2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合解答题》培优提升专题训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习圆综合解答题培优提升专题训练（附答案）1如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，将ABC 沿直线 AB 折叠得到ABD，交O 于点 D连接 CD 交 AB 于点 E，延长 BD 和 CA 相交于点 P，过点 A 作 AGCD 交 BP 于点 G（1）求证：直线 GA 是O 的切线；（2）求证：AC2GDBD；（3）若 tanAGB，PG6，求 cosP 的值 2已知：如图，ABC 中，ABAC5，BC6，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径画O，分别与边 AB、BC 相交于点 D、E，EFAC，AHBC，垂足分别为 F、H（

2、1）求证：EF 是O 的切线；（2）设 OB2，求 EC 的长；设 OBt，求 FC 的长（用含 t 的代数式表示）3已知 RtABC，两直角边 AB 与 AC 之和为 4，作ABC 的外接圆，点 O 为圆心（1）如图 1，连结 OA，当90时，求 OA 的值（2）如图 2，过点 A 作 ADBC 于点 D，点 E 为 AC 中点，连结 DE，求证：2ADE（3）如图 3，作BAC 的平分线交 BC 于点 F，线段 AF 是否存在最大值？若存在，请求出 AF 的最大值；若不存在，请说明理由 4如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 F 是线段 CD 延长线上的一点，连结 F

3、A 交O 于点 G，连结 CG 交 AH 于点 P，连结 CA （1）求证：ACGF（2）如图，若 CACG，求证：AGCD（3）如图，连结 DG，AE8BE2 若 tanF，求 AP 的长；求 AGDG 的最大值 5如图，在锐角三角形 ABC 中，ABBC，以 BC 为直径作O，分别交 AB，AC 于点 D，E，点 F 是 BD 的中点，连接 BE，CF 交于点 G（1）求证：（2）若ABC45，BOr，求线段 AD 的长（用含 r 的代数式表示）（3）若 BC3AD，探索 CG 与 FG 的数量关系，并说明理由 6定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三

4、角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边（1）如图 1，ABC 中，ABCB，A30，点 O 在 AC 边上，以 OC 为半径的O恰好经过点 B，求证：O 是ABC 的切圆（2）如图 2，ABC 中，ABAC5，BC6，O 是ABC 的切圆，且另外两条边都是O 的切边，求O 的半径（3）如图 3，ABC 中，以 AB 为直径的O 恰好是ABC 的切圆，AC 是O 的切边，O 与 BC 交于点 F，取弧 BF 的中点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，过点 E 作 EHAB 于点 H，若 CF8，BF10，求 AC 和 EH 的长 7如图 1、已知 A、B、D 在O 上，DH 经过点 O 且与 A

5、B 垂直垂足为点 H，点 F 是线段HB 上的一个动点（不与 H，B 重合），连接 DF 并延长与O 交于点 C，过点 C 作O的切线 CE 交 AB 的延长线于点 E（1）求证：ECEF；（2）如图 2，连接 AC，DE，DB，CB，已知ACD60，当CABBDE 时，求证：AB2ACDE；（3）在（2）的条件下，若 AD3，求的值 8如图 1，四边形 ABCD 内接于O，BD 为直径，上存在点 E，满足，连结 BE并延长交 CD 的延长线于点 F，BE 与 AD 交于点 G（1）若DBC，请用含 的代数式表示AGB；（2）如图 2，连结 CE，CEBG求证：EFDG；（3）如图 3，在（2

6、）的条件下，连结 CG，AD2，求 CG 的最小值 9请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图，正六边形 ABCDEF 中，G 为 BC 上一点，连接 AG 连接 AE，GE，在图 1 中过点 G 画一条直线平分GEA 的面积；将ABG 绕点 O 旋转 180得到DEH，在图 2 中画出旋转中心点 O 和DEH；（2）如图 3，弦 AB，BC，CD 是O 的内接正五边形 ABCDE 的三条边，在图中画出另两边 AE，DE 以及圆心 O 10已知，AB 为O 的直径，弦 AC、DE 交于点 F，连接 OF，DFAF（1）如图 1，求证

7、：CFOEFO；（2）如图 2，连接 BE，若ABE+2FOA90，求证：FAFO；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 FO 并延长交 BE 于点 Q，若 CFAF8，EQ：BQ13：5，求 OB 的长 11【问题提出】如图 1，AB，BC 是O 的两条弦，M 是弧 AC 的中点，MDBC 于点 D，点 E 为 CD 上一点，且 CEAB，连接 AM、BM、CM、EM（1）求证：ABMCEM；（2）求证：AB+BDDC【探究应用】（3）如图 2，已知等边ABC 内接于O，AB3，D 为O 上一点，ABD45，连接 CD，过点 A 作 AEBD 于点 E，求BDC 的周长 12如图，ABC

8、内接于O，点 D 在 AC 上，射线 AO 交 BD 于点 E，AEDABC（1）求证：BDAC；（2）当CAECBD 时，求证：ABAC；（3）在（2）的条件下，延长 BD 交O 于点 F，连接 AF，若，SABE15，求O 的半径 13 如图，点 A、B、C、D 是O 上的点，弦 AC、BD 交于点 E，连接 AD，CEDCDA（1）如图 1，求证：；（2）如图 2，连接 AB，若 AB+ADAC，求证：BD 为O 直径，（3）如图 3，在（2）条件下，点 F 在 AD 上，点 G 在 AB 上，连接 DG、EF、FG，BD3，DG，EFCD，AGF+B45，求 AE 长 14如图，已知矩

9、形 OABC，A（6，0），C（0，4），D 是矩形 OA 边上的一点且满足OCD45，点 P 从点 Q（6，0）出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t 秒（1）求点 D 的坐标；（2）当DCP15时，求 t 的值；（3）以 P 为圆心，PC 为半径的圆 P 随点 P 的运动而变化，当圆 P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，直接写出 t 的值 15如图 1，AB 为圆 O 直径点 D 为 AB 下方圆上一点，点 C 为弧 ABD 中点，连结 CD，CA（1）若ABD70，求BDC 的度数；（2）如图 2，过点 C 作 CEAB 于点 H，交 AD

10、于点 E，CADa，求ACE（用含 a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若 OH5，AD24，求线段 DE 的长 16概念认识 与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第 I 类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第类圆 初步理解（1）如图，四边形 ABCD 是矩形，O1和O2都与边 AD 相切，O2与边 AB相切、O1和O2都经过点 B，O3经过点 D，3 个圆都经过点 C，在这 3 个圆中，是矩形 ABCD 的第类圆的是 ，是矩形 ABCD 的第类圆的是 计算求解（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为 4 和 6，请求出它的第

11、类圆的半径长 深入研究（3）如图，已知矩形 ABCD，用直尺和圆规作出矩形 ABCD 经过点 C 和点 D 的第类圆（保留作图痕迹，不用写出作图步骤）17（1）如图，ABC 内接于O，ABBCAC，点 D 在O 上 求证：BDAD+CD 小明和小红在解决该问题时，有两种不同的添加辅助线的方式：小明的作法 在 DB 上截取 DMAD，连接 AM 小红的作法 延长 CD 至点 N，使得 DNAD，连接 AN 请选择其中一种作法，完成证明：（2）如图，ABC 内接于O，BC 是O 的直径，ABAC，点 D 在O 上 求证：BDAD+CD（3）如图，ABC 内接于O，BC 是O 的直径，ABC30，点

12、 D 在O 上则AD、BD、CD 之间的数量关系是 18已知，ABC 内接于O，弦 AD 交 BC 于点 E，连接 OA，OACBAD（1）如图 1，求证：ADBC；（2）如图 2，连接 CD，OC，过点 E 作 EFOC 交 CD 于点 F，若 ACBC，求证：点F 是 CD 的中点（3）如图 3，在（2）的条件下，点 G 在 AC 上，CG：CE1：2，过点 G 作 GHAB于点 H，交 AD 于点 K，若 tanACE，HK1，求线段 CD 的长 19如图，AB 为O 的直径，点 C 是O 上一点，CD 与O 相切于点 C，过点 B 作 BDDC，连接 AC，BC（1）求证：BC 是AB

13、D 的角平分线；（2）若 BD3，AB4，求 BC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积 20苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：1如图（1），在O 的内接四边形 ABCD 中，BD 是O 的直径，A 与C、ABC 与ADC 有怎样的数量关系？2如图（2），若圆心 O 不在O 的内接四边形 ABCD 的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？（1）小明发现问题 1 中的A 与C、ABC 与ADC 都满足互补关系，请帮助他完善问题 1 的证明：BD 是O 的直径，A+C180，四边形内角和等于 360，（2）请回答问题 2，并说明理由 （3）

14、如图（3），点 A、B、C、D、E、F 在O 上，ADEF，CEAB，请用上面发现的结论证明 CDBF 参考答案 1（1）证明：将ABC 沿直线 AB 折叠得到ABD，BCBD 点 B 在 CD 的垂直平分线上 同理得：点 A 在 CD 的垂直平分线上 ABCD 即 OACD，AGCD OAGA OA 是O 的半径，直线 GA 是O 的切线；（2）证明：AB 为O 的直径，ACBADB90 ABD+BAD90 GAB90，GAD+BAD90 ABDGAD ADBADG90，BADAGD AD2GDBD ACAD，AC2GDBD；（3）解：tanAGB，ADG90，AD2GDBD，BD2GD，G

15、ADGBAPCD AGCD，PAGPCD PAGPBA PP，PAGPBA PA2PGPB PG6，BD2GD，PA26（6+3GD）ADP90，PA2AD2+PD2 6（6+3GD）（）2+（6+GD）2 解得：GD2 或 GD0（舍去）PD8，AP6，cosP 2证明：（1）如图 1，连接 OE，OEOB，BOEB，ABAC，BC，OEBC，OEAC，OEFEFC，EFAC，EFC90，OEF90，EFOE，点 E 在O 上，EF 是O 的切线；（2）如图 2，连接 OE，OEAC，BOEBAC ，BE，EC6；ABAC，BHBC，BC6，BH3，由知：，即，BE，EC6，AHBC，EFA

16、C，AHBEFC90，OBEC，ABHEFC，FC 3（1）解：BAC90，BC 是O 的直径 90，ABC45 RtABC 为等腰直角三角形 BAAC 两直角边 AB 与 AC 之和为 4，BAAC2 BC OABC（2）证明：ADBC 于点 D，点 E 为 AC 中点，DEAEEC EDAEAD BAC90，ADBC，ABDCAD BDAC ADEB 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，B 2ADE（3）解：线段 AF 存在最大值，理由：过点 F 作 FDAB 于点 D，FEAC 于点 E，如图，BAC90，FDAB，FEAC，四边形 ADFE 为矩形 BAC90，AF 是BAC 的平

17、分线，BAFCAF45 矩形 ADFE 为正方形 FDFEADAE，AF 设正方形 ADFE 的边长为 x，BDm，DFADAEx，ABx+m AC+AB4，AC4xm DFAC，BDFBAC x2+mx4mmxm2 x2+2mx+m24m 即：（x+m）24m x0，m0，x+m2 xm+2+1 10，当1 即 m1 时，x 有最大值 1，当 m1 时，DF 由最大值 1 AF，AF 有最大值为 4（1）证明：连接 BG，如图，AB 是O 的直径，AGB90 ABG+BAG90 弦 CDAB 于点 E，F+BAG90 ABGF ACGABG，ACGF（2）证明：连接 AD，如图，AB 是O

18、的直径，弦 CDAB，CACG，即 AGCD（3）解：过点 P 作 PHAC 于点 H，连接 BC，OC，如图，AE8，BE2，OAOC5，OE3 CE4 弦 CDAB 于点 E，DECE4 AC4，tanCAE 由（1）得：ACPF tanACPtanF tanACP，设 PH3k，则 CH4k PHAC，tanCAE，AH2PH6k ACBAHP90，PHBC APAB106 连接 AD，如图，四边形 ACDG 是圆的内接四边形，ACE+AEG180 sinAGDsinACE AGDGsinAGDAGDG，当 SADG取最大值时，AGDG 最大 点 G 为上任意一点，当点 G 为的中点时，

19、ADG 的面积最大 若 G 为的中点，连接 OG，交 AD 于点 H，如图，则 OGAD，且 AHDHAD，ADAC4，AHHD2 OH HGOGOH5 ADHG4（5）AGDG4（5）AGDG 的最大值为：5010 5（1）证明：BC 是O 的直径，BEC90，又ABBC，ABECBE，；（2）解：如图，连接 CD，BC 是直径，BDC90，ABC45，BC2BO2rAB，BDBCcos452rr，ADABBD（2）r；（3）解：GC3FG，理由如下：如图，连接 DE，BC3ADAB，BD2AD，点 F 是 BD 的中点，ADDFBF，ABBC，BEC90，AEEC，DEFC，FC2DE，B

20、FGBDE，DE2FG，FC4FG，GC3FG 6（1）证明：连接 OB，如图，ABAC，A30，AC30 CAB180AC120 OBOC，OBCC30 OBACBAOBC90 即 OBBA OB 是圆的半径，AB 与O 相切 圆心 O 在 AC 边上，O 是ABC 的切圆；（2）解：当圆心 O 在 BC 边上，O 与 AB，AC 边相切于点 M，N 时，连接 OA，OM，ON，如图，AB，AC 是O 的切线，OMAB，ONAC，AO 平分BAC ABAC，AOBC，OBOCBC3 AOBO，OMAB，BOMBAO BM OM；当圆心 O 在 AC 边上，O 与 AB，BC 边相切于点 M，

21、N 时，连接 OM，ON，BO，过点 A 作 AHBC 于点 H，如图，设 OMONr，AB，BC 是O 的切线，OMAB，ONBC ABAC，AHBC，BHCHBC3，AH4 BCAH6412 SABCSABO+SCBO，ABr+BCr12 12 r 综上，O 的半径为或；（3）解：连接 AF，如图，AB 为O 的直径，AFBC O 是ABC 的切圆，AC 是O 的切边，ABAC ACFBAF AF4 AC12，AB6 D 是弧 BF 的中点，FADBAD 设 FE2k，则 BE3k，BFFE+BE10，2k+3k10 k2 EF4，BE6 EHAB，ACAB，EHAC EH4 7（1）证明

22、：连接 OC，CE 是O 的切线，OCD+ECD90，DHAB，HDC+HFD90，ODOCr，HDCOCD，HFDCFE，CFEECD，ECEF；（2）证明：ACD60，且ACD 与ABD 都是弧 AD 所对圆周角，ACDABD60，DHAB，且 DH 过圆心，DBDA，ABD 是等边三角形，ADB60，ADABDB，ABD+DBE180，ADB+ACB180，DBEACB，DBEACB，CABBDE，ACBDBE，AB2ACDE；（3）解：由（1）得 ECEF，BF+BEEFCE，ACBDBE，连接 OC，OB CE 是O 的切线，OCD+ECD90，OBOC，OCBOBC，OCB+OBC

23、+COB180，BCECAB，CEBAEC，CBEACE，AD3，CEBDEF3，BE（3+BE）32，解得：，8（1）解：BD 为O 的直径，BAD90，ABGDBC，AGB90；（2）证明：BD 为O 的直径，BCD90，BECBDC90，BECAGB，CEF180BEC，BGD180AGB，CEFBGD，又CEBG，ECFGBD，CFEBDG（ASA），EFDG；（3）解：如图，过点 C 作 CHBF 于 H，BDGCFE，BDCF，CFHBDA，BADCHF90，BADCHF（AAS），FHAD，ADBG，FHBG，BCF90，BCH+HCF90，BCH+HBC90，HCFHBC，BH

24、CCHF90，BHCCHF，设 GHx，BH2x，CH22（2x），在 RtGHC 中，CG2GH2+CH2，CG2x2+2（2x）（x1）2+3，当 x1 时，CG2的最小值为 3，CG 的最小值为 9解：（1）如图 1，连接 FC，与 AE 交于点 N，作直线 NG，直线 NG 即为所求；如图 2，连接 AD，BE 交于点 O，点 O 即为旋转中心，连接 GO 并延长交 EF 于点 H，连接 DH，DEH 即为所求；（2）如图 3，连接 BD，过点 A 作 AEBD 与圆 O 交于点 E，连接 DE，正五边形 ABCDE即为所求；连接 AC 交 BD 于点 M，作射线 EM，连接 CE 交

25、 BD 于点 P，作射线 AP，交射线 EM 于点 O，点 O 即为所求 10（1）证明；如图 1，连接 AD，CE，OE，OC，DFAF，DDAF，ACED，同理可得，DECDAF，DECACE，CFEF，OEOC，FO 垂直平分 CE，CFOEFO；（2）证明：如图 2，连接 CE，CABE，ABE+2FOA90，C+2FOA90，由（1）知，OF 垂直平分 CE，C+CFO90，CFO2FOA，FAO+FOA2FOA，FAOFAO，FAFO；（3）解：如图 3，作 OGAC 于 G，作 OHBE 于 H，AGCGAC，EHBHBE，CFAF8，CF8+AF，AG（AF+CF）（AF+AF

26、+8）AF+4，FGAGAF4，EQ：BQ13：5，设 EQ13a，BQ5a，BE18a，EHBH9a，HQBHBQ9a5a4a，设FAOAOF，由（2）知：ABEACE902，BOH90ABE2，BOQAOF，HOQBOQ，设 OB5k，OH4k，BH3k，FGOBOH2，FGOBHO90，FOGOBH，OG3，OF5，AGAF+FGOF+FG8，OBOA4 11（1）证明：M 为的中点，AMCM，在ABM 和CEM 中，ABMCEM（SAS）；（2）ABMCEM，BMEM，MDBC，BDDE，AB+DBCE+DECD；（3）解：如图 2，在 BD 上截取 BFCD，连接 AD，由题意可得：

27、ABAC，ABFACD，在ABF 和ACD 中，ABFACD（SAS），AFAD，AEBD，FEDE，CD+DEBE，ABD45，BE3，则BDC 的周长是 6+3 12（1）证明：延长 AO 交于点 H，连接 CH，AEDBEH，ABCAHC，AEDAHC，BDGH，AH 是O 的直径，ACH90，DBAC；（2）证明：延长 AO 交 BC 于点 Q，CAECBD，AEDBEQ，BDAC，ADBAQB90，AQ 垂直平分 BC，ABAC；（3）解：延长 AO 交 BC 于 H，交O 于 T，连接 BT，设CAF，则CBFCAF，由（2）CAECBD，则BATCAETACCBF，即BATTAC

28、CBF，即，设 EDDF3m，则 AD6m，设 DC4n，则 BD8n，ABAC，（8n）2+（6m）2（6m+4n）2，解得：mn，BD8m，AD6m，BE5m，AB10m，BT5m，在 RtABT 中，m1，所以O 的半径为 13（1）证明：CEDA+ADE，CDABDC+ADE，CEDCDA，A+ADEBDC+ADE，ABDC，；（2）证明：如图 1，连接 CD，BC，作 CEAB 于 E，作 CFAD，交 AD 的延长线于 F，CEBCFD90，由（1）知，BACDAC，CECF，四边形 ABCD 内接于O，CDFABC，CEBCFD（AAS），BEDF，ACAC，RtACERtACF

29、（HL），AEAF，AB+ADAE+BE+AFDFAE+AF2AE，AB+ADAC，2AEAC，cosBAC，BAC45，BAD90，BD 是O 的直径；（3）解：如图 2，延长 BA，EF，交于点 P，CB，EFCD，AEFC，AEFB，AEF+APEBAC45，B+APE45，B+AGF45，APEAGF，FGFP，BAD90，AGAP，PDDG，作 EHAB 于 H，EIAD 于 I，作 EKEP，交 AD 的延长线于 K，EHEI，HEIPEK90，HEIFEIPEKFEI，PEHIEK，RtPHERtKIE（AAS），HPEK，PEEK，EFCD，FEDBDCBAC45，DEKPEK

30、FED904545，PEDKED，EDED，PEDKED（SAS），KEPD，EPDAPEAGF，作 PQBD，交 BD 的延长线于 Q，DEF45，PEQ45，EPD+DPQ45，B+AGF45，DPQB，QQ，PQDBQP，PQ2DQBQ，设 PQx，DQy，x2y（y+3），在 RtPDQ 中，x2+y2（）210，x2，y，DQ，PQ2，BQBD+DQ4，PB2，由ABDQBP 得，AD，AB，由DIEDAB 得，EIAI，AEEI 14解：（1）C（0，4），OC4，OCD45，COD90，OCD 是等腰直角三角形，ODOC4，点 D 的坐标为（4，0）；（2）如图：当 P 在 D

31、左侧时，DCP15，DCO45，PCO30，OP，PQOQ+OP6+，tPQ1（6+）秒；当 P在 D 右侧时，DCP15，DCO45，PCO60，OPOC4，PQOQ+OP6+4，tPQ1（6+4）秒；综上所述，t 的值为 6+或 6+4；（3）当P 与 BC 相切时，如图：此时 P 与 O 重合，PQOQ6，tPQ1616（秒）；当P 与 CD 相切时，如图：PCD90，OCD45，OCP45，OCP 是等腰直角三角形，OPOC4，PQOQOP642，tPQ12（秒）；当P 与 AB 相切时，如图，设 OPm，则 PA6m，CP，6m，解得 m，OP，PQOQ+OP6+，tPQ1（秒），综

32、上所述，t 的值为 6 或 2 或 15解：（1）连接 AD，如图：设BDC，CAD，则CABBDC，点 C 为弧 ABD 中点，ADCCAD，DAB，AB 为O 直径，ADB90，+90，90，ABD90DAB90（）9090+2，ABD70，35，即BDC35；（2）连接 BC，如图：AB 为O 直径，ACB90，即BAC+ABC90，CEAB，ACE+BAC90，ACEABC，点 C 为弧 ABD 中点，ADCCADABC，ACE；（3）连接 OC，如图：COB2CAB，由（1）知：ABD2BDC，BDCCAB，COBABD，OHCADB90，OCHABD，即，BD10，AB26，AO1

33、3，AHAO+OH13+518，EAHBAD，AHEADB90，AHEADB，即，AE，DEADAE24 16解：（1）由定义可得，的矩形有一条边 AD 与O1相切，点 B、C 在圆上，是第类圆；的矩形有两条边 AD、AB 与O2相切，点 C 在圆上，是第类圆；故答案为：，；（2）如图 1，设 AD6，AB4，切点为 E，过点 O 作 EFBC 交 BC 于 F，交 AD 于 E，连接 BO，设 BOr，则 OEr，OF4r，由垂径定理可得，BFCF3，在 RtBOF 中，r2（4r）2+32，解得 r；如图 2，设 AD4，BC6，切点为 E，过点 O 作 EFBC 交 BC 于 F，交 A

34、D 于 E，连接 BO，设 BOr，则 OEr，OF6r，由垂径定理可得，BFCF2，在 RtBOF 中，r2（6r）2+22，解得 r；综上所述：第类圆的半径是或；（3）如图 4，第一步，作线段 AD 的垂直平分线交 AD 于点 E，第二步，连接 EC，第三步，作 EC 的垂直平分线交 EF 于点 O，第四步，以 O 为圆心，EO 为半径作圆，O 即为所求第类圆 17（1）证明：小明的作法：在 DB 上截取 DMAD，连接 AM，ABBCAC，ABC 是等边三角形，ACBBAC60，ADBACB60，DMAD，ADM 是等边三角形，AMAD，MAD60BAC，BAMCAD，BAMCAD（SA

35、S），BMCD，BDBM+MDCD+AD；小红的作法：延长 CD 至点 N，使得 DNAD，连接 AN，ABBCAC，ABC 是等边三角形，ACBBAC60，ADBACB60，BDCBAC60，ADN60，又DNAD，ADN 是等边三角形，DAN60BAC，BADCAN，BADCAN（SAS），BDCN，BDCNCD+DNCD+AD；（2）证明：如图，过点 A 作 MAAD，交 BD 于点 M，BC 是O 的直径，BAC90BDC，又ABAC，ABCACB45，ADBACB45，MAD90，AMDADM45，AMAD，MDAD，BACMAD，BAMCAD，BAMCAD（SAS），BMCD，BD

36、DM+BMAD+CD；（3）解：如图，过点 A 作 AHAD，交 BD 于 H，BC 是O 的直径，BAC90，ABC30，ABAC，ACB60，ADBACB60，又AHAD，AHD30，AHAD，HD2AD，BACDAH90，BAHCAD，又，ABHACD，BHCD，BDBH+DHCD+2AD，故答案为：BDCD+2AD 18（1）证明：延长 AO，交O 于点 M，连接 CM，AM 是O 的直径，ACM90，MAC+M90，BM，MACBAD，B+BAD90，AEB90，ADBC；（2）证明：延长 CO，交 AB 于点 N，连接 OB，OAOB，CACB，C，O 在 AB 垂直平分线上，CN

37、AB，12，OAOC，31，23，34，42，54，52，OGEF，62，65，EFFC，ADBC，6+790，5+D90，7D，EFDF，DFFC，点 F 是 CD 的中点；（3）解：延长 FE，交 AB 于 Q，由（2）可知：CNAB，CNB90，EFOC，EQBCNB90，EQAB，AQE90，GHAB，AHG90，AQEAHG，ADBC，AEC90，设 EC3a，AE4a，CG：CE1：3，AGACCG5aa4a，AGAE，CNAB，ANCAHG90，HGNC，8ACN，8BAE，AQEGHA，AGAE，AQEGHA（ASA），QEAH，BCAC5a，BEBCCE5a3a2a，AEB9

38、0，AHK90，AH2，QE2，AQE90，AQ4，EAQDCE，AQECED90，AQECED，19（1）证明：连接 OC，如图 1，CD 与O 相切于点 C，OC 为半径，OCCD，BDCD，OCBD，OCBDBC，OCOB，OCBOBC，DBCOBC，BC 平分ABD；（2）解：如图 2，BC 平分ABD，ABCCBD，AB 是直径，ACB90，BDDC，D90，ACBD，ABCCBD，BC2ABBD，BD3，AB4，BC23412，或2（不符合题意，舍去），BC 的长为 2；（3）解：如图 3，作 CEAO 于 E，连接 OC，AB 是直径，AB4，OAOC2，在 RtABC 中，AC

39、2，AOCOAC2，AOC 是等边三角形，AOC60，CEOA，OEOA1，阴影部分的面积为：20证明：（1）BD 是O 的直径，AC90，A+C180，四边形内角和等于 360，ABC+ADC180 故答案为：AC90，ABC+ADC180；（2）问题（1）的结论仍然成立，理由：A 所对应的弧为，C 所对应的弧为，A+C 所对应的弧为+，为整个圆周，A+C，四边形内角和等于 360，ABC+ADC180；（3）四边形 ABCD 为圆的内接四边形，A+DCB180，ADEF，A1，1+DCB180，ABEC，1+E180，EDCB，四边形 BCEF 为圆的内接四边形，E+FBC180，DCB+FBC180，CDFB