题中，计算结果写成 10 的幂的形式，其中正确的是().A.100102103 B.100010101030C.100103105 D.10010001045下列计算正确的是()A.xy3 xy3B.5xy22 5x2y4C.3x22 9x4D.2xy23 8x3y66若2ambn38a9b15成立，则()A.m6，n12B.m3，n12C

22、.m3，n5D.m6，n5二二.填空题填空题7.若2m 6,2n 5，则2mn_8.若a3xa a19，则x_9.已知a3n 5，那么a6n_10若a3am a8，则m_；若33x181，则x_11.33522_；n3 _；32_12.若 n 是正整数，且a2n10，则(a3n)28(a2)2n_.三三.解答题解答题13.判断下列计算的正误（1）x3 x3 x6 ()（2）(y3)2 y5 ()（3）(2ab2)2 2a2b4（）（4）(xy2)2 xy4 ()14.（1）x(x3)8(x4)3；（2）(1a2b3)3(a3b2)23；（3）10(0.3103)(0.4105)；（4）b2a3

23、2ab5；（5）5a623a33a3；15.（1）若xnx3n3 x35，求n的值（2）若anbmb3 a9b15，求m、n的值【答案与解析】【答案与解析】一一.选择题选择题1.【答案】D；【解析】c3c5c35c8 c8.2.【答案】C；【解析】anan2 ann2 a2n2.3.【答案】D；【解析】x2 x2 2x2；x3xx4 x8；a4a4 a8.4.【答案】C；【解析】100102104；100010101013；1001000105.5.【答案】D；【解析】xy x3y3；5xy2 25x2y4；3x2 9x4.3226.【答案】C；【解析】2ambn8a3mb3n8a9b15,3

24、m 9,3n 15，解得m3，n5.3二二.填空题填空题7.【答案】30；【解析】2mn 2m2n 65 30.8.【答案】6；【解析】a3x1 a19,3x119,x 6.9.【答案】25；【解析】a6na3n 52 25.10.【答案】5；1；【解析】a3am a3m a8,3 m 8,m 5；33x1 81 34,3x1 4,x 1.11.【答案】64；n9；310；12.【答案】200；【解析】(a3n)28(a2)2na2n8a2n1000800 200.322三三.解答题解答题13.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）14.【解析】解：（1）x(x3)8(x4)3 xx24x12 x37；1169a b a6b4；3273（3）10(0.310)(0.4105)0.30.4101031051.2108；（2）(a2b3)3(a3b2)2 35（4）b2a 2ab 2ab 2ab 2ab；（5）5a623583a33a3 25a1227a9a3 2a12.15.【解析】解：（1）xnx3n3 x35x4n3 x354n335n8（2）m4，n3解：anbmb a9b15a3nb3mb3 a3nb3m3 a9b153n9 且 3m315n3 且m43