2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》专题突破训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习二次函数与相似三角形综合压轴题 专题突破训练（附答案）1在平面直角坐标系中，抛物线经过点 A（2，0），B（3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求该抛物线的函数表达式及顶点 C 的坐标；（2）设该抛物线上一动点 P 的横坐标为 t 在图 1 中，当3t0 时，求PBO 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求 S 的最大值；在图 2 中，若点 P 在该抛物线上，点 E 在该抛物线的对称轴上，且以 A，O，P，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标；在图 3 中，若 P 是 y 轴左侧该抛物线上的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存

2、在点 P 使得以点 P，M，A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2如图、，在平面直角坐标系中，一边长为 2 的等边三角板 CDE 恰好与坐标系中的OAB 重合，现将三角板 CDE 绕边 AB 的中点 G（G 点也是 DE 的中点），按顺时针方向旋转 180到CED 的位置 （1）直接写出 C的坐标，并求经过 O、A、C三点的抛物线的解析式；（2）点 P 在第四象限的抛物线上，求COP 的最大面积；（3）如图，G 是以 AB 为直径的圆，过 B 点作G 的切线与 x 轴相交于点 F，抛物线上是否存在一点 M，使得BOF 与AOM 相似？若存在，请求

3、出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 3已知抛物线 yax2+bx+c 过点 A（2，0），B（4，0），D（0，8）（1）求抛物线的解析式及顶点 E 的坐标；（2）如图，抛物线 yax2+bx+c 向上平移，使顶点 E 落在 x 轴上的 P 点，此时的抛物线记为 C，过 P 作两条互相垂直的直线与抛物线 C 交于不同于 P 的 M，N 两点（M 位于 N的右侧），过 M，N 分别作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M1，N1 求证：PMM1NPN1；设直线 MN 的方程为 ykx+m，求证：k+m 为常数 4如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（ac0）与 x 轴交于点 A 和

4、点 B（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C若线段 OA、OB、OC 的长满足 OC2OAOB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线如图，抛物线 yax2+bx+2（a0）为“黄金”抛物线，其与 x 轴交点为 A，B（其中 B 在 A 的右侧），与 y 轴交于点 C，且 OA4OB （1）求抛物线的解析式；（2）若 P 为 AC 上方抛物线上的动点，过点 P 作 PDAC，垂足为 D 连接 PC，当ACOCPD 时，求点 P 的坐标；求 PD 的最大值 5如图，抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于 A（1，0），B 两点，交 y 轴于点 C（0，3），顶点D 的横坐标为 1（1）求抛

5、物线的解析式；（2）在 y 轴的负半轴上是否存在点 P 使APB+ACB180，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点 C 作直线 l 与 y 轴垂直，与抛物线的另一个交点为 E，连接 AD，AE，DE，在直线 l 下方的抛物线上是否存在一点 M，过点 M 作 MFl，垂足为 F，使以 M，F，E 三点为顶点的三角形与ADE 相似？若存在，请求出 M 点的坐标，若不存在，请说明理由 6如图，抛物线过点 O（0，0）、A（4，0）、B（3，4），连结 OB、AB，点 P 以每秒 1 个单位长的速度从点O运动到点B 同时点Q以相同的速度从点A出发沿着射线AO运动，点 P 到达

6、点 B 时 P、Q 两点同时停止运动，设 P 点运动时间为 t（1）求抛物线的解析式；（2）当 t 为何值时，POQ 与AOB 相似；（3）点 P 运动过程中，POQ 的面积为 S求 S 与 t 的函数关系，并求出 S 的最大值 7如图，在平面直角坐标系内，抛物线 yax2+bx+3 与 y 轴交于点 A，且经过 B（4，1）、C（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）连接 AC、BC、AB，求BAC 的正切值；（3）在第一象限内，抛物线上是否存在一点 P，过点 P 作 PG 上 AP 交 y 轴于点 G，当点 G 在点 A 的上方时，APG 与ABC 相似，若存在，请求出点 P 的坐标，若不

7、存在，请说明理由 8抛物线 yax22x+c 经过点 A（3，0），点 C（0，3），直线 yx+b 经过点 A，交抛物线于点 E抛物线的对称轴交 AE 于点 B，交 x 轴于点 D，交直线 AC 于点 F（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 P 为直线 AC 下方抛物线上的点，连接 PA，PC，BAF 的面积记为 S1，PAC 的面积记为 S2，当 S2S1时求点 P 的横坐标；（3）如图，连接 CD，点 Q 为平面内直线 AE 下方的点，以点 Q，A，E 为顶点的三角形与CDF 相似时（AE 与 CD 不是对应边），请直接写出符合条件的点 Q 的坐标 9如图 1，抛物线 yx2+bx+c

8、 与 x 轴正半轴、y 轴分别交于 A（3，0）、B（0，3）两点，点 P 为抛物线的顶点，连接 AB、BP（1）求抛物线的解析式；（2）求PBA 的度数；（3）如图 2，点 M 从点 O 出发，沿着 OA 的方向以 1 个单位/秒的速度向 A 匀速运动，同时点 N 从点 A 出发，沿着 AB 的方向以个单位/秒的速度向 B 匀速运动，设运动时间为 t 秒，MEx 轴交 AB 于点 E，NFx 轴交抛物线于点 F，连接 MN、EF 当 EFMN 时，求点 F 的坐标；在 M、N 运动的过程中，存在 t 使得BNP 与BMN 相似，请直接写出 t 的值 10如图，抛物线 yax2+bx4 经过点

9、 C（1，0），点 B（4，0），交 y 轴于点 A，点 H是该抛物线上第四象限内的一个动点，HEx 轴于点 E，交线段 AB 于点 D，HQy 轴，交 y 轴于点 Q（1）求抛物线的函数解析式（2）若四边形 HQOE 是正方形，求该正方形的面积（3）连接 OD、AC，抛物线上是否存在点 H，使得以点 O、A、D 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点 H 的坐标，若不存在，请说明理由 11某数学兴趣小组运用几何画板软件探究 yax2（a0）型抛物线图象发现：如图1 所示，该类型图象上任意一点 M 到定点 F（0，）的距离 MF，始终等于它到定直线l：y的距离 MN（该结论不需要证

10、明），他们称：定点 F 为图象的焦点，定直线 l为图象的准线，y叫做抛物线的准线方程其中原点 O 为 FH 的中点，FH2OF 例如：抛物线 yx2，其焦点坐标为 F（0，），准线方程为 l：y其中 MFMN，FH2OH1【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线 y2x2的焦点坐标和准线 l 的方程：，【技能训练】（2）如图 2 所示，已知抛物线 yx2上一点 P 到准线 l 的距离为 6，求点 P 的坐标；【能力提升】（3）如图 3 所示，已知过抛物线 yax2（a0）的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线 l于点 A、B、C若 BC2BF，AF4，求 a 的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧

11、多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 C 将一条线段 AB 分为两段 AC 和 CB，使得其中较长一段 AC 是全线段 AB 与另一段CB 的比例中项，即满足：后人把这个数称为“黄金分割”数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点 如图 4 所示，抛物线 yx2的焦点 F（0，1），准线 l 与 y 轴交于点 H（0，1），E 为线段 HF 的黄金分割点，点 M 为 y 轴左侧的抛物线上一点当时，请直接写出HME 的面积值 12如图在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（1，0），对称轴为

12、直线 x1点 M 为线段 OB 上的一个动点，过点 M 作直线 l 平行于 y 轴交直线 BC 于点 F，交抛物线 yax2+2x+c（a0）于点E（1）求抛物线的解析式；（2）当以 C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段 EF 的长度；（3）如果将ECF 沿直线 CE 翻折，点 F 恰好落在 y 轴上点 N 处，求点 N 的坐标 13已知抛物线 yax2+bx4 交 x 轴于 A（1，0），B（4，0），交 y 轴于点 C（1）求抛物线解析式；（2）如图 1，P 是第四象限内抛物线上的一点，PA 交 y 轴于点 D，连接 BD，若ADB90，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件

13、下，Q 是点 C 关于抛物线的对称轴的对称点，连接 BP，CP，CQ（如图 2），在 x 轴上是否存在点 R，使PBR 与PQC 相似？若存在，请求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由 14如图，已知抛物线 yax2+bx6 与 x 轴的交点 A（3，0），B（1，0），与 y 轴的交点是点 C（1）求抛物线的解析式：（2）点 P 是抛物线对称轴上一点，当 PB+PC 的值最小时，求点 P 的坐标；（3）点 M 在抛物线上运动，点 N 在 y 轴上运动，是否存在点 M，N，使得CMN90且以点 C，M，N 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，求出点 M 和点 N 的坐标；若不存在，说明理由

14、 15 如图，已知二次函数的图象与 x 轴交于 A 和 B（3，0）两点，与 y 轴交于 C（0，3），对称轴为直线 x1，直线 y2x+m 经过点 A，且与 y 轴交于点 D，与抛物线交于点E（1）求抛物线的解析式和 m 的值；（2）在 y 轴上是否存在点 P，使得以 D、E、P 为顶点的三角形与AOD 相似，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由 16如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于点 A（3，0），B（1，0），与 y 轴交于点 C点 D 是ABC 的外心，作直线 CD 交抛物线于另一点 E（1）求抛物线的函数表达式（2）求点 D 及点

15、E 的坐标（3）如图 2，点 P 是抛物线上的一个动点（不与 A、B、C 重合），作直线 PMx 轴于 M，交直线 CE 于 N，直线 CE 交 x 轴于 H，连接 BP，是否存在点 P，使BPM 与MNH 相似？若存在，直接写出 P 的坐标；若不存在，请说明理由 17如图，已知抛物线：y2x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B（2，0）（A 在 B 的左侧），与 y轴交于点 C，对称轴是直线 x，P 是第一象限内抛物线上的任一点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 为线段 OC 的中点，则POD 能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点 P 作 x 轴的垂线与线段 BC 交于点 M，垂足

16、为点 H，若以 P，M，C 为顶点的三角形与BMH 相似，求点 P 的坐标 18如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0），B（4，0）两点，直线 yx3与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D点 P 是 x 轴下方的抛物线上一动点，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交直线 CD 于点 F设点 P 的横坐标为 m（1）求此抛物线的解析式（2）若 PF3+2EF，求 m 的值（3）是否存在点 P，使得PCF 与DEF 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 19如图，抛物线 yax22x+c 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 A 在

17、点 B的左侧，A（1，0），C（0，3），点 E 是抛物线的顶点，P 是抛物线对称轴上的点（1）求抛物线的函数表达式；（2）当点 P 关于直线 BC 的对称点 Q 落在抛物线上时，求点 Q 的横坐标；（3）若点 D 是抛物线上的动点，是否存在以点 B，C，P，D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点 D 的坐标 ；若不存在，请说明理由；（4）直线 CE 交 x 轴于点 F，若点 G 是线段 EF 上的一个动点，是否存在以点 O，F，G为顶点的三角形与ABC 相似若存在，请直接写出点 G 的坐标 ；若不存在，请说明理由 20如图，抛物线 yx2+3x+4 与 x 轴交于 A，B 两点（

18、点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于 C 点，抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于点 N，长为 1 的线段 PQ（点 P 位于点 Q 的上方）在 x 轴上方的抛物线对称轴上运动（1）直接写出 A，B，C 三点的坐标；（2）求 CP+PQ+QB 的最小值；（3）过点 P 作 PMy 轴于点 M，当CPM 和QBN 相似时，求点 Q 的坐标 参考答案 1解：（1）设抛物线的解析式为 yax2+bx，将 A（2，0），B（3，3）代入，解得，yx2+2x，C（1，1）；（2）P 的横坐标为 t，P（t，t2+2t），设直线 BO 的解析式为 ykx，3k3，k1，yx，过点 P 作 PGx 轴

19、交 BO 于点 G，E（t，t）PGtt22tt23t，S3（t23t）（t+）2+，3t0，t时，S 有最大值；yx2+2x，抛物线的对称轴为直线 x1，设 E（1，m），当 AO 为平行四边形的对角线时，解得，P（1，1）；当 AP 为平行四边形的对角线时，解得，P（1，3）；当 AE 为平行四边形的对角线时，解得，P（3，3）；综上所述：P 点坐标为（1，1）或（1，3）或（3，3）；（3）存在点 P 使得以点 P，M，A 为顶点的三角形与BOC 相似，理由如下：B（3，3），C（1，1），BO3，OC，BC2，BO2+CO2BC2，COB 为直角三角形，BOC90，tanCBO，PMA

20、M，BOCPMA，设 P（m，m2+2m）（t0），PMm2+2m，AM2m，当MPAOBC 时，解得 m2（舍）或 m3，P（3，3）；当PAMOBC 时，解得 m2（舍）或 m，P（，）；综上所述：P 点坐标为（3，3）或（，）2解：（1）过点 C作 CMx 轴，垂足为 M，如图：由题意可知OAB 和CDE 是等边三角形，BAOBAC60，AOAC2，CAM180BAOBAC60，CMACsinCAM2sin60，AMACcosCAM2cos601，OMOA+AM2+13，C（3，），A（2，0），O（0，0）在抛物线上，故设抛物线的解析式 yax（x2），将 C（3，）代入得 3a，解得

21、 a，yx2x；（2）过 P 作 PQx 轴，交 OC于 Q，连接 PC，OP，如图：设 OC的表达式为：ykx，由（1）知 C（3，），3k，解得 k，OC的表达式为 yx，设 P 点的横坐标为 m，则有：P（m，m2m），Q（m，m），PQm2+m，SCOP3（m2+m）（m）2+，当 m时，COP 的最大面积为；（3）抛物线上存在一点 M，使得BOF 与AOM 相似，理由如下：BF 与G 相切，ABF90，BAF60，ABOA2，AF4，OF2，BOF180BOA120，BOF 为顶角为 120的等腰三角形 AOAM2 时，点 M 与点 C重合，如图：此时OAC120，BOFOAC，BO

22、FMAO，此时 M（3，）；OAOM2 时，点 M 与点 C关于抛物线对称轴直线 x1 对称，如图：由对称性可知，此时AOM120，BOFAOM，M；MOMA 时，点 M 为抛物线顶点（1，），此时 tanAOM，AOM30，AOMOAM30BFOFBO，BOFAMO，M（1，），综上所述，M 的坐标为：（3，），（1，），（1，）3（1）解：将 A（2，0），B（4，0），D（0，8）代入 yax2+bx+c，解得，yx22x8，yx22x8（x1）29，E（1，9）；（2）证明：PNPM，MPN90，NPN1+MPM190，NN1x 轴，MM1x 轴，NN1PMM1P90，N1PN+PNN

23、190，MPM1PNN1，PMM1NPN1；证明：由题意可知平移后的抛物线解析式为 y（x1）2，设 N（x1，kx1+m），M（x2，kx2+m），联立方程组 y，整理得 x2（2+k）x+1m0，x1+x22+k，x1x21m，PMM1NPN1，即，k+m（k+m）2，k+m1 或 k+m0，M、N 与 P 不重合，k+m1，k+m 为常数 4解：（1）令 x0，则 y2，C（0，2），OC2OAOB，4OAOB，OA4OB，OB1，OA4，A（4，0），B（1，0），解得，yx2x+2；（2）ACOCPD，PCDCAO，PCAO，P 点纵坐标为 2，P（3，2）；过点 P 作 PFx 轴

24、交于 F，交 AC 于点 E，设直线 AC 的解析式为 ykx+b，解得，yx+2，设 P（t，t2t+2），则 E（t，t+2），PEt22t，PDAC，PDE90，AFE90，DPECAO，cosCAO，PDPE（t22t）（t+2）2+，当 t2 时，PD 有最大值 5解：（1）顶点 D 的横坐标为 1，抛物线的对称轴为直线 x1，A（1，0），B（3，0），设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x3），将 C（0，3）代入抛物线的解析式，则3a3，解得 a1，抛物线的解析式为：y（x+1）（x3）x2+2x+3（2）存在，P（0，1），理由如下：APB+ACB180，CAP+CBP180

25、，点 A，C，B，P 四点共圆，如图所示，由（1）知，OBOC3，OCBOBC45，APCABC45，AOP 是等腰直角三角形，OPOA1，P（0，1）（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：yx2+2x+3，D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），A（1，0），AD2，DE，AE3 AD2DE2+AE2，ADE 是直角三角形，且AED90，DE：AE1：3 点 M 在直线 l 下方的抛物线上，设 M（t，t2+2t+3），则 t2 或 t0 EF|t2|，MF3（t2+2t+3）t22t，若MEF 与ADE 相似，则 EF：MF1：3 或 MF：EF1：3，|t2|：（t

26、22t）1：3 或（t22t）：|t2|1：3，解得 t2（舍）或 t3 或3 或（舍）或，M 的坐标为（3，0）或（3，12）或（，）综上，存在点 M，使以 M，F，E 三点为顶点的三角形与ADE 相似，此时点 M 的坐标为（3，0）或（3，12）或（，）6解：（1）设抛物线的解析式为 yax2+bx，解得，yx2+x；（2）由题意可知，OPt，AQt，A（4，0），Q（4t，0），B（3，4），OB5，0t5，当POQAOB 时，解得 t；当POQBOA 时，解得 t；综上所述：t 的值为或；（3）过点 B 作 BFx 轴交于 F 点，过 P 作 PE 作 x 轴交于 E 点，B（3，4）

27、，OPt，P（t，t），当 0t4 时，OQ4t，S（4t）tt2+t（t2）2+，当 t2 时，S 有最大值；当 4t5 时，OQt4，S（t4）tt2t（t2）2，当 t5 时，S 有最大值 2；综上所述：St2+t（0t4）；St2t（4t5）；S 的最大值为 2 7解：（1）将 B（4，1）、C（3，0）代入 yax2+bx+3，解得，yx2x+3；（2）令 x0，则 y3，A（0，3），AB2，AC3，BC，AB2AC2+BC2，ABC 是直角三角形，ACB90，tanBAC；（3）过点 P 过 PFy 轴交于点 F，设 P（t，t2t+3），PFt，APPG，FGPFPA，当AGP

28、ABC 时，FPAABC，3，即 3t，t11，P（11，36）；当AGPBAC 时，FPABAC，即t，t，P（，）；综上所述：P 点坐标为（11，36）或（，）8解：（1）将 A（3，0），点 C（0，3）代入 yax22x+c，解得，yx22x3；（2）将 A（3，0）代入 yx+b 中，b3，yx+3，设直线 AC 的解析式为 ykx+b，解得，yx3，yx22x3（x1）24，B（1，2），D（1，0），F（1，2），过点 P 作 x 轴垂线交 AC 于点 M，交 x 轴于点 N，设 P（m，m22m3），则 M（m，m3），PMm2+3m，S2OAPMm2+m，S1BFAD4，S2

29、S1，m2+m，解得 m或 m，P 点的横坐标为或；（3）C（0，3），D（1，0），F（1，2），CD，CF，DF2，E（2，5），A（3，0），AE5，设 Q（x，y），当CDFQAE 时，AQ5，EQ5，解得或（舍去），Q（7，5）；当CDFAQE 时，AQ5，QE10，解得（舍去）或，Q（12，5）；当CDFEQA 时，EQ5，AQ10，解得或（舍去），Q（3，10）；当CDFQEA 时，EQ5，AQ5，解得或（舍去），Q（3，5）；综上所述：Q 点坐标为（7，5）或（12，5）或（3，10）或（3，5）9解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（3，0）、B（0，3）两点，解得：

30、，抛物线的解析式为 yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，顶点 P（1，4），如图 1，过点 P 作 PDy 轴于点 D，则 D（0，4），PDB90，PD1，BD431，PDBD，PBD 是等腰直角三角形，PBD45，BP，OAOB3，AOB90，AOB 是等腰直角三角形，ABO45，AB3，PBA180PBDABO180454590，（3）如图 2，延长 FN 交 x 轴于点 G，由题意得：OMt，ANt，AM3t，FNx 轴，AGN90，由（2）知：AOB 是等腰直角三角形，BAO45，ABG 是等腰直角三角形，AGNGANtt，G（3t，0），当 x3t 时，x2+2

31、x+3（3t）2+2（3t）+3t2+4t，F（3t，t2+4t），FGt2+4t，FNFGNGt2+4ttt2+3t，MEx 轴，AEM 是等腰直角三角形，EMAM3t，MEx 轴，EFMN，FNx 轴，四边形 EFNM 是平行四边形，EMFN，3tt2+3t，解得：t1 或 t3（不符合题意，舍去），F（2，3）；存在如图 3，过点 N 作 HGx 轴于点 G，由知：OMt，ANt，AGNGt，MG32t，BN3t，BP，PBN90，MBN90，MBNPBN，若BMNPBN90，则BMO+NMG90，BOMMGN90，BMO+MBO90，MBONMG，BMOMNG，即1，32t3，解得：t

32、0（不符合题意，舍去），故BMNPBN，若BNMPBN90，则ANM90，AMN 是等腰直角三角形，AMAN2t，OAOM+AM3t3，t1，当 t1 时，MNAN，BNABAN32，且BNMPBN90，BNMNBP，综上所述，当BNP 与BMN 相似时，t1 10解：（1）将点 C（1，0），点 B（4，0）代入 yax2+bx4 中，解得，抛物线的函数解析式为 yx23x4（2）设正方形的边长为 c（c0），则 H（c，c），把 H（c，c）代入 yx23x4，得cc23c4，解得（负值舍去），S正方形HQOEc26+2（3）存在，如图，过点 D 作 DMy 轴于点 M yx23x4，令

33、x0，y4，A（0，4），OAOB4，OADCBA45，若OADCBA，则，即，解得，即 H 点横坐标为 将代入 yx23x4 中，得，点 H 坐标为 若OADABC，则，即，解得，即 H 点横坐标为 将代入 yx23x4 中，得，点 H 坐标为 综上所述，点 H 的坐标为或 11解：（1）a2，故答案为：（0，），y；（2）a，2，准线为：y2，点 P 的纵坐标为：4，4，x4，P（4，4）或（4，4）；（3）如图，作 AGl 于 G，作 BKl 于 K，AGAF4，BKBF，FH，BKFHAG，CBKCFH，CBKCAG，a；（4）设点 M（m，m2），2，2，m12，m22（舍去），M（

34、2，1），E 为线段 HF 的黄金分割点，EH1 或 EH2（1）3，当 EH1 时，SHME1，当 EH3时，SHME3，HME 的面积是1 或 3 12解：（1）由题意得：，解得：，所以，所求的抛物线的解析式是：yx2+2x+3；（2）由题意得：B（3，0），C（0，3），直线 BC 的解析式为：yx+3，MBFFBMCFE45，设 F（m，m+3），则 E（m，m2+2m+3），当以 C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，若，则，或 m0（舍去），若，则，或 m0（舍去），EF或；（3）CEN 是由CEF 沿直线 CE 翻折而得，CNCF，NCEECF，NCEF，NCECEF，EC

35、FCEF，CFEF，解得：（舍去），所以，N 的的坐标是 13解：（1）抛物线 yax2+bx4 交 x 轴于 A（1，0），B（4，0），解得：，该抛物线的解析式为 yx23x4；（2）如图 1，设 D（0，m）（m0），则 ODm，A（1，0），B（4，0），OA1，OB4，ADB90，ADO+BDO90，AODBOD90，DBO+BDO90，ADODBO，AODDOB，OD2OAOB，即 m214，m0，m2，D（0，2），设直线 AD 的解析式为 ykx+d，则，解得：，直线 AD 的解析式为 y2x2，联立方程组得：，解得：，P 是第四象限内抛物线上的一点，点 P 的坐标为（2，6）

36、；（3）x 轴上存在点 R，使PBR 与PQC 相似理由如下：如图 2，过点 P 作 PECQ 于点 E，连接 BC，设 R（x，0）（x4），则 BR4x，抛物线 yx23x4 交 y 轴于点 C，C（0，4），OC4，OB4，BOC90，CBOBCO45，BCOB4，Q 是点 C 关于抛物线的对称轴的对称点，抛物线对称轴为直线 x，Q（3，4），CQx 轴，PECQ，P（2，6），E（2，4），CEPE2，CEP 是等腰直角三角形，PCQCPE45，CPCE2，EQ1，BCQ45，BCPBCQ+PCQ45+4590，BCPPEQ90，BP2，PQ，PEQBCP，EPQCBP，CPECBO4

37、5，CPE+EPQCBO+CBP，即CPQPBO，要使PBR 与PQC 相似，必须或，当时，则，解得：x1，R（1，0）；当时，则，解得：x4，R（4，0）；综上所述，点 R 的坐标为（1，0）或（4，0）14解：（1）抛物线 yax2+bx6 过点 A（3，0），B（1，0），解得，抛物线的解析式为 y2x2+4x6；（2）连接 AC，交抛物线对称轴于点 P，如图，则此时 PB+PC 的值最小 令 x0，则 y6，C（0，6）y2x2+4x62（x+1）28，抛物线的对称轴为直线 x1 设直线 AC 的解析式为 ykx+n，解得：直线 AC 的解析式为 y2x6 当 x1 时，y264，P（

38、1，4）；（3）存在点 M，N 使得CMN90，且CMN 与OAC 相似 如图，CMN90，当点 M 位于点 C 下方，过点 M 作 MDy 轴于点 D，CDMCMN90，DCMNCM，MCDNCM，若CMN 与OAC 相似，则MCD 与OAC 相似，设 M（a，2a2+4a6），C（0，6），DC2a24a，DMa，当时，COACDMCMN，解得，a1 或 a0（舍去），M（1，8），此时 NDDM，N（0，），当时，COAMDCNMC，解得 a或 a0（舍去），M（，），此时 N（0，）如图，当点 M 位于点 C 的上方，过点 M 作 MEy 轴于点 E，设 M（a，2a2+4a6），C（

39、0，6），EC2a2+4a，EMa，同理可得：或，CMN 与OAC 相似，解得 a，或 a3，M（，）或 M（3，0），此时 N 点坐标为（0，）或（0，）综合以上得，存在，M（1，8），N（0，）或 M（，），N（0，）或 M（，），N（0，）或 M（3，0），N（0，）15解：（1）设抛物线的解析式为 ya（x+1）2+k，把 B（3，0）、C（0，3）代入 a（x+1）2+k，得，解得，抛物线的解析式为 y（x+1）24，即 yx2+2x3，点 A 与点 B（3，0）关于直线 x1 对称，A（1，0），直线 y2x+m 经过点 A（1，0），2+m0，解得 m2；（2）存在 如图，过点

40、E 作 EPy 轴于点 P，作 EPDE 交 y 轴于点 P，EPDPEDAOD90，EDPPDEADO，EPDAOD，PEDAOD，m2，直线 y2x+m 的解析式为 y2x+2，当 x0 时，y2，D（0，2），解方程组，得，E（5，12），P（0，12）；PPE+PDE90，OAD+ODA90，且PDEODA，PPEOAD，PPEAOD90，PPEAOD，OA1，OD2，PE5 PP，OP+PP12+，P（0，），综上所述，点 P 的坐标为（0，12）或（0，）16解：（1）将 A（3，0），B（1，0）代入 yax2+bx+3 得：，解得，抛物线的函数表达式为 yx22x+3；（2）由

41、 yx22x+3 得 C（0，3），点 D 是ABC 的外心，D 在 AB 的垂直平分线上，A（3，0），B（1，0），D 的横坐标为1，设 D（1，t），DBDC，（11）2+（t0）2（10）2+（t3）2，解得 t1，D（1，1），设直线 DC 解析式为 ykx+3，将 D（1，1）代入得：k+31，解得 k2，直线 DC 解析式为 y2x+3，解得或，E（4，5）；（3）存在点 P，使BPM 与MNH 相似，理由如下：由 y2x+3 得 H（，0），设 P（m，m22m+3），则 M（m，0），N（m，2m+3），PM|m22m+3|，BM|m1|，MN|2m+3|，MH|m+|，BM

42、P90NMH，要使BPM 与MNH 相似，只需或，即或，当时，解得 m5 或 m1（与 B 重合，舍去）或 m（增根，舍去），P（5，12）；当时，解得 m1 或 m1（与 B 重合，舍去）或 m（增根，舍去），P（1，4）；当时，解得 m或 m1（与 B 重合，舍去）或 m（增根，舍去），P（，），当时，解得 m或 m1（与 B 重合，舍去）或 m（增根，舍去），P（，），综上所述，P 的坐标为（5，12）或（1，4）或（，）或（，）17解：（1）由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y2x2+2x+4；（2）POD 不可能是等边三角形，理由如下：如图 1，取 OD 的中点 E，过点 E 作

43、 EPx 轴，交抛物线于点 P，连接 PD，PO，C（0，4），D 是 OD 的中点，E（0，1），当 y1 时，2x2+2x+41，2x22x30，解得：x1，x2（舍），P（，1），ODPD，POD 不可能是等边三角形；（3）设点 P 的坐标为（t，2t2+2t+4），则 OHt，BH2t，分两种情况：如图 2，CMPBMH，PCMOBC，BHMCPM90，tanOBCtanPCM，2，PM2PC2t，MH2BH2（2t），PHPM+MH，2t+2（2t）2t2+2t+4，解得：t10，t21，P（1，4）；如图 3，PCMBHM，则PCMBHM90，过点 P 作 PEy 轴于 E，PEC

44、BOCPCM90，PCE+EPCPCE+BCO90，BCOEPC，PECCOB，解得：t10（舍），t2，P（，）；综上，点 P 的坐标为（1，4）或（，）18解：（1）将点 A（2，0），B（4，0）代入 yx2+bx+c，解得，yx22x8；（2）PEx 轴，点 P 的横坐标为 m，F（m，m3），P（m，m22m8），EF3m，PFm3（m22m8）3mm2+5，PF3+2EF，3mm2+53+2（3m）或 3mm2+532（3m），解得 m1 或 m4（舍）或 m或 m（舍），m 的值为 1 或；（3）存在点 P，使得PCF 与DEF 相似，理由如下：由题意可知EFDCFP，若要PCF

45、 与DEF 相似，只需满足FCPDEF90或FCPEDF，如图 1，当FCPEDF 时，PCF 与DEF 相似，F1CP1F1DE1或F2CP2F2DE2，P1P2x 轴，直线 yx3 中，令 x0，则 y3，C（0，3），x22x83，解得 x1+或 x1，P1（1+，3），P2（1，3），当FCPDEF90时，PCF 与DEF 相似，P3P4CD，直线 CD 的表达式为 yx3，直线 P3P4的表达式为 yx3，联立方程，解得或，P3（，），P4（，），综上所述，点 P 的坐标为（1+，3）或（1，3）或（，）或（，）19解：（1）抛物线 yax22x+c 与 x 轴相交于 A（1，0），

46、C（0，3）两点，解得，抛物线的解析式为 yx22x3；（2）设抛物线对称轴交 x 轴于 K，交 BC 于 H，抛物线的解析式为 yx22x3，令 y0，即 x22x30，解得 x3，或 x1，点 B 的坐标为（3，0），抛物线的对称轴为 x1，OCOB3，BOC90，OBC 是等腰直角三角形，OBCOCB45，又对称轴 x1 与 x 轴垂直，KHBOCB45，KBH 是等腰直角三角形，KHKBOB1312，点 H 的纵坐标是2，当点 P 在点 H 的上方时，连接 HQ，点 P、Q 关于直线 BC 对称，PHBQHB45，PHQPHB+QHB90，HQx 轴，点 Q 的纵坐标为2 当点 P 在

47、点 H 的下方时，同理可求得点 Q 的纵坐标为2 将 y2 代入抛物线 yx22x3，解得 x1+或 x1，点 Q 的横坐标为 1+或 1；（3）存在以点 B、C、P，D 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下，yx22x3（x1）24，抛物线的对称轴为直线 x1，令 x0，则 y3，C（0，3），P 点的横坐标为 1，设 D（m，m22m3），当 BC 为平行四边形的对角线时，31+m，m2，D（2，3）；当 BP 为平行四边形的对角线时，3+1m，m4，D（4，5）；当 BD 为平行四边形的对角线时，3+m1，m2，D（2，5）；综上所述：D 点坐标为（2，3）或（4，5）或（2，5），故答

48、案为：（2，3）或（4，5）或（2，5）；（4）存在以点 O，F，G 为顶点的三角形与ABC 相似，理由如下：yx22x3（x1）24，E（1，4），设直线 CE 的解析式为 ykx+b，yx3，F（3，0），OFOC，OFC45，OBOC，OBC45，OFCOBC，设 G（t，t3），点 G 是线段 EF 上，3t1，FG（t+3），BC3，当GFOCBA 时，即，t，G（，）；当GFOABC 时，即，t1，G（1，2）；综上所述，G 点坐标为（，）或（1，2）故答案为：（，）或（1，2）20解：（1）在 yx2+3x+4 中，令 x0 得 y4，令 y0 得 x1 或 x4，A（1，0），

49、B（4，0），C（0，4）；（2）将 C（0，4）向下平移至 C，使 CCPQ，连接 BC交抛物线的对称轴 l 于 Q，如图：CCPQ，CCPQ，四边形 CCQP 是平行四边形，CPCQ，CP+PQ+BQCQ+PQ+BQBC+PQ，B，Q，C共线，此时 CP+PQ+BQ 最小，最小值为 BC+PQ 的值，C（0，4），CCPQ1，C（0，3），B（4，0），BC5，BC+PQ5+16，CP+PQ+BQ 最小值为 6；（3）如图：由在 yx2+3x+4 得抛物线对称轴为直线 x，设 Q（，t），则 P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），B（4，0），C（0，4）；BN，QNt，PM，CM|t3|，CMPQNB90，CPM 和QBN 相似，只需或，当时，解得 t或 t，Q（，）或（，）；当时，解得 t或 t（舍去），Q（，），综上所述，Q 的坐标是（，）或（，）或（，）