2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》解答压轴题专题提升训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年北师大版九年级数学下册 第 3 章 圆 解答压轴题专题提升训练（附答案）1如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，G 是劣弧上一点，AG，DC 的延长线交于点 F（1）求证：FGCAGD（2）若 G 是的中点，CECF2，求 GF 的长 2如图，O 的直径为 AB，点 C 在O 上，点 D，E 分别在 AB，AC 的延长线上，DEAE，垂足为 E，CD 与O 相切于点 C（1）求证：ACDE；（2）若 AB4，BD3，求 CD 的长 3如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于点 E，交 AB 的

2、延长线于点 F（1）求证：EFAC；（2）若 AB6，AE5，求 BF 的长 4为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB8cm，这张光盘的直径是多少？（精确到 1cm，1.73）5如图 1，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，过点 C 作 CDAB 交O 于点 D，连接 AD，延长 CD 至点 F，使 BFBC （1）求证：BFAD；（2）如图 2，当 CD 为直径，半径为 1 时，求弧 BD，线段 BF，线段 DF 所围成图形的面积 6如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，过点 D 作 DEAC，交 A

3、C 于点 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若O 的直径为 5，BC8，求 DE 的长 7如图，ABC 为O 的内接三角形，ADBC，垂足为 D，直径 AE 平分BAD，交 BC于点 F，连结 BE（1）求证：AEBAFD；（2）若 AB10，BF5，求 DF 的长；（3）若点 G 为 AB 的中点，连结 DG，若点 O 在 DG 上，求 BF：FC 的值 8如图，O 为ABC 的外接圆，ACBC，D 为 OC 与 AB 的交点，E 为线段 OC 延长线上一点，且EACABC（1）求证：直线 AE 是O 的切线（2）若 CD6，AB16，求O 的半径；（3）在（2）的基础上，点 F 在O

4、 上，且，ACF 的内心点 G 在 AB 边上，求BG 的长 9如图，在ABC 中，D 在边 AC 上，圆 O 为锐角BCD 的外接圆，连结 CO 并延长交AB 于点 E（1）若DBC，请用含 的代数式表示DCE；（2）如图 2，作 BFAC，垂足为 F，BF 与 CE 交于点 G，已知ABDCBF 求证：EBEG；若 CE5，AC8，求 FG+FB 的值 10如图，在ABC 中，C90，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的O 交 AB 于点 D，BD 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 BD 于点 F，连接 DE（1）求证：直线 DE 是O 的切线；（2）若 AC6，BC8，OA2，求线

5、段 AD 和 DE 的长 11如图，A，P，B，C 是O 上的四个点，APCCPB60（1）判断ABC 的形状，并证明你的结论（2）证明：PA+PBPC 12如图，AB 是O 的直径，延长 BA 至点 P，过点 P 作O 的切线 PC，切点为 C，过点B 向 PC 的延长线作垂线 BE 交该延长线于点 E，BE 交O 于点 D，已知 PA1，PCOC，（1）求 BE 的长；（2）连接 DO，延长 DO 交O 于 F，连接 PF，求 DE 的长；求证：PF 是O 的切线 13如图，点 B、C、D 都在半径为 4 的O 上，过点 C 作 ACBD 交 OB 的延长线于点 A，连接 CD，已知CDB

6、OBD30（1）求证：AC 是O 的切线；（2）求弦 BD 的长 14已知O 是ABC 的外接圆，过点 A 作O 的切线，与 CO 的延长线于点 P，CP 与O交于点 D（1）如图，若 APAC，求B 的大小；（2）如图，若 APBC，P42，求BAC 的大小 15如图（1），ABC90，O 为射线 BC 上一点，OB4，以点 O 为圆心，长为半径作O 交 BC 于点 D、E（1）当射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转多少度时与O 相切？请说明理由（2）若射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 60时与O 相交于 M、N 两点，如图（2），求的长 16在ABC 中，AB5，BC3，CA4，点

7、 P 在ABC 平分线上，以点 P 为圆心作P（1）如图，当圆心 P 在边 AC 上时，求证：P 与直线 AB 相切；（2）当P 同时与直线 BC、AC 相切时，求P 的半径 17铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为 16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切 方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若

8、可行，请确定圆锥的母线长 l 及其底面圆半径 r；若不可行，请说明理由 18如图，AB 是O 的直径，点 P 在O 上，且 PAPB，点 M 是O 外一点，MB 与O相切于点 B，连接 OM，过点 A 作 ACOM 交O 于点 C，连接 BC 交 OM 于点 D（1）求证：ODAC；（2）求证：MC 是O 的切线；（3）若 OB，BC12，连接 PC，求 PC 的长 19如图，已知以 RtABC 的边 AB 为直径作ABC 的外接圆O，B 的平分线 BE 交 AC于 D，交O 于 E，过 E 作 EFAC 交 BA 的延长线于 F（1）求证：EF 是O 切线；（2）若 AB15，EF10，求

9、AE 的长 20四边形 ABCD 是正方形，O 经过 A，D 两点且与 BC 边相切于点 E，动点 P 在射线 BC上且在点 C 的右侧，动点 Q 与点 O 位于射线 BC 的同侧，点 M 是 BQ 的中点，连接 CM，PQ（1）如图 1，若点 M 在O 上，且 CECM求证：CM 是O 的切线；（2）如图 2，连接 OE 交 BQ 于点 G，若 BC2，BPQ60，PQCPm，当点 M在O 内时，求的值（用含 m 的代数式表示），并直接写出 m 的取值范围 参考答案 1（1）证明：如图，连接 CD，AC 为O 的直径，BCOC，BD 切O 于点 D，ODB90，DC 是 RtOBD 斜边上的

10、中线，BCOCCD，OCOD，BCOCCDOD，OCD 是等边三角形，DOCOCD60，CBDOAD30，BADABD；（2）解：如图，连接 DM，OD1，DE2，BD，BE，DE 为O 的直径，DME90，DMB90，EDB90，EDBDME，又DBMEBD，BMDBDE，BM，EMBEBM 线段 EM 的长为 2解：（1）由题意可得，OP（8t）cm，OQtcm，OP+OQ8t+t8（cm）（2）POQ90，PQ 是圆的直径，PCQ90，OT 是MON 的平分线，QOCPOC45，PQCPOC45，PCQ 是等腰直角三角形，SPCQPCQCPQPQPQ2，在 RtPOQ 中，PQ2OP2+

11、OQ2（8t）2+t2，四边形 OPCQ 的面积 SSPOQ+SPCQOPOQ+PQ2 t（8t）+（8t）2+t2 4tt2+t24t+16 16 四边形 OPCQ 的面积为 16cm2 3（1）证明：BC 是O 的直径，CAB90，CAG+BAG90，ADBE，AGB90，BAG+ABE90，CAGABE；（2）证明：CGDCAG+ACG，ABCABE+CBE，由（1）知，CAGABE，CBEACG，CGDABC，ABCD，DGCD，CGCD；（3）解：连接 AE、CE，BC 是直径，BEC90，AGEBEC，ADCE，CAEEBC，ACGEBC，CAEACG，AECG，四边形 AGCE

12、是平行四边形，AFAC，AC2BC2AB2，AC242，AC6，AF63，BF2AF2+AB2，BF232+42，BF5，ABGABF，AGBBAF，BAGBFA，BA：BFBG：BA，4：5BG：4，BG，FGBFBG，FG5 4（1）证明：点 E 是 AD 的中点，AEDE，OC 是半径，CADCBA；（2）解：AB 是直径，ACB90，AEDEAD8，OCAD，AEC90，CE6，AC10，AECACB，CADCBA，AECBCA，AB 5（1）证明：AEBC 于点 E，BDAC 于点 D，ACB+EFD180，AFD+EFD180，AFDACB，AGDACB，AFDAGD，AFAG；（

13、2）解：延长 AE 交O 于 M，连接 BM，GM，GC，MC，MO，作直径 GN，作 MHGN 于 H，AFAG，ACFG，FDDG，同理，FEEM，MG2DE2（+），MAG+MCG180，MCG180MAG18010575，MOG2MCG150，MOH30，设 MHx，OMOG2x，OHx，MH2+GH2GM2，x2+（2+）2x222（+）2，（8+4）x24（8+4），x24，x2，O 半径长为 2x4 6（1）证明：连接 OB，OBOC，OBCOCB，BCEOCB，OBCBCE，OBDE，AC 是O 直径，ADDE，BEAD，BEDE，OBBE，OB 是O 半径，BE 是O 切线；

14、（2）解：延长 BO 交 AD 于 F，DDEBEBF90，四边形 BEDF 是矩形，BFAD，DFBE3，AD2DF6，AC2AD2+CD2，AC262+2240，AC2，O 的半径为 7（1）证明：连接 OD，ABAC，ABCACB，OBOD，ABCODB，ACBODB，ODAC，DEAC，DEOD 即 EFOD，OD 是O 的半径，EF 是O 的切线；（2）解：连接 AD，AB 是O 直径，ADBC，DEAC，ADCDEC，CC，CDECAD，CD：CACE：CD，ABAC，DCDB3，ACAB7，3：7CE：3，CE 8解：（1）A（2，0），B（0，2），OA2，OB2，BAO30；

15、（2）如图，过点 C 作 CDx 轴于点 D，AOP45，OCD45，DCDO，OCOD，由（1）知：BAO30，AC2CD2OD，ADCDOD，AOOD+AD（+1）OD2，OD3，OC（3）3，AC2（3）62；OC 及 AC 的长分别为 3，62；（3）作 PHx 轴于 H，连接 PA、PB，如图，AOB90，AB 为AOB 外接圆的直径，BPA90，A（2，0），B（0，2），OA2，OB2，AB4，AOP45，PBA45，PAB 和POH 都为等腰直角三角形，PAAB2，PHOH，设 OHt，则 PHt，AH2t，在 RtPHA 中，PH2+AH2PA2，t2+（2t）2（2）2，整

16、理得 t22t+20，解得 t1+1，t21（舍去），OHPH+1，OPOH+；P 点坐标为（+1，+1）9（1）证明：如图，连接 AO 并延长交 BC 于点 H，ABAC，弧 AB弧 AC，AH 经过圆心 O，AHBC，AD 切O 于点 A，AOAD，ADBC，BFAC，四边形 ACBF 为平行四边形；（2）解：BFAC，ABFBAC，弧 AE弧 BC，弧 AB弧 EC，ECAB3，BHBC3，AH9，设半径 OAOBx，则 OH9x，在 RtOBH 中，根据勾股定理得，32+（9x）2x2，x5，OH4，AGBH，AOGHOB，OG，BGOB+OG5+10（1）证明：连接 OD，如图，AD

17、 平分BAC 交 BC 于点 D，OADCAD OAOD，ODAOAD，ODACAD，ODAC，ODC+C180 C90，ODC90，ODBC，OD 是O 的半径，BC 是O 的切线；（2）解：当点 P 在上时，PH 的长为点 P 到直线 DE 的距离，连接 OD，OP，过点 O 作 OMDE 于点 M，过点 P 作 PNOM 于点 N，如图，OAOF，OAFOFA60，AD 平分BAC，BADDAC30，EOD60，OEOD，ODE 是等边三角形，DEOE4 OMDE，DMEM2，EOMEOD30，OM2 PDE15，POE30，POMPOE+EOM60 PNOM，ONOPcos602，MN

18、OMON22 PHDE，OMDE，PNOM，四边形 PHMN 为矩形，PHMN22 点 P 到直线 DE 的距离为 22；当点 P 在上时，连接 OP，交 DE 于点 H，如图，EOP2PDE，PDE15，EOP30 由知：EOD60，EOPEOD，即 OP 为EOD 的平分线，OEOD，OHDE，PH 的长为点 P 到直线 DE 的距离，OHODcos302，PHOPOH42 综上，若PDE15，则点 P 到直线 DE 的距离为 22 或 42 11（1）证明：AE 平分ABC 的外角DAC，DAC2DAE，OMAB，ONAC，且 OMON ABAC，BC，DACB+C2B，DAEB，AEB

19、C；（2）解：延长 AO 交O 于 F 点，连接 CF，由（1）知 AEBC EACACBB，又BF，FEAC，EAC+CAOF+CAO90ONA，AONEOA，ONAOAE，OA：ONOE：OA，OA2OEON717，OA 12（）解：如图，连接 OC，PA，PC 分别是 OO 的切线，PAAB，PCOC，PABPCO90，CAB+PACOCA+PCA90，OAOC，CABOCA，PACPCA，P48，PACPCA（180P）66，CABPABPAC906624，OCACAB24，AB 是O 的直径，CDAB，OCD+BOCODC+BOD90，OCOD，OCDODC，BODBOC，BOCCA

20、B+OCA48，BOD48；（）解：AB 是O 的直径，ACB90，CAB+CBA90，由（1）知CAB+PAC90，PAC66，CBAPAC66，AOD70，BOD180AOD110，BCDBOD55，BOD+ODCBCD+CBA，ODCBCD+CBABOD55+6611011 13（1）证明：连接 OC，如图，AB 是O 的直径，ABCD，CABDAB COB2CAB，COB2BAD ECD2BAD，ECDCOB ABCD，COB+OCH90，OCH+ECD90，OCE90 OCCF OC 是O 的半径，CF 是O 的切线；（2）解：AB10，OAOBOC5，AB 是O 的直径，ABCD，

21、CHDHCD3 OH4，OCCF，CHOE，OCHOEC，OE AEOA+OE5+；过点 F 作 FGAB，交 AB 的延长线于点 G，如图，OCFFGE90，CEOGEF，OCEFGE，设 FG4k，则 FE5k，EG3k，DHAB，FGAB，DHFG，解得：k FG4k5 AEF 的面积AEFG 14（1）证明：EBC 为圆内接四边形 ACBD 的外角，EBCCAD ACDC，CADCDA CDACBA，EBCCBA，OCOB，OCBCBA，OCBEBC，OCDE；（2）解：EC 为O 的切线，ECO90 OCDE，ECO+E180，E90 AB 是O 的直径，ACB90，ACBE90 E

22、DCCAB，EDCCAB，AB13，ACDC12，DE 15解：（）如图，连接 OC，PC，PB 分别切O 于点 C，B，AB 是直径，PCOPBO90，OCOA，AACO58，BOCA+ACO116，P360909011674；（）如图，连接 OP，PC，PB 分别切O 于点 C，B，AB 是直径，CPOBPO，PBO90，BDOB，PB 是 OD 的垂直平分线，POPD，OPBDPB，OPBDPBCPO，DPC81，OPBDPBCPO8127，D902763 16解：（）如图，连接 OA、OB，PA，PB 是O 的切线，PAOA，PBOB，OAPOBP90，APB70，AOB3609090

23、70110，ACBAOB55，ACB 的大小为 55；（）连接 CE，AB，OB，AE 为O 的直径，ACE90，四边形 PACB 是平行四边形，ACBP，BCE90P，BAEBCE90P，AOB180P，OAOB，OABABO（180AOB）P，ACEACB+BCEP+P90，P60，ACB60，BAEBCE30，ACPB，EAC30 17（1）证明：连接 OD，如图，AB 为O 的直径，ACB90 CD 是ACB 的平分线，BCDDCEACB45，BOD2BCD90 ODAB DEAB，ODDE，OD 为圆的半径，DE 是O 的切线；（2）解：过点 A 作 AFDE 于点 F，如图，AC6

24、，BC8，AB10，OAOD5 ODDE，ODAB，AFDE，四边形 ODFA 为矩形，OAOD，矩形 ODFA 为正方形 DFAF5 DEAB，BACE ACBAFE90，ABCEAF ，EF DEDF+FE 18（1）证明：连接 EO 并延长交 BC 于点 F，连接 OB、OC，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，ADBC，AD90，E 为 AD 的中点，AEDE ABEDCE（SAS），EBEC，OBOC，EF 垂直平分 BC，即EFC90，DEF+EFC180，DEF180EFC1809090，即 EFAD 点 E 在O 上，OE 是O 的半径，AD 与O 相切；（2）解：过点 O 作

25、 OHCD，垂足为 H，连接 OE、ON，四边形 ABCD 是矩形，D90 AD 切O 于点 E，OED90 OHD90，四边形 OEDH 是矩形，OHED，DHOEr，E 是 AD 的中点，OHEDAD2 在 RtOHN 中，由勾股定理得：OF2+NF2ON2，即 22+（r1）2r2 解得 r2.5，故O 的半径 r 为 2.5 19（1）证明：如图，连接 OC，BDGA，COB2A，COB2BDG ABD2BDG，COBABD DEOC FC 是O 的切线，OCFC DECF（2）解：连接 AD，如图，AB 为O 的直径，ADB90 DECF，BEF90 ADBBEF90 ABDEBF，

26、ADBFEB BF5，BD3BE，AB3BF15 OBOC7.5 OFOB+BF12.5 OCCF，FC10，sinF BADF，sinBADsinF sinBAD BD9 BEBD3 DEDB+BE12 AD12 DNAB，sinBAD DH DNAB，AB 为O 的直径，NHDH FE4，CEFCFE6 DEFC，tanCDE tanCABtanCDE tanCAB，HMAH MNNHMH 20解：（1）90，b6，a8，c10，如图，设点 D，E，F 分别是O 的切点，连接 PD，PE，PF，连接 OA，OB，OC，SBCASABO+SACO+SBCO，6810m+6m+8m，m2，由已

27、知，四边形 DPEC 为正方形，nPD（CD+CE），由切线长定理可知，AFAD，BFBE，n（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）（10+6+8）12；故答案为：2，12；（2）如图，由切线的性质可知：PDCD，PEBC，PFAB，PDPEPF，设ABC 的面积为 SABC，周长为 CABC，同（1），根据面积法可知 m，n（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）CABC，SABCmn 故答案为：，；（3）如图，连接 CP，由切线长定理得：CDCE（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）CABC，PDCD，PEBC，CP 平分AC

28、B，PCE30，nPE，m，SABCmn 1（1）证明：如图 1，连接 AC，AB 是O 的直径，弦 CDAB，ADAC，ADCACD，点 A、D、C、G 在O 上，FGCADC，AGDACD，FGCAGD；（2）解：如图，过点 G 作 GHDF 于点 H DAG+DCG180，DCG+FCG180，DACFCG，AGCG，AGDFGC，DAGFCG（ASA），CFAD3，DGFG，GHDF，DHFH，ABCD，DEEC2，DF2+2+37，DHHF3.5，AE，AF，GHAE，GF 2（1）证明：连接 OC，CD 与O 相切于点 C，OCD90，ACO+DCE90，DEAE，E90，EDC+

29、ECD90，EDCACO，OCOA，AACO，ACDE（2）解：AB4，BD3，OD2+35，3（1）证明：如图，连接 AD，OD，AB 为O 的直径，ADBC，ABAC，BDCD，OD 是ABC 的中位线，ODAC，EF 切O 于点 D，ODEF，EFAC；（2）解：设 BFx，AB6，OBOD3，ODAC，ODFAEF，解此方程并检验得 x BF 4解：设光盘的圆心为 O，由题意可知：AB，AC 切O 于 C、B，连接 OC，OB，OA，如图所示：AC，AB 分别为圆 O 的切线，AO 为CAB 的平分线，OCAC，OBAB，又CAD60，OACOABCAB60，在 RtAOB 中，OAB

30、60，AB8cm，tanOAB，OBtanOABAB，光盘的直径为 28cm 5（1）证明：ABAC，ABCACB，CDAB，ABCDCB，ACBDCB，ABCADC，ADCDCB，BFBC FBCD，FADC，BFAD；（2）解：连接 OA，OB，CD 为直径，半径为 1，CD2，ODOBOAOC1，由（1）知：ACBBCDADC，AOCAOBBOD60，AOC 和AOB 是等边三角形，ACD60，ADC30，F30，FBO90，OB1，BF，弧 BD，线段 BF，线段 DF 所围成图形的面积为：SOBFS扇形OBDOBBF 6（1）证明：如图 1，OBOD，BODB，ABAC，BC，ODB

31、C，ODAC，DEAC，DE半径 OD，DE 是O 的切线；（2）解：如图 2，连接 AD，AB 是O 的直径，ADB90，ABAC，BDCD4，AD3，DEAC，SACD，5DE34，DE，DE 的长是 7（1）证明：AE 为O 的直径，ABE90，BAE+AEB90，ADBC，ADF90，AFD+FAD90，AE 平分BAD，BAEFAD，AEBAFD；（2）解：如图 1，过点 F 作 BMAB 于点 M则AMF90，AFDBFE，AFDAEB，BFEAEB，BFBE5，ABEAMF90，BAEMAF，AMFABE，即，设 MFx，则 AM2x，BM102x，BM2+MF2BF2，（102

32、x）2+x252，解得 x3，即 MF3，AE 平分ABD，ADBC，DFMF3；（3）解：ADB90，G 为 AB 的中点，AGDGBG，OGAB，BGDAGD90，ADG 为等腰直角三角形，GAD45，ABD45，过点 F 作 FHAB 于点 H，如图 2，AF 平分BAD，FDFH，ABD45，BFFHFD，AFDAEB，AEBC，AFDC，AFAC，又ADBC，FDDC，设 FDDCx，则 BFx，8（1）证明：如图 1，连接 AO，OB，ACCB，AOCBOC，OAOB，OCAB，ACDBCD，ABC+BCD90，OAOC，ACDOAC，OACBCD，EACABC，EAC+OAC90

33、，OAE90，半径 OAAE，AE 是O 的切线；（2）解：如图 1，由（1）得：OCAB，AD8，在 RtAOD 中，ODOCCDOA6，AD8，OA2OD2AD2，OA2（OA6）282，OA，即O 的半径是；（3）解：如图 2，连接 CG，在 RtACD 中，ACBC10，点 G 是ACF 的内心，ACGFCG，BCFBAC，又BGCBAC+ACG，BCGFCG+BCF，BGCBCG，BGBC10 9（1）解：如图，连结 OD，DOC2DBC2，又ODOC，DCE90；（2）证明：ABDCBF，EBGABD+DBFCBF+DBFDBC，设DBC，由（1）得：DCE90，BFAC，FGCB

34、GE，EBGEGB，EBEG；解：如图，作 EMBE，ENAC，由得：EBG，ACE90，BFAC A90，AECE5，ENAC，AC8，CN4，EN3，EMBF，NFBF，ENAC，四边形 EMFN 为矩形，ENMF3，EBEG，EMBG，BMGM，FG+FBFMMG+FM+BM2FM6 10（1）证明：连接 OD，EF 垂直平分 BD，EBED，BEDB，OAOD，ODAA，C90，A+B90，EDB+ODA90，ODE90，ODDE，DE 是O 的切线 （2）解：连接 OE，作 OHAD 于 H则 AHDH，AOHABC，AH，AD，设 DEBEx，CE8x，OE2DE2+OD2EC2+

35、OC2，42+（8x）222+x2，解得 x4.75，DE4.75 11（1）解：ABC 是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，ABCAPC60，BACCPB60，ABC 是等边三角形；（2）证明：在 PC 上截取 PHPA，APC60，APH 为等边三角形，APAH，AHP60，在APB 和AHC 中，APBAHC（AAS）PBHC，PCPH+HCPA+PB 12解：（1）设圆的半径是 r，则 OPPA+r1+r，OCr，PCr PC 是圆的切线，PCO90，在直角PCO 中，PC2+OC2OP2，即（r）2+r2（1+r）2，解得：r1 或 r（舍去负值）在直角OPC 中，cosPOC，

36、POC60，PCO90，BEBC，BEOC，OPCBPE，BPOC60，BEOC；（2）在OBD 中，OBOD，B60，OBD 是等边三角形，BDOB1，BOD60 DEBEBD1；在OPC 和OPF 中，OPCOPF（SAS），OFPOCP90，PF 是O 的切线 13（1）证明：连接 OC，OC 交 BD 于 E，CDB30，COB2CDB60，CDBOBD，CDAB，又ACBD，四边形 ABDC 为平行四边形，AD30，OCA180ACOB90，即 OCAC，又OC 是O 的半径，AC 是O 的切线；（2）解：由（1）知，OCAC ACBD，OCBD，BEDE，在直角BEO 中，OBD3

37、0，OB4，BEOBcos302，BD2BE4 14解：（1）如图，连接 OA、AD APAC，PACP PA 与O 与相切，PAO90 P+POA90 OA0C，ACOCAO AOP2ACO P+POA90，ACP+2ACP90 ACP30 B2ACP60（2）如图，连接 BD DC 为O 的直径，DBC90 CDB+DCB90 APBC，PCBP42 CDB904248 BACBDC48 15解：（1）当射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 45或 135时与O 相切 理由如下：如图，设切点为 F，连 OF则 OFBF，在 RtOBF 中，OF2，OB4，cosOBF，OBFBOF45，

38、ABF45，同理：当ABF135时，AB 与O 相切，当射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 45或 135时与O 相切（2）过点 O 作 OHAB 于点 H，射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 60时与O 相交于 M、N 两点，ABC30，OHOB42，在 RtOMH 中，OM2，cosMOH，MOH45，MON90，的长为：16证明：（1）如图，过点 P 作 PD 垂直 AB，交 AB 于 D 点，AB5，BC3，CA4，5232+42，即 AB2BC2+AC2，ACB90，PCBC，BP 平分ABC，PCBC，PDAB，PCPDr，P 与直线 AB 相切（2）如图，当P 同时与直线

39、 BC、AC 相切时，点 P 在ACB 或ACM 的角平分线上存在两种情况：当圆心在ABC 内部，即P1分别与直线 BC、AC 相切时，P1GP1FP1Er，P1GBC，P1EAB，P1FAC，SABCS+S+SABP1E+ACP1F+BCP1GCABCr，r1，当圆心在ABC 外部，P2分别与直线 BC、AC 相切时，P2MP2NP2QR，P2MBC，P2QAB，P2NAC，SABCS+SSABP2Q+BCP2MACP2N（AB+BCAC）R，R3，综上，P 的半径为 1 或 3 17解：连接 AC，E 为两圆的切点，（1）理由如下：扇形的弧长168，圆锥底面周长2r，圆的半径 O1E4cm

40、 过 O1作 O1FCD，CO1F 为等腰直角三角形，O1CO1FO1E4cm，AEAB16cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为AE+EO1+O1C16+4+4（20+4）cm，20+416，方案一不可行；（2）方案二可行理由如下：设圆锥底面圆的半径为 rcm，圆锥的母线长为 Rcm，在一块边长为 16cm 的正方形纸片上，正方形对角线长为 16cm，则（1+）r+R16，2r，由，可得 R，r 故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm 18（1）证明：AB 是O 的直径，ACB90，又ACOM，BDOACB90，ODBC，D 为 BC 的中点，O 为 AB 的中点，OD

41、为ABC 的中位线，ODAC；（2）证明：如图所示：连接 OC，ACOM，OACBOM，ACOCOM，OAOC，OACACO，BOMCOM，在OCM 与OBM 中，OCMOBM（SAS），又MB 是O 的切线，OCMOBM90，又OC 是半径，MC 是O 的切线；（3）解：AB 是O 的直径，ACBAPB90，OB，AB15，PAPB，BC12，AC9，过点 A 作 AHPC 于点 H，AC2OD9，ACHABP45，AHCH，PCPH+CH 19（1）证明：连接 OE，B 的平分线 BE 交 AC 于 D，CBEABE EFAC，CAEFEA OBEOEB，CBECAE，FEAOEB AEB

42、90，FEO90 EF 是O 切线（2）解：在FEA 与FBE 中，FF，FEAFBE，FEAFBE，AFBFEFEF，AF（AF+15）1010，解得 AF5 BF20，BE2AE，AB 为O 的直径，AEB90，AE2+BE2152，AE2+（2AE）2225，AE3 20（1）证明：如图，连接 OE，OM，OC BC 切O 于点 E，OEBC，即OEC90，点 E，点 M 在O 上，OEOM 又CECM，OCOC，OCEOCM（SSS），OMCOEC90，即 OMCM，又点 M 在O 上，CM 是O 的切线；（2）解：连接 EO 并延长交 AD 于点 T，连接 OA，OD 四边形 ABC

43、D 是正方形，BCDCDA90，ADBC2 又由（1）得OEC90，四边形 ECDT 为矩形 ECTD，OFD90 OAOD，AFTDAD，ECTDADBC BEECBC，过点 Q 作 QHCP 于 H，连接 CQ BPQ60，PQPCm，CPQ 为等边三角形，QCPQ QHCP，即QHP90，CHHPCPm，OECQHP90，GEQH，点 M 是 BQ 的中点，BMBQ，1+，当点 M 在 CD 边上时，2，从图上明显看出，M 可以取到弓形 ND 内，因此 BM 变大，BG 不变，所以2，当 M 在弓形 ND 上时，取得最大值，当点 M 运动到圆上时，如图，连接 OM，过点 M 作 MNBP 于点 N，过点 O 作 OTMN于点 T，由（1）知：CHHPCPm，设圆 O 的半径为 r，在 RtAOT 中，根据勾股定理，得 r2（2r）2+1，解得 r，设 CNa，则 OF1+a，点 M 是 BQ 的中点，MNQH，am1，MNm，OF1+am，MFMNFNm，在直角三角形 FMO 中，根据勾股定理，得 OF2+MF2OM2，（m）2+（m）2（）2，解得 m1或 m20（舍去），0m