通用版2020版高考数学大一轮复习第12讲函数模型及其应用学案理新人教A版.pdf

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1、通用版通用版 20202020 版高考数学大一轮版高考数学大一轮复习第复习第 1212 讲函数模型及其应用讲函数模型及其应用学案理新人教学案理新人教 A A 版版通用版通用版 20202020 版高考数学大一轮版高考数学大一轮复习第复习第 1212 讲函数模型及其应用讲函数模型及其应用学案理新人教学案理新人教 A A 版版第第 1212 讲讲函数模型及其应用函数模型及其应用1 1.三种函数模型的性质的比较三种函数模型的性质的比较x xy=y=函数函数y=ay=a(logloga ax x(aay=xy=xn n(nn0)0)性质性质aa1)1)1)1)在在(0,(0,+)单调单调 单调单调单调

2、单调上的上的增减增减性性增长增长 越来越来 越来越来速度速度 越快越快 越慢越慢相对平稳相对平稳2 2.常见的函数模型常见的函数模型函数函数模型模型函数解析式函数解析式一次一次f f(x x)=ax+b=ax+b(a a,b b为为3 3函数函数模型模型二次二次常数常数,a a0)0)f f x x=ax=ax2 2+bx+c+bx+ca ab b函数函数()(,模型模型,c c为常数为常数,a a0)0)反比反比例函例函f f(x x)=+b+b(k k,b b数模数模为常为常数且数且型型k k0)0)指数指数f f(x x)=ba=bax x+c+c(a a,b b,c c为为函数函数 常

3、数常数,aa0 0 且且a a模型模型1,1,b b0)0)对数对数f f(x x)=b=blogloga ax+cx+c(a a,b b,函数函数c c为常数为常数,aa0 0 且且a a模型模型1,1,b b0)0)幂函幂函数模数模f f(x x)=ax=ax+b+b(a a,b b,为为型型常数常数,a a0,0,0)0)4 4常用结论常用结论1 1.函数函数f f(x x)=+(aa0,0,bb0,0,xx0)0)在区间在区间(0,(0,上单上单调递减调递减,在区间在区间,+)上单调递增上单调递增.2 2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸直线上升、对数缓慢、指数爆炸.题组一题组一常识题常识

4、题1 1.教材改编教材改编 函数模型函数模型y y1 1=0 0.2525x x,y y2 2=loglog2 2x+x+1,1,y y3 3=1 1.002002x x,随着随着x x的增大的增大,增长增长速度的大小关系是速度的大小关系是.(填关于填关于y y1 1,y y2 2,y y3 3的关的关系式系式)图图 2 2-1212-1 12 2.教材改编教材改编 在如图在如图 2 2-1212-1 1 所示的锐角三角形空所示的锐角三角形空地中地中,欲建一个面积不小于欲建一个面积不小于 300 m300 m2 2的内接矩形花的内接矩形花园园(阴影部分阴影部分),),则其边长则其边长x x(单

5、位单位:m):m)的取值范围的取值范围是是.3 3.教材改编教材改编 某车间分批生产某种产品某车间分批生产某种产品,每批的每批的生产准备费用为生产准备费用为 800800 元元.若每批生产若每批生产x x件件,则平均则平均5 5仓储时间为仓储时间为 天天,且每件产品每天的仓储费用为且每件产品每天的仓储费用为 1 1元元.把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和之和S S表示为表示为x x的函数是的函数是.4 4.教材改编教材改编 已知某物体的温度已知某物体的温度Q Q(单位单位:摄氏度摄氏度)随时间随时间t t(单位单位:分钟分钟)的变化规律为的变化规律

6、为Q=mQ=m2 2t t+2 21 1-t-t(t t0,0,且且mm0)0).若物体的温度总不低于若物体的温度总不低于 2 2 摄氏度摄氏度,则则m m的取值范围是的取值范围是.题组二题组二常错题常错题索引索引:审题不清致错审题不清致错;忽视限制条件忽视限制条件;忽视实际问忽视实际问题中实际量的单位、题中实际量的单位、含义、含义、范围等范围等;分段函数模型分段函数模型的分界把握不到位的分界把握不到位.5 5.一枚炮弹被发射后一枚炮弹被发射后,其升空高度其升空高度h h与时间与时间t t的函的函数关系式为数关系式为h=h=130130t-t-5 5t t2 2,则该函数的定义域则该函数的定义

7、域是是.6 6.某物体一天中的温度某物体一天中的温度T T是关于时间是关于时间t t的函数的函数,且且T=tT=t3 3-3 3t+t+60,60,时间单位是小时时间单位是小时,温度单位是温度单位是,当当t=t=0 0时表示中午时表示中午12:00,12:00,其后其后t t值为正值为正,则上午则上午8 8时该时该物体的温度是物体的温度是.6 67 7.在不考虑空气阻力的情况下在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度火箭的最大速度v v(米米/秒秒)关于燃料的质量关于燃料的质量MM(千克千克)、火箭、火箭(除燃料除燃料外外)的质量的质量m m(千克千克)的函数关系式是的函数关系式是v=v=20

8、002000ln ln(+).当燃料质量是火箭质量的当燃料质量是火箭质量的倍时倍时,火箭的最大速度可达火箭的最大速度可达 1212 千米千米/秒秒.8 8.已知已知A A,B B两地相距两地相距 150150 千米千米,某人开汽车以某人开汽车以 6060千米千米/小时的速度从小时的速度从A A地到达地到达B B地地,在在B B地停留地停留 1 1小时后再以小时后再以 5050 千米千米/小时的速度返回小时的速度返回A A地地,则汽则汽车离开车离开A A地的距离地的距离S S(千米千米)关于时间关于时间t t(小时小时)的函的函数表达式是数表达式是.探究点一探究点一一次、二次函数模型一次、二次函

9、数模型例例 1 1 某公司为提高员工的综合素质某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机聘请专业机构对员工进行专业技术培训构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用其中培训机构费用成本为成本为 12 00012 000 元元.公司每位员工的培训费用按以公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人若公司参加培训的员工人数不超过数不超过 3030 人人,则每人的培训费用为则每人的培训费用为 850850 元元;若公若公司参加培训的员工人数多于司参加培训的员工人数多于 3030 人人,则给予优惠则给予优惠,每多一人每多一人,培训费减少培训费减少1010元元,但参

10、加培训的员工人但参加培训的员工人数最多为数最多为 7070.已知该公司最多有已知该公司最多有 6060 位员工可参加位员工可参加7 7培训培训,设参加培训的员工人数为设参加培训的员工人数为x x,每位员工的培每位员工的培训费为训费为y y元元,培训机构的利润为培训机构的利润为Q Q元元.(1)(1)写出写出y y与与x x(xx0,0,x xN N*)之间的函数关系式之间的函数关系式.(2)(2)当公司参加培训的员工有多少人时当公司参加培训的员工有多少人时,培训机构培训机构可获得最大利润可获得最大利润?并求出最大利润并求出最大利润.总结反思总结反思 在建立二次函数模型解决实际问题在建立二次函数

11、模型解决实际问题中的最优问题时中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域即函数的定义域,解决函数应用问题时解决函数应用问题时,最后还要最后还要还原到实际问题中还原到实际问题中.变式题变式题 整改校园内一块长为整改校园内一块长为 15 m,15 m,宽为宽为 11 m11 m 的的长方形草地长方形草地(如图如图 2 2-1212-2),2),将长减少将长减少 1 m,1 m,宽增加宽增加 1 1m,m,问草地面积是增加了还是减少了问草地面积是增加了还是减少了?假设长减少假设长减少x x m,m,宽增加宽增加x x m(m(xx0),0),试研究以下问题试

12、研究以下问题:8 8x x取什么值时取什么值时,草地面积减少草地面积减少?x x取什么值时取什么值时,草地草地面积增加面积增加?图图 2 2-1212-2 2探究点二探究点二指数、对数函数模型指数、对数函数模型例例 2 2 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产游回产地产卵卵.记鲑鱼的游速为记鲑鱼的游速为v v m/s,m/s,鲑鱼的耗氧量的单位鲑鱼的耗氧量的单位数为数为x x,研究中发现研究中发现v v与与 loglog3 3当当x=x=300300 时时,v=v=.(x x100)100)成正比成正比,且且(1)(1)求出求出v v关于关于x x的函数解析式的函数

13、解析式.(2)(2)计算一条鲑鱼的游速是计算一条鲑鱼的游速是m/sm/s 时耗氧量的单时耗氧量的单位数位数.9 9(3)(3)当鲑鱼的游速增加当鲑鱼的游速增加 1 m/s1 m/s 时时,其耗氧量是原来其耗氧量是原来的几倍的几倍?总结反思总结反思 与指数函数、对数函数两类函数模与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题型有关的实际问题,在求解时在求解时,要先学会合理选择要先学会合理选择模型模型.(1)(1)在两类函数模型中在两类函数模型中,指数函数模型是增长指数函数模型是增长速度越来越快速度越来越快(底数大于底数大于 1)1)的一类函数模型的一类函数模型.(2)(2)在在解决这两类函数模型

14、时解决这两类函数模型时,一般先要通过待定系数一般先要通过待定系数法确定函数解析式法确定函数解析式,再借助函数的图像求解最值再借助函数的图像求解最值问题问题.变式题变式题 将甲桶中的将甲桶中的a a L L 水缓慢注入空桶乙中水缓慢注入空桶乙中,t tminmin 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ay=ae entnt.假设过假设过 5 min5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等后甲桶和乙桶中的水量相等,若再过若再过m m min min后甲桶中的水只有后甲桶中的水只有L,L,则则m m的值为的值为()A A.5 5 B B.8 8C C.9 9 D D.

15、10101010探究点三探究点三分段函数模型分段函数模型例例 3 3 某群体的人均通勤时间是指单日内该群体某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班某地上班族族S S中的成员仅以自驾或公交方式通勤中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显分析显示示:当当S S中中x x%(0%(0 xx100)100)的成员自驾时的成员自驾时,自驾群体自驾群体的人均通勤时间的人均通勤时间(单位单位:分钟分钟)为为,f f(x x)=而公交群体而公交群体+-,的人均通勤时间不受的人均通勤时间不受x x影响影响,恒为恒为 4040 分钟分钟.试根据试

16、根据上述分析结果回答下列问题上述分析结果回答下列问题:(1)(1)当当x x在什么范围内时在什么范围内时,公交群体的人均通勤时公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)(2)求该地上班族求该地上班族S S的人均通勤时间的人均通勤时间g g(x x)的表达式的表达式,讨论讨论g g(x x)的单调性的单调性,并说明其实际意义并说明其实际意义.总结反思总结反思(1)(1)某些实际问题中的变量关系不能某些实际问题中的变量关系不能用同一个关系式给出用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式而是由几个不同的关系式构成构成,所以应建立分段函数模型所以应建立分段函数

17、模型;(2);(2)构建分段函数构建分段函数1111时时,要力求准确、简捷、合理、不重不漏要力求准确、简捷、合理、不重不漏;(3);(3)分段分段函数的最值是各段最大值函数的最值是各段最大值(或最小值或最小值)中的最大值中的最大值(或最小值或最小值).变式题变式题 某科研小组研究发现某科研小组研究发现:一棵水果树的产量一棵水果树的产量w w(单位单位:百千克百千克)与肥料费用与肥料费用x x(单位单位:百元百元)满足如满足如下关系式下关系式:w=w=-+(),),+(yy1 1yy2 2 解析解析 根据指数函数、根据指数函数、一次函数、一次函数、对对数函数的增长速度关系可得数函数的增长速度关系

18、可得.2 2.10,3010,30 解析解析 设矩形的另一边长为设矩形的另一边长为y y m,m,由相由相似三角形的性质可得似三角形的性质可得=-(0(0 xx40),40),解得解得y=y=4040-x-x(0(0 xx40),40),矩形的面积矩形的面积S=xS=x(40(40-x-x).矩形花园的面积不小于矩形花园的面积不小于 300 m300 m2 2,x x(40(40-x-x)300,300,即即(x-x-10)(10)(x-x-30)30)0,0,解得解得 1010 x x30,30,满足满足 0 0 xx40,40,故其边长故其边长x x(单位单位:m):m)的取值范围是的取值

19、范围是10,3010,30.3 3.S=.S=+解析解析 由题意知由题意知,每件产品的生产准每件产品的生产准备费用是备费用是元元,仓储费用是仓储费用是()元元,所以每件所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和产品的生产准备费用与仓储费用之和S=S=+.14144 4.,+)解析解析 物体的温度总不低于物体的温度总不低于 2 2 摄氏摄氏度度,即即Q Q2 2 恒成立恒成立,即即m m2 2+2 2 恒成立恒成立,即即m m2 2(-t t)恒成立恒成立.令令=x=x,则则 0 0 xx1,1,m m2(2(x-xx-x2 2),),由于当由于当 0 0 xx1 1 时时,x-xx-x,所以所以

20、m m.2 2因此因此,当物体的温度总不低于当物体的温度总不低于 2 2 摄氏度时摄氏度时,m m的取的取值范围是值范围是,+).5 5.0,260,26 解析解析 令令h h0,0,解得解得 0 0t t26,26,故所求定故所求定义域为义域为0,260,26.6 6.8 8 解析解析 由题意知由题意知,上午上午8 8时即时即t=-t=-4,4,因此所因此所求温度求温度T=T=(-4)4)3 3-3 3(-4)4)+6060=8(8().7 7.e e-1 1 解析解析 由题意可得由题意可得12 00012 000=2000ln2000ln(+),6 6则则 ln ln(+)=6,6,解得解

21、得 1 1+=e e,所以所以=e e6 6-1,1,故填故填6 6e e6 6-1 1.1515(.),),8 8.S=.S=(.),),解析解析 当当0 0t t-(.)2 2.5 5 时时,S=S=6060t t;当当 2 2.5 5tt3 3.5 5 时时,S=S=150;150;当当 3 3.5 5tt6 6.5 5时时,S=S=150150-50(50(t-t-3 3.5)5)=325325-5050t.t.【课堂考点探究】【课堂考点探究】例例 1 1 思路点拨思路点拨(1)(1)根据题意根据题意,分分 0 0 xx30(30(x xN N*)和和 3030 xx60(60(x x

22、N N*)两种情况考虑两种情况考虑;(2);(2)利润是用每利润是用每人的培训费用乘培训人数再减去成本人的培训费用乘培训人数再减去成本,根据一次根据一次函数与二次函数的性质分别求得最大值函数与二次函数的性质分别求得最大值,然后比然后比较即可较即可.解解:(1):(1)依题意得依题意得,当当 0 0 xx3030时时,y=y=850;850;当当 3030 xx6060时时,y=y=850850-10(10(x-x-30)30)=-=-1010 x+x+11501150.,*,y=y=-+,*.(2)(2)当当 0 0 xx30,30,x xN N*时时,Q=Q=850850 x-x-12 00

23、0,12 000,当当x=x=3030时时,Q Q取得最大值取得最大值,即即Q Qmaxmax=13 50013 500.当当 3030 x 13 500,13 500,当公司参加培训的员工人数为当公司参加培训的员工人数为5757或或5858时时,培训培训机构可获得最大利润机构可获得最大利润 21 06021 060 元元.变式题变式题解解:原草地面积原草地面积S S1 1=11111515=165(m165(m2 2),),整改后草地面积为整改后草地面积为S=S=14141212=168(m168(m2 2),),SSSS1 1,整改后草地面积增加了整改后草地面积增加了.研究研究:长减少长减

24、少x x m,m,宽增加宽增加x x m m 后后,草地面积为草地面积为S S2 2=(11(11+x+x)(15)(15-x-x).S S1 1-S-S2 2=165165-(11(11+x+x)(15)(15-x-x)=x=x2 2-4 4x x,当当 0 0 xx4 4 时时,x x2 2-4 4xx0,0,即即S S1 1Sx4 4 时时,x x2 2-4 4xx0,0,即即S S1 1SS2 2.综上所述综上所述,当当 0 0 xxx4 4 时时,草地面积减少草地面积减少.1717例例 2 2 思路点拨思路点拨(1)(1)用待定系数法求解用待定系数法求解;(2);(2)将将v=v=代

25、入解析式代入解析式,解方程求解方程求x x即可即可;(3);(3)设原来的游速为设原来的游速为v v0 0 m/s,m/s,耗氧量的单位数为耗氧量的单位数为x x0 0,游速增加游速增加1 m/s1 m/s后为后为(v v0 0+1)m/s,1)m/s,耗氧量的单位数为耗氧量的单位数为x x,分别代入解析式分别代入解析式后后,两式消去两式消去v v0 0,整理可得整理可得.解解:(1):(1)设设v=kv=kloglog3 3(k k0),0),当当x=x=300300 时时,v=v=,解得解得k=k=,v v关于关于x x的函数解析式为的函数解析式为v=v=loglog3 3(x x100)

26、100).(2)(2)当游速为当游速为m/sm/s 时时,由解析式得由解析式得=loglog3 3,loglog3 3=3,3,=27,27,解得解得x=x=2700,2700,即耗氧量的单位数为即耗氧量的单位数为 27002700.(3)(3)设原来的游速为设原来的游速为v v0 0 m/s,m/s,耗氧量的单位数为耗氧量的单位数为x x0 0,游速增加游速增加 1 m/s1 m/s 后为后为(v v0 0+1)m/s,1)m/s,耗氧量的单位数耗氧量的单位数为为x x,则则v v0 0=loglog3 3,1818v v0 0+1 1=loglog3 3,-得得 1 1=loglog3 3

27、-loglog3 3=loglog3 3,loglog3 3=2,2,=3 32 2=9,9,耗氧量是原来的耗氧量是原来的 9 9 倍倍.变式题变式题A A 解析解析 5 min5 min 后甲桶和乙桶中的后甲桶和乙桶中的水量相等水量相等,函数函数y=fy=f(t t)=a=ae e 满足满足f f(5)(5)=a=ae e=a a,ntnt5 5n n可得可得n=n=ln ln.设设k k min min 后甲桶中的水只有后甲桶中的水只有L,L,则则f f(k k)=a a,即即 ln ln k=k=ln ln,即即 ln ln k=k=2ln2ln,解得解得k=k=10,10,故故m=m=

28、1010-5 5=5 5.故选故选 A A.例例3 3 思路点拨思路点拨(1)(1)求出求出f f(x x)4040时时x x的取值范围的取值范围即可即可;(2);(2)分段求出分段求出g g(x x)的解析式的解析式,判断判断g g(x x)的单调性的单调性,再说明其实际意义再说明其实际意义.1919解解:(1):(1)由题意知由题意知,当当 3030 xx 40,40,即即x x2 2-6565x+x+900900 0,0,解得解得xxx45,45,当当x x(45,100)(45,100)时时,公交群体的人均通勤时间少公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间于自驾群体的人均通勤时

29、间.(2)(2)当当 0 0 xx3030 时时,g g(x x)=3030 x x%+40(140(1-x-x%)%)=4040-;当当 3030 xx100100 时时,g g(x x)=(+-)x x%+40(140(1-x-x%)%)=-x+x+5858.-(),),g g(x x)=-+().).当当 0 0 xx3232.5 5 时时,g g(x x)单调递减单调递减;当当 3232.5 5xx100100 时时,g g(x x)单调递增单调递增.说明该地上班族说明该地上班族S S中有小于中有小于 3232.5%5%的人自驾时的人自驾时,人均通勤时间是递减的人均通勤时间是递减的;有

30、大于有大于 3232.5%5%的人自驾的人自驾2020时时,人均通勤时间是递增的人均通勤时间是递增的;当自驾人数为当自驾人数为 3232.5%5%时时,人均通勤时间最少人均通勤时间最少.变式题变式题+-(),),解解:(1):(1)L L(x x)=1616w-w-2 2x-x=x-x=-().).+(2)(2)当当 0 0 x x2 2 时时,L L(x x)maxmax=L=L(2)(2)=42;42;当当 2 2xx5 5 时时,L L(x x)=6767-6767-2 2+(+)(+)=43,43,当且仅当当且仅当=3(3(x+x+1),1),即即x=x=3 3 时等号成立时等号成立.

31、由于由于+4242 43,43,所以当投入的肥料费用为所以当投入的肥料费用为300300元时元时,该棵水该棵水果树获得的利润最大果树获得的利润最大,最大利润为最大利润为 43004300 元元.【备选理由】【备选理由】例例 1 1 为一次函数与二次函数模型为一次函数与二次函数模型问题问题,需要分情况讨论求最值需要分情况讨论求最值;例例 2 2 是一道指数函是一道指数函数模型应用问题数模型应用问题,需要两边取对数求解需要两边取对数求解;例例 3 3 为分为分段函数模型段函数模型,需要对函数求导得最值需要对函数求导得最值,运算量较大运算量较大.2121例例 1 1 配合例配合例 1 1 使用使用

32、旅行社为某旅游团包飞机旅行社为某旅游团包飞机去旅游去旅游,其中旅行社的包机费为其中旅行社的包机费为 15 00015 000 元元.旅游团旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅若旅游团人数不多于游团人数不多于 30,30,则飞机票每张收费则飞机票每张收费 900900 元元;若若旅游团人数多于旅游团人数多于 30,30,则给予优惠则给予优惠,每多每多 1 1 人人,机票费机票费每张减少每张减少 1010 元元,但旅游团人数最多为但旅游团人数最多为 7575.(1)(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数关写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数关系式

33、系式.(2)(2)旅游团人数为多少时旅游团人数为多少时,旅行社可获得最大利润旅行社可获得最大利润?解解:(1):(1)设旅游团人数为设旅游团人数为x x,飞机票价格为飞机票价格为y y元元,依题依题意知意知,当当 1 1x x30,30,且且x xN N*时时,y=y=900;900;当当 3030 xx75,75,且且x xN N*时时,y=y=900900-10(10(x-x-30)30)=-=-1010 x+x+12001200.所以所求函数关系式为所以所求函数关系式为,*,y=y=-+,*.(2)(2)设利润为设利润为f f(x x)元元,则由则由(1)(1)知知f f(x x)=y=yx-x-15 00015 0002222232324242525