相似三角形常见模型及经典型例题讲解.pdf

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1、第一部分第一部分相似三角形模型分析相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）A AA AD DD DE EE EC CB B（平行）B BC C（不平行）（二）8 字型、反 8 字型A AA AO OC CD DC CB BB BJ JD D（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型AA ADD DB BC CC（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景.（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC二、相似三角形判定的变化模型二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A 字型旋

2、转得到。8 字型拓展AAEGFDBCE共享性BC.一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形母子型相似三角形例 1：如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E求证：OC OAOE2例 2：已知：如图，ABC中，点E在中线AD上,DEB ABC求证：（1）DB DE DA；（2）DCE DAC2BDECA例 3：已知：如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证：BE EFEG2相关练习：相关练习：1、如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂

3、直平分线求证：FD FBFC2.2、已知：AD 是 RtABC 中A 的平分线，C=90，EF 是AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点 N。求证：(1)AMENMD;(2)ND=NCNB3、已知：如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 上一点，CFBE 于 F。求证：EBDF=AEDB24.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：GBM 905（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）、（3）小题满分各 5 分）已知：如图，在 RtABC中，C=90，B

4、C=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=BAMEHBDFGCA设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积APDE（第 25 题图）C双垂型双垂型.1、如图，在ABC 中，A=60，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2EDA AE ED D2、如图，已知锐角ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别是

5、 27 和 3，DE=62，求：点 B 到直线 AC 的距离。B BAC CEBDC共享型相似三角形共享型相似三角形1、ABC 是等边三角形,D、B、C、E 在一条直线上,DAE=120，已知 BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.ADBCE2、已知：如图，在 RtABC中，AB=AC，DAE=45求证：（1）ABEACD；（2）BC2 2BE CDB.ADEC一线三等角型相似三角形一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边ABC中，边长为 6，D是BC上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3 时，求BEBDAEFC例 2：（1 1）在ABC中，AB AC 5，

6、BC 8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ ABC.若点P在线段CB上（如图），且BP 6，求线段CQ的长；若BP x，CQ y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；AQB（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ 90.当CQ 1时，求出线段BP的长.ADADADPCAAB备用图CB备用图CBCBCBC例 3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCAA.PDBC求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD

7、边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1 时，写出AP的长ADADBCBC例 4：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB CD BC 6，AD 3点M为边BC的中点，以M为顶点作EMF B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF（1）求证：MEFBEM；（2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF CD，求BE的长相关练习：相关练习：1、如图，在ABC中，AB AC 8，BC 10，D是BC边上的一个

8、动点，点E在AC边上，且ADE C(1)求证：ABDDCE；.AE(2)如果BD x，AE y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；(3)当点D是BC的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由2、如图，已知在ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作DEF B，射线EF交线段AC于F（1）求证：DBEECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长AFDBEC3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点（1）如图，P为BC上的一点

9、，且BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当SDMF9SBEP时，求BP的长4AEDECADBPBC（第 25 题（备用图）3BCABCCF 1FE4、如图，已知边长为的等边，点在边上，点是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N，（1）写出图中与BEF相似的三角形；.（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE x,MN y，求y与x之间的函数关

10、系式，并写出自变量x的取值围；（4）若AE 1，试求GMN的面积例例 1 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作PE CP，交边 AB 于点 E,设PD x,AE y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值围。例例 2 2、在ABC中，C 90,AC 4,BC 3,O是 AB 上的一点，且o点，PQ OP交线段 BC 于点 Q，（不与点 B,C 重合），设AP x,CQ y，试求y关于 x 的函数关系，并写出定义域。【练习练习 1 1】在直角ABC中，C 90,AB 5,tan B o交射线 AC 于点 F

11、（1）、求 AC 和 BC 的长（2）、当EF/BC时，求 BE 的长。（3）、连结 EF,当DEF和ABC相似时，求 BE 的长。A AE E一线三直角型相似三角形一线三直角型相似三角形备用图A AP PD DE EB BC CAO2，点P 是 AC 上的一个动AB5C CQ QP PB BO OA A3，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，DF DE4A A.E EF FF FC CD DB BC CD DB B【练习练习 2 2】在直角三角形 ABC 中，C 90,AB BC,D是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的一个动点，（与 A,Co不重合），DF DE,

12、DF与射线 BC 相交于点 F.(1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：DE DFDEADm，求的值DFDBAD1，设AE x,BF y,求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域（3）、当AC BC 6,DB2(2)、当C CC CF FF FE EA AE ED DB BA AD DB B【练习练习 4 4】如图，在ABC中，C 90，AC 6，tanB 3，D是BC边的中点，E为AB边上4的一个动点，作DEF 90，EF交射线BC于点F设BE x，BED的面积为y（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.【练习练习 5 5】、（2009 年黄浦一模 25）如图,在梯形ABCD中，AB CD,AB 2,AD 4,tanC 一个动点(不含点B、C),作PQ AP交CD于点Q.(图 1).40，ADC DAB 90,P是腰BC上3(1)求BC的长与梯形ABCD的面积；(2)当PQ DQ时,求BP的长；(图 2)(3)设BP x,CQ y,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域.ABP（图 1）DQC.ABP2）DQC（图